（江苏专版）2019届高三数学备考冲刺140分问题05应用三角函数的性质求解参数（含解析）.pdf

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1、问题 5 应用三角函数的性质求解参数问题问题 5 应用三角函数的性质求解参数问题 一、考情分析 利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是高考中的亮点,这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性 等性质,三角函数因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最 大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意. 二、经验分享 (1) 三角函数值域的不同求法 利用 sin x和 cos x的值域直接求； 把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域； 通过换元,转换成二次函数求值域 (2)已知三角函数解析式求单调区间

2、：求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合 函数单调性规律“同增异减” ； 求形如yAsin(x)或yAcos(x)( 其中0)的单调区间时, 要视“x”为一个整体,通过解不等式求解但如果0,那么一定先借助诱导公式将化为正数, 防止把单调性弄错 (3)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解 (4)对于函数yAsin(x),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因 此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断 (5)求三角函数周期的方法： 利用周期函数的定义 利

3、用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为,ytan(x)的最小正周期 2 | 为. | (6)图象变换：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象,有两种主要途径：“先平移 后伸缩”与“先伸缩后平移” (8)求yAsin(x)B(A0,0)解析式的步骤 求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A,B. Mm 2 Mm 2 求,确定函数的周期T,则. 2 T 求,常用方法如下：i.代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降 区间上)或把图象的最高点或最低点代入 ii.五点法：确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：

4、“第一点”(即图象 上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x；“第三点”(即图 2 象下降时与x轴的交点)为x ； “第四点” (即图象的 “谷点” )为x； “第五点” 为x 3 2 2. 三、知识拓展 1对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴 之间的距离是 个周期 1 4 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2奇偶性 若f(x)Asin(x)(A,0),则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ Z)； 2 (2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ Z) 3由ysin x到ysi

5、n(x)(0,0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度 4函数yAsin(x)的对称轴由xk,kZ Z 确定；对称中心由xk,kZ Z 确定 2 其横坐标 四、题型分析四、题型分析 (一) 与函数最值相关的问题(一) 与函数最值相关的问题 【例 1】已知函数 （1）求函数( )f x的最小正周期与单调递增区间； （2）若时,函数( )f x的最大值为 0,求实数m的值 【分析】 （1）( )f x化为,可得周期 2 2 T ,由可 得单调递增区间；（2）因为,所以,进而( )f x的最大值为, 解得 1 2 m . 【解析】 （1）, 则函数( )f x的最小正周期T, 根据,kZ,得,k

6、Z, 所以函数( )f x的单调递增区间为,kZ （2）因为,所以,则当2 62 x , 3 x 时,函数取得最大值 0, 即,解得 1 2 m 【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的 最值,也可以通过三角恒等变形化为求yAsin(x)B的最值；或化为关于 sinx(或 cosx)的二次函 数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值. 【小试牛刀】 【江苏省启东中学 2018 届高三上学期第二次月考】若方程在0,2上 有且只有两解，则实数m的取值范围_ 【答案】 【解析】 所以当时， y m 与 2 2ytt 只有一个交

7、点， 当3m 时1t ，方程解 所以要使方程在0,2上有且只有两解，实数m的取值范围 (二) 根据函数单调性求参数取值范围(二) 根据函数单调性求参数取值范围 如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合 间的关系求解或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值, 进而求出参数的范围即可. 【例 2】已知0,函数f(x)sin在上单调递减,则的取值范围是_ (x 4) ( 2 ，) 【分析】根据ysinx在上递减,列出关于的不等式组 ( 2 ，3 2) 【解析】 由x,0 得,x, 2 2 4 4 4 又y

8、sinx在上递减,所以Error!Error!解得 . ( 2 ，3 2) 1 2 5 4 【答案】1 2， 5 4 【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减” ； 求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时,要视“x”为一个整体,通 过解不等式求解但如果0,那么一定先借助诱导公式将化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函 数的单调区间求参数先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解 【小试牛刀】 【南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟】若函数sinyx在区间0,2上单调递增， 则实数的取值范围是_ 【答案】

9、1 0, 4 【解析】由题意得，所以 5 (三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围(三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围 【例 3】已知函数 (1)若函数)(xfy 的图像关于直线对称,求a的最小值; (2)若存在使成立,求实数m的取值范围. 【分析】 (1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将)(xf化为,最后根据正 弦函数的对称性求出对称轴,求出a的最小值即可； (2)根据的范围求出 3 2 0 x的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f(x0)的值域,从而可求 出m 0 0 0 21 ()20 () sin(2) 3 mf xm f x x 的取值范围 【解析】(1)首先将函

10、数)(xfy 的解析式化简为： ,又因为函数)(xfy 的图像关于直线对称,所以 ,即,又因为0a,所以a的最小值为 12 (2) 故 【点评】对于函数yAsin(x),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零 点,因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断 【小试牛刀】 【2018 届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数的图象向左平 移0 个单位,所得的图象关于y轴对称,则的最小值是 【答案】 8 【 解 析 】 函 数的 图 象 向 左 平 移0 个 单 位 ,得 到 图象关于y轴对称,即,解得,又0, 当0

11、k 时, 的最小值为 8 . (四) 等式或不等式恒成立问题(四) 等式或不等式恒成立问题 在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身 的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围. 【例 4】已知不等式对于 , 3 3 x 恒成立,则实数m的取值范围是 【答案】 2 2 m 【解析】 因为,所以原不等式 等价于在 , 3 3 x 恒成立因为,所以 2 ,2 2 ,所以 2 2 m ,故选 B 【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题, 使问题得到解决具体转化思路为：若不等

12、式 f xA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 f x的 最小值大于A；若不等式 f xB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 f x最大值小于B 【小试牛刀】 【2018 届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数,若对任意的实数 ,都存在唯一的实数0,m,使,则实数m的最小值是_ 【答案】 2 【解析】函数,若对任意的实数, 则：f（） 3 2 ,0,由于使 f（）+f（）=0,则：f（）0, 3 2 , ,= 2 ,所以：实数 m 的最小值是 2 故答案为： 2 (五) 利用三角代换解决范围或最值问题 (五) 利用三角代换解决范围或最值问题 由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有

13、范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得 到新的范围,达到解决问题的目的. 【例 5】已知 12 ,F F是椭圆和双曲线的公共焦点,P是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线 的离心率的倒数之和的最大值为_ A. 4 3 3 B. 2 3 3 C.3 D.2 【解析】设椭圆方程为 22 22 1 xy ab (ab0),双曲线方程为 22 22 1 1 xy ab (a0,b0),其中aa1,半焦距 为c,于是|PF1|PF2|2a,|PF1|PF2|2a1, 即|PF1|aa1,|PF2|aa1, 因为,由余弦定理：4c2(aa1)2(aa1)22(aa1)(aa1) 即 4c2a23

14、a12,即 令 a c 2cos, 1 3 a c 2sin 所以 【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁. 【小试牛刀】【小试牛刀】已知实数 , x y满足 22 1xy,则的最小值为 【答案】 4 3 【 解 析 】 由 22 1xy,可 设,则= . 五、迁移运用五、迁移运用 1.【江苏省常州市 2019 届高三上学期期末】已知函数是偶函数，点 是函数图象的对称中心，则 最小值为_. 【答案】 【解析】函数f（x）sin（x+） （0，R）是偶函数， , 点（1，0）是函数yf（x）图象的对称中心 sin（+）0，可得 +k2，k2Z， k2（

15、k2k1） 又 0，所以当k2k11 时， 的最小值为 故答案为： 2 【江苏省盐城市、南京市 2019 届高三年级第一次模拟】设函数，其中若函数 在上恰有 个零点，则 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 取零点时 满足条件，当时的零点从小到大依次为 ，所以满足 ，解得： 3.【江苏省苏北四市 2019 届高三第一学期期末】将函数（）的图象向左平移个 单位长度后，所得图象关于直线对称，则 的最小值为_. 【答案】 【解析】 将函数f（x） sin（x）（0） 的图象向左平移 个单位后， 可得函数ysin（x） 的图象，再根据所得图象关于直线x 对称，可得 k，kZ， 当k0 时， 取得最小值为

16、 ， 故答案为： 4 【江苏省徐州市 2019 届高三上学期期中】已知函数，若，且 ，则的最大值为_ 【答案】 【解析】 令1，则 ， ，m，n，k都是整数， 因为，所以， 所以，的最大值为. 5 【江苏省常州 2018 届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 的图像与x轴的交点A， B， C满足，则_. 【答案】 3 4 【解析】不妨设0x， x ，得，由 ，得，解得 3 4 . 6 【江苏省淮安市等四市 2018 届高三上学期第一次模拟】若函数的 图象与直线y m 的三个相邻交点的横坐标分别是 6 ， 3 ， 2 3 ，则实数的值为_ 【答案】4 【解析】，所以4。 7 【

17、 江 苏 省 常 熟 市 2018 届 高 三 上 学 期 期 中 】 已 知 函 数， 若 对 任 意 的 实 数 ， 都存在唯一的实数0,m， 使， 则实数m的最小值是_ 【答案】 2 【解析】函数，若对任意的实数， 则：f（） 3 2 ，0， 由于使 f（）+f（）=0， 则：f（）0， 3 2 ， ，= 2 ， 所以：实数 m 的最小值是 2 故答案为： 2 8 【江苏省常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测】已知函数在区间0, 上的值域为 3 1, 2 ，则的取值范围为_. 【答案】 5 5 , 6 3 【解析】函数, 当0,x时, , ,画出图形如图所示; ， 则, 计算得

18、出 55 63 , 即的取值范围是 5 5 , 6 3 . 9 【 江 苏 省 横 林 高 级 中 学 2018 届 高 三 模 拟 】 若 函 数对 任 意 的 实 数 且则m=_ . 【答案】1 或5 【解析】 对任意的实数,说明函数图像的一条对称轴为 9 x ， 3 9 f ， 则 23m ， 1m 或5m . 10 【江苏省启东中学 2018 届高三上学期第一次月考】已知函数 若函数 f x 的图象关于直线x2 对称， 且在区间, 4 4 上是单调函数， 则的取值集合为 _. 【答案】 1 5 4 , 3 6 3 【解析】 2x是一条对称轴， ，得， 又 f x在区间 4 4 ，上单调

19、， ，得2， 且，得 4 0 3 ， ，集合表示为 1 5 4 3 6 3 ，。 11.【2018 届江苏省泰州高三 12 月月考】将sin2yx的图像向右平移单位（0）,使得平移后的图 像仍过点 3 32 ，,则的最小值为_ 【答案】 6 【解析】将sin2yx的图像向右平移单位（0）得到,代入点 3 32 ，得： ,因为0,所以当时,第一个正弦值为 3 2 的角,此时 6 ,故填 6 . 12设常数a使方程在闭区间0,2上恰有三个解 1 23 ,x xx,则 . 【解析】原方程可变为,如图作出函数的图象,再作直线 ya ,从图象可知函数在0, 6 上递增, 7 , 66 上递减,在 7 ,

20、2 6 上递增, 只有当3a 时,直线y a 与函数的图象有三个交点, 1 0x , 2 3 x , 3 2x,所以 13.若函数在区间 (,) 6 3 上单调递增,则实数a的取值范围是 【答案】2,) 【解析】因为函数在区间 (,) 6 3 上单调递增 所以( )0fx 在区间 (,) 6 3 恒成立, 因为 2 cos0x ,所以在区间 (,) 6 3 恒成立 所以 1 sin a x 因为(,) 6 3 x ,所以 所以a的取值范围是2,) 14 已知, ,且( )f x在区间(,) 6 3 有最小值,无最大值,则 【答案】 14 3 【解析】 如图所示,因为,且,又在区间 6 3 ，内

21、只有最小值、无 最 大 值 ,所 以( )f x在 42 36 处 取 得 最 小 值 ,所 以,所 以 又0,所以当1k 时,； 当2k 时, ,此 时( )f x在区间 6 3 ，内有最大值,故 3 14 15 【江苏省常熟市 2018 届高三上学期期中】 已知函数（0,0ab） 的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为 2 . （1）求, a b的值； （2）求 f x在0, 4 上的最大值和最小值. 【解析】 （1） f x图象上相邻两个最高点之间的距离为 2 ， f x的周期为 2 ， 2 22a 且0a ， 2a ， 此时， 又 f x的图象与x轴相切，且0b ， 21

22、 22 b ； （2）由（1）可得， 0, 4 x ， 当，即 4 x 时， f x有最大值为 21 2 ； 当4 42 x ，即 16 x 时， f x有最小值为 0. 16 【江苏省常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测】已知函数的部 分图象如图所示. （1）求函数 f x的解析式，并求出 f x的单调递增区间； （2）将函数 f x的图象上各个点的横坐标扩大到原来的 2 倍，再将图象向右平移 6 个单位，得到 g x 的图象，若存在 2 0, 3 x 使得等式成立，求实数a的取值范围. 【解析】 （1）设函数 f x的周期为T，由图可知，T，即 2 ， 0，2， 上式中代入,1

23、6 ，有，得， Zk， 即， Zk， 又 2 ， 6 ， 令，解得， 即 f x的递增区间为； （2）经过图象变换，得到函数 g x的解析式为 g xsinx， 于是问题即为“存在 2 0, 3 x ，使得等式成立” ， 即在 2 0, 3 x 上有解，令， 即在0,1t上有解， 其中， 17 21, 8 a ，实数a的取值范围为 1 17 , 2 16 . 17已知函数. (1)若方程 0f x 在 0, 2 x 上有解,求m的取值范围; (2)在ABC中, , ,a b c分别是, ,A B C所对的边,当(1)中的m取最大值且时,求a的 最小值. 【答案】 （1）0,3;（2）1 【解析

24、】 (1 ) f x= = =, 因为 0, 2 x ,所以, 则, 因为方程 0f x 在 0, 2 x 上有解, 所以,则03m, 故m的取值范围是0,3; (2)由(1)可得m取最大值 3, , 则,则 3 A , 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc, 当bc时a有最小值 1. 18 【2018 届福建省仙游金石中学高三上学期期中】已知函数（0） 的最小正周期为 （）求的值； （）求函数 f x在区间 2 0 3 ，上的取值范围 【答案】()1；() 3 0, 2 . 【解析】 （）. 因为函数 f x的最小正周期为,且0, 所以 2 2 ,解得1 （）由（）得. 因为 2 0 3 x, 所以. 所以 因此,即 f x的取值范围为 3 0 2 ，.