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1、第四章 几个初等函数的性质第四章 几个初等函数的性质 一、基础知识 1指数函数及其性质 ： 形如 y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为（0，+ ） ，当 01 时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1） 。 2分数指数幂：。 nm n m n nnm n m n n a a a aaaaa 1 , 1 , 1 3对数函数及其性质：形如 y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+） ， 值域为 R，图象过定点（1，0） 。当 01 时，y=logax 为增函数。 4对数的性质（M0, N0） ； 1）ax=Mx=logaM(a0, a
2、1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N； 3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；， N M 5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1). n M n 1 a b c c log log 5. 函数 y=x+（a0） 的单调递增区间是和， 单调递减区间为和 x a a,a 0 , a 。 （请读者自己用定义证明）a, 0 6连续函数的性质：若 a0. 【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要
3、证原不等式成立，只需证 f(-1)0 且 f(1)0（因为-10， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0， 所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10. 例2 （柯西不等式） 若a1, a2,an是不全为0的实数， b1, b2,bnR， 则 （） （） ( n i i a 1 2 n i i b 1 2 )2，等号当且仅当存在R，使 ai=, i=1, 2, , n 时成立。 n i iib a 1 i b 【证明】 令 f(x)= （）x2-2()x+=, n i i a 1 2 n i iib a 1 n i i b 1 2 n i ii bxa 1 2 )( 因为0，且
4、对任意 xR, f(x)0， n i i a 1 2 所以=4()-4（）()0. n i iib a 1 n i i a 1 2 n i i b 1 2 展开得（）()()2。 n i i a 1 2 n i i b 1 2 n i iib a 1 等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在，使 ai=, i=1, 2, , n。 i b 例 3 设 x, yR+, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2，求 u=的最小值。 y y x x 11 【解】u=xy+xy+2 y y x x 11 xyx y y x1 xy 1 x y y x =xy+2. xy 1 令 xy=t，则 00
5、，所以= p q p q . 2 51 例 5 对于正整数 a, b, c(abc)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且，求证 ： wzyx 1111 a+b=c. 【证明】 由 ax=by=cz=70w取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70， w 1 x 1 w 1 y 1 w 1 z 1 相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设， w 1 zyx 111 wzyx 1111 所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=257. 若
6、 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以 a1. 又 abc，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得 ， b x c x x a a a a a log log2 log log log 因为 ac0, ac1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，
7、取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调 性的应用和未知数范围的讨论。 例 7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为=1。设 f(x)= , 则 f(x)在(-,+ xxx 6 5 3 2 2 1 xxx 6 5 3 2 2 1 )上是减函数，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3. 例 8 解方程组：（其中 x, yR+）. 3 12 xy yx yx yx 【解】 两边取对数，则原方程组可化为 . 3lg)( lg12lg)( glxyyx yxyx
8、 把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得 x+y=6， 代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0. 又 y0，所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 . 2 4 ; 1 1 2 2 1 1 y x y x 例 9 已知 a0, a1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。 【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足. 0 0 )( 22 222 ax akx axakx 若、同时成立，则必成立， 故只需解. 0 )(
9、222 akx axakx 由可得 2kx=a(1+k2)， 当 k=0 时，无解；当 k0 时，的解是 x=，代入得k. k ka 2 )1 ( 2 k k 2 1 2 若 k1，所以 k0，则 k20 且 a1，比较大小：|loga(1-b)|_|loga(1+b). 7已知 f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数 y=f(x)2+f(x2)的值域为_。 8若 x=，则与 x 最接近的整数是_。 3 1 log 1 3 1 log 1 5 1 2 1 9函数的单调递增区间是_。 xx y 1 1 1 1 log 2 1 10函数 f(x)=的值域为_。 2 , 2 3 52 1 2
10、 x xx x 11设 f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa，其中 n 为给定正整数, n2, aR.若 f(x)在 x(-,1 时有意义，求 a 的取值范围。 12当 a 为何值时，方程=2 有一解，二解，无解？ )lg( 2lg ax x 四、高考水平训练题 1函数 f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.1 8 x 2已知不等式 x2-logmx0 且 a1，比较大小：|loga(1-b)| _|loga(1+b)|. 7已知 f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数 y=f(x)2+f(x2)的值域为_. 8若 x=，则与 x 最接近的整数是_. 3 1
11、 log 1 3 1 log 1 5 1 2 1 9函数 y=的单调递增区间是_. xx1 1 1 1 log 2 1 10函数 f(x)=的值域为_. 2 , 2 3 52 1 2 x xx x 11 设 f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa， 其中 n 为给定正整数， n2,aR。 若 f(x) 在 x(-,1 时有意义，求 a 的取值范围。 12当 a 为何值时，方程=2 有一解，二解，无解？ )lg( 2lg ax x 四、高考水平训练题 1函数 f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.1 8 x 2已知不等式 x2-logmx10, y10, xy=1000
12、，则(lgx)(lgy)的取值范围是_. 7若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是_. 8函数 f(x)=的定义域为 R，若关于 x 的方程 f-2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个不同 10 1|1|lg| x xx 的实数解，则 b, c 应满足的充要条件是_. （1）b0；（2）b0 且 c0且a1, f(x)=loga(x+)(x1)，（1） 求f(x)的反函数f-1(x)； （2） 若f-1(n) x1 x2 x30， 都有 log1993+ log1993+ log1993 klog1993 恒成立， 1 0 x x 2 10 x x 3
13、 2 x x 3 0 x x 则 k 的最大值为_. 3实数 x, y 满足 4x2-5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则的值为_. minmax 11 SS 4已知 00 的解集为_. 2 2 12 log 2 1 1logxx 9已知 a1, b1，且 lg(a+b)=lga+lgb，求 lg(a-1)+lg(b-1). 10 （1）试画出由方程所确定的函数 y=f(x)图象。 2 1 2lg )2(log)2lg()6lg( 10 1 y xxx （2）若函数 y=ax+与 y=f(x)的图象恰有一个公共点，求 a 的取值范围。 2 1 11对于任意 nN+(n1)，试证明：+=l
14、og2n+log3n+lognn。n 3 n n n 六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 1设 x, y, zR+且 x+y+z=1，求 u=的最小值。 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 z zz y yy x xx 2 当a为何值时， 不等式loglog5(x2+ax+6)+loga30有且只有一个解 （a1) 15( 2 1 axx n 且 a1） 。 3f(x)是定义在（1，+）上且在（1，+）中取值的函数，满足条件；对于任何 x, y1 及 u, v0, f(xuyv)f(x)f(y)都成立，试确定所有这样的函数 f(x). u4 1 v4 1 4. 求所有函数
15、 f：RR，使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)成立。 5设 m14 是一个整数，函数 f：NN 定义如下： f(n)=, 2 2 )13( 14 mnmnff mnmn 求出所有的 m,使得 f(1995)=1995. 6求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), x, yQ. 7是否存在函数 f(n)，将自然数集 N 映为自身，且对每个 n1, f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立。 8设 p, q 是任意自然数，求证 ： 存在这样的 f(x) Z(x)（表示整系数多项式集合） ，使对 x 轴上 的某个长为的开区间中的每一个数 x, 有 q 1 . 1 )( 2 qq p xf 9 设， 为实数， 求所有 f: R+R， 使得对任意的 x,yR+, f(x)f(y)=y2f成立。 22 f fx x