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1、福鼎一中高一年段数学培优教材第一讲 函数的性质福鼎一中高一年段数学培优教材第一讲 函数的性质 一、 基本性质： 1.函数图像的对称性 （1）奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意xD，都有()( )fxf x 成立； 偶函数的图像关于y轴对称，对于任意xD，都有()( )fxf x成立。 （2）原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线yx对称。 若某一函数与其反函数表 示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线yx对称。 （ 3）若 函 数 满 足( )(2)f xfax， 则( )f x的 图 像 就 关 于 直 线xa对 称 ； 若 函 数 满 足 ( )(2)f xf
2、ax ，则( )f x的图像就关于点( ,0)a对称。 （4）互对称知识：函数()()yf xayf ax与的图像关于直线xa对称。 2函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导 数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性） 特别提示：函数(0) a yxa x 的图像和单调区间。 3函数的周期性 对于函数( )yf x，若存在一个非零常数T，使得当x为定义域中的每一个值时，都有 ()( )f xTf x成立，则称( )yf x是周期函数，T称为该函数的一个周期。若在所有的周期中 存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。 （1
3、）若T是( )yf x的周期，那么()nT nZ也是它的周期。 （2）若( )yf x是周期为T的函数，则() (0)yf axba是周期为 T a 的周期函数。 （3）若函数( )yf x的图像关于直线xaxb和对称，则( )yf x是周期为2()ab的函数。 （4）若函数( )yf x满足()( ) (0)f xaf xa ，则( )yf x是周期为2a的函数。 4高斯函数 对于任意实数x，我们记不超过x的最大整数为 x，通常称函数 yx为取整函数。又称高斯 函数。又记 xxx，则函数 yx称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分。 高斯函数的常用性质： （1）对任意,1 1xRxxxx
4、均有 （2） 对任意xR，函数 yx的值域为0,1) （3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意 121212 ,xxRxxxx若则 （4） 若, , nZ xRxnnxnxx则有，后一个式子表明 yx是周期为 1 的函数。 （5） 若, 1x yRxyxyxy则 （6） 若 *, , nNxRnxn x则 二、综合应用 例 1：设( )f x是 R 上的奇函数，(2)( ),01( ),f xf xxf xx 当时，求(7.5)f的值。 例2： 设( ), ( )f x g x都是定义在R上的奇函数，( )( )( )2F xa f xb g x在区间(0,)上的最大值为5， 求( )(,0
5、)F x在上的最小值。 例 3：已知 3 3 sin20 ,cos(2 ) 1 444sin20 2 xxa x yaRxy yya 且则_ 例 4：设1, ,aa均为实数，试求当变化时，函数 (sin )(4sin ) 1 sin a y 的最小值。 例 5：解方程：（1） 2 log (231)5 x x （2） 2323 (2038)415284xxxxx 例 6：已知定义在 R 上的函数( )f x满足( )( )()f xf yf xy，当0( )0xf x时，(1)2f； （1）求证：( )f x为奇函数； （2）求( )f x在 3,3上的最值；（3）当2t 时,不等式 2 22
6、2 ( log)(loglog2)0f ktftt恒成立，求实数k的取值范围。 例 7：证明：对于一切大于 1 的自然数n，恒有 11121 (1)(1)(1) 35212 n n 例 8： 设( )f x是定义在 Z 上的一个实值函数，( )f x满足 ()()2 ( ) ( ) (1)0 f xyf xyf x f y f ，求证 ： ( )f x是周期为 4 的周期函数。 例 9：给定实数x，定义 x为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是 （ ） 0 1( ) ( ) xxxxf xxxf xxx是周期函数是偶函数 例 10：求方程 2 lglg 20xx的实根个数。 三、强化
7、训练： 1. 已知 3 ( )sin4f xaxb x（a、b 为实数） ，且 3 (lglog 10)5f，求(lglg3)f的值。 2. 若方程 22 2 sin(cos )0xaxa有唯一解，求 a 的所有取值。 3. 已知函数( )f x定义在非负整数集上，且对任意正整数x，都有( )(1)(1)f xf xf x。若 (0)1992f，求(1992)f的值。 4. 函数( )f x定义在实数集 R 上， 且对一切实数 x 满足等式 (2)(2),(7)(7).f xfxf xfx设( )0f x 的一个根是0x ，记 ( )01000,1000f x 在区间中的根的个数是 N，求 N
8、 的最小值。 5. 若函数( )yf x的图像关于直线xa对称，且关于点( , )M b c对称，求证( )f x是周期函数。 6. 求数列 n a的最小项，其中 2 2 22469(1,2,) (322)3 n a annn n 7. 已知(cos )0fx 的解集为0, 2 ，解不等式(sin )0.fx 8. 设( )f x是定义在(0,)上的增函数，对任意,(0,)x y，满足()( )( )f xyf xf y。 （1）求证：当(1,)( )0( )( )( ) x xf xff xf y y 时， （2）若(5)1f，解不等式(1)(2 )2.f xfx 9. 已知( )(0,1)
9、 x f xaaa，求满足 22 (345)(231)fxxfxx的x的值。 10. 求和： 1024 2 1 log N N 参考答案： 例 1：周期为 4，(7.5)0.5f 例 2：记( )( )( )G xaf xbg x，则( )G x为奇函数。( )F x在(,0)上的最小值为-1. 例 3： 3 ( )sinf ttt在, 4 4 上为增函数，cos(2 )1xy 例 4： 3(1) (1 sin )2 1 sin a ya ，换元后研究函数 3(1) ( )2 a f xxa x 的单调性 当 7 1 3 a时 min 2 3(1)2(3(1) )yaaxa；当 7 3 a 时
10、 min 5 (1) (2) 2 yax 例 5：（1）构造 2 ( )log (231) x f xx，利用单调性得：5x （2）构造递增函数 3 ( )4f xxx，利用 2 (2038)( )f xxf x解得：29x 例 6：（2） maxmin ( )6 ;( )6f xf x （3）2 21k 例 7：构造 111 (1)(1)(1) 3521 ( ) 21 n f n n ，证明( )f n是递增数列，故 1 ( )(2) 2 f nf 例 8：令1y 得(1)(1)0( )(2)4f xf xf xf xT 例 9： 例 10： 2 lg2lg lg1lg2xxxx （1）当1lg0x 时lg 1x ，代入原方程解得 1 10 x （2）当0lg1x时lg 0lg2xx （矛盾） （3）当1lg2x时lg 1x 3 lg310xx （4）当lg2x 时lg 21000xx 强化训练： 1 3 20,2sin1aa 3(1992)(0)1992ff 4 401 5 略 6 最小项为 6 9 319a 722,kxkkZ 8 1 (0,) 49 x 91a 时2,3xx ；01a时23x 10 1024 23243109 2 1 log0 1(22)2(22 )3(22 )9(22 )10 8204 N N