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1、福鼎一中高一年段数学培优教材第三讲 三角恒等变换福鼎一中高一年段数学培优教材第三讲 三角恒等变换 一、基础知识： 1 三角的恒等变化：要注意公式间的内在联系和特点，审题时要善于观察差异，寻找联系，实现转化； 要熟悉公式的正用和、 逆用和变形应用。 化简三角函数式可以采用 “切化弦” 来减少函数种类， 采用 “配 方法”和“降次公式”来逐步降低各项次数，并设法去分母、去根号、利用特殊值来向目标靠拢。 2 常见的变形公式： 1 sincossin2 2 22 1cos2cos1 cos2sin 22 2222 1 sin(sincos)2sin ()1 sin(sincos)2sin () 222
2、42224 tantantan()1tantan 22 sincossin()axbxabx 3 通过对角的变换推出万能公式和半角公式以及和差与积的互化公式。如常见的角的拆并有 2()() ,(),(),) 2266424 （ 等 二、综合应用： 例 1：已知角的终边上一点(2sin3,2cos3)P，则的弧度数为_ 已知 32 2 , cot 22 ，则 3 cotcot 22 _ 函数 2 3 sin cossin() 3 yxxx xR的最大值是_ 化简 42 2 1 2cos2cos 2 2tan()sin () 44 xx xx _ 例 2：已知 1 sincos 4 ，求cossi
3、n的取值范围。 例 3：求 22 sin 20cos 50sin20 cos50 的值。 例 4： 已知 222 ( )sinsin ()sin (),f其中, 是适合0的常数， 试问, 取 何值时，( )f的值恒为定值？ 例 5：求值：cot15 cot25 cot35 cot85 例 6：已知,(0,),sincsccos() 2 ；（1）求证： 2 sincos tan 1 sin ； （2）求tan的最大值，并求当tan取得最大值时tan()的值。 例 7：已知0, 2 ，且sin()2sin，求证： 例 8：已知当0,1x时，不等式 22 cos(1)(1) sin0xxxx恒成立，
4、求的取值范围。 三、强化练习： 1.若角满足条件sin20，cossin0，则在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2.以下命题正确的是( ) （A），都是第一象限角，若coscos，则sinsin （B），都是第二象限角，若sinsin，则tantan （C），都是第三象限角，若coscos，则sinsin （D），都是第四象限角，若sinsin，则tantan 3.若43 x，则 2 cos1 2 cos1xx 等于 （A）) 24 cos(2 x （B）) 24 cos(2 x （C）) 24 sin(2 x （D）) 24 sin(2 x 4.在（0，2）内
5、，使xxxtansincos成立的x的取值范围是 （A） （ 4 ， 4 3 ） （B） （ 4 5 ， 2 3 ） （C） （ 2 3 ，2） （D） （ 2 3 ， 4 7 ） 5.设，是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是 （ A）1tantan （ B）2sinsin （ C）1coscos （ D） 2 tan)tan( 2 1 6.已知 22 cos()cossin ，则sin(2)sin的值为( ) A0 B1 C.2sin D以上都不对 7.在ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，则tantan3 tantan 2222 ACAC _ 8.已知点 P(si
6、ncos，tan)在第一象限，则在0，2)内的取值范围是_ 9.cot104cos10 的值为 10.已知 2 sin 2sin2 coscos21,(0,) 2 ，求sin,tan的值。 11.已知 cos(- 2 )= 1 9 ,sin( 2 -)= 2 3 , 2 ,0 2 ,求 cos(+)之值. 12.求值： 2345 coscoscoscoscos 1111111111 13.是否存在锐角, ， 使得 2 2 3 ； tantan23 2 同时成立？若存在， 求出, 的值 ； 若不存在，说明理由。 参考答案： 例 1：32, 2 kk ; 6( 31) ; 3 6 ; 1 cos2
7、 2 x 例 2：法 1： 1 1cossin1 33 4 1sin()1,1sin()1cossin 144 1cossin1 4 法 2： 2222222 117 cossin(1 sin)(1 cos)1(sincos)(sincos)2sincos 1616 2 9933 (sincos),sincos 161644 例 3：多种方法。 （构造对偶式）设 22 22 sin 20cos 50sin20 cos50 2sin70 cos 20sin 50cos20 sin50 a ab b 1113 cos40cos100sin( 30 )2sin70 sin30sin70,22 222
8、4 abaa 例 4： 31 ( )12cos()cos()cos2sin()sin()sin2 22 f ( )f恒为定值， 12cos()cos()0 sin()0 sin()cos() ，考虑到0 12 2cos(),0, 2333 （提示：本题也可以用赋值法：令0,(0)()()() 22 ffff ） 例 5：1 （本题要总结公式sin34sinsin(60)sin(60) cos34coscos(60)cos(60) tan3tantan(60)tan(60) 例 6：（2） 2 tan112 tan(tan) 1 22tan12 2 2tan tan 例 7：2sinsincoscossinsinsinsinsin 例 8：令0x 则sin0，令1x 则cos0 故原不等式化为 2 sin0 2sin1 (1 sincos )(2sin1)sin0 ,(0,1) ,cos0 1 sincos 0 xx sin0 5 cos0(2,2), 1212 1 sin2 2 kkkZ 强化练习： 1. B 2. D 3. C 4. C 5. D 6. A 7. 3 8. 5 (,)(,) 424 9. 3 10. 13 sin, tan 23 11. + 7 5239 cos,cos() 227729 12. 1 32 13. 存在, 64