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1、福鼎一中高一年段数学培优教材第四讲 三角函数福鼎一中高一年段数学培优教材第四讲 三角函数 一、基础知识： 1 函数sin()yx xR的对称轴方程为, 2 xkkZ ，对称中心坐标是(,0) ,kkZ； cos()yxxR的对称轴方程为,xkkZ，对称中心坐标是(,0) , 2 kkZ tan(,) 2 yx xkkZ 的对称中心坐标是(,0) ,kkZ，它不是轴对称图形。 2 求三角函数最值的常用方法： 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()yAxb的形式，再利用正弦函数的有 界性求其最值。 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题。 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值
2、问题（如 sin cos axb y cxd ）可利用正弦函数的有界性 来求。 利用函数的单调性求。 二、综合应用： 1 已知函数( )yf x是以 5 为最小正周期的奇函数，且( 3)1f ，则对锐角，当 1 sin 3 时， (16 2 tan)f_ 2 已知 22 2,ab则sincosab的最大值是_ 3 函数 22 sin2sin cos3cosyxxxx取最小值的x的集合为_ 4 函数 5 cos23sin, 63 yxx x 的最大值和最小值的和为_. 5 函数sin cossin,yxxxcosx xR的最大值为_ 6 函数 sin (0) 2cos x yx x 的最大值是_
3、 7 函数( )( cossin )cosf xaxbxx有最大值 2，最小值1，求sin() 4 yabx 的最小正周期。 8 已知函数 2 ( )2 sin2 3 sin cosf xaxaxxab的定义域是0, 2 ，值域是 5,1，求, a b的值。 9 已知函数( )sin2cos2f xxax的图象关于直线 8 x 对称，求a的值。 10已知( )sincos( , ,f xAxBxA B是常数，且0)的最小正周期为 2，并且当 1 3 x 时， ( )f x取最大值为 2。 （1） 求( )f x表达式 ； （2） 在区间 21 23 , 44 上是否存在( )f x的图象的对称
4、轴？ 若存在，求出其方程；若不存在，说明理由。 11已知函数( )sin() (0,0)f xx是 R 上的偶函数，其图象关于点 3 (,0) 4 M 对称，且 在区间0, 2 上是单调函数，求, 的值。 12已知定义在区间 2 , 3 上的函数)(xfy 的图象关于直线 6 x对称，当 2 , 63 x 时，函数( )sin() (0 ,0 ,) 22 f xAxA ， 其图象如图所示. （1）求函数( )yf x在 2 , 3 的表达式； （2）求方程 2 ( ) 2 f x 的解. 三、强化训练： 1 有四个函数 2 sinsintancotsin 22 xx yxyxyyx， 其中周期
5、为， 且在(0 ,) 2 上是增函数的函数个数是（ ） .1. 2. 3. 4ABCD 2设函数 2 ( )2cos3sin 2f xxxa（a为实常数）在区间0, 2 上的最小值是4,则a的值是 （ ） . 4.6.4.3ABCD 3sin(2)cos()cos(2)sin() 3636 yxxxx 的图像中一条对称轴方程是（ ） 3 422 AxBxCxDx 4定义在 R 上的偶函数f(x)满足f(x) = f (x+2)，当x3，4时，f(x) = x2，则（ ） Af (sin 1 2 ) f (cos 3 ) Cf (sin1) f (cos 3 2 ) 5将函数y=f(x)sinx
6、的图象向右平移 4 个单位后，再作关于x轴对称的曲线，得到函数 y=12sin2x, 则f(x)是 （ ） Acosx B2cosx Csinx D2sinx 6曲线2sin()cos() 44 yxx 和直线 1 2 y 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为 P1，P2， P3，则|P2P4|等于 （ ） A B2 C3 D4 7设 2cosfxxm，恒有) 3 f xfx （成立，且(1) 6 f ，则实数 m 的值为 A1 B3 C1 或 3 D3 或 1 8使函数( )sin(2)3 cos(2)f xxx是奇函数，且在0, 4 上是减函数的的一个值是 _ 9已知函数 2 1 (
7、 )cossincos(0,0) 2 f xaxxxa的最大值为 2 2 ，其最小正周期为。 （） 求实数 a 与的值。 （）写出曲线( )yf x的对称轴方程及其对称中心的坐标。 x y o 1 6 x 3 2 6 参考答案： 例 1：(8)(3)( 3)1fff 例 2： 2 例 3： 3 ( )2sin(2)2 ;|, 48 f xxx xkkZ 例 4： 2 ( )12sin3sin,1,45f xxxMNMN 例 5：1 例 6： 3 3 例 7：1,2 2ab 例 8： 21 ( )2 sin(2)2,sin(2)1, 5626 a f xaxabx b 或 2 1 a b 例 9
8、：1a 例 10：（1）( )2sin() 6 f xx （2）( )2sin() 6 f xx 的对称方程为 1 , 623 xkxkkZ ，由 211235965 ,5 4341212 kkkZk 故存在。 例 11：03 高考天津卷 2 2 23 ， = 例 12：（1）当 2 , 63 x 时，( )sin() 3 f xx ，当x 2 , 3 时( )sinf xx 强化练习： 1 C 2 C 3 C 4 C 5 B 6. A 7. D 8. 2 3 9. （1） 2 111 cossincos(1cos2)sin2 2222 a yaxxxxx 11 (sin2cos2) 22 a xax 2 11 sin(2) 22 aa x 。 y 的最小正周期 T=。 =1。 2 112 1 222 man a ya ， a=1。 （2）由（）知 a=1，=1， 12 ( )(sin2cos2 )sin(2) 224 f xxxx 。 曲线 y=f(x)的对称轴方程为() 28 k xkZ 。 对称中心的坐标为(,0)() 28 k kz 。