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1、问题 7 平面向量中最值、范围问题问题 7 平面向量中最值、范围问题 一、考情分析 平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合其基 本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解 决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以 解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合 二、经验分享 1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向 量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运
2、算往往更为简捷.1.平面向量线性运算 问题的常见类型及解题策略 2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、 数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此 类问题的常用方法是：利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；将 条件通过向量的线性运算进行转化,再利用求解(较难)；建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关 系的问题往往有很好效果. 3坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常 要借助于直角坐标系. 对于某些
3、平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关 系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果上面两题都是通过 建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1. 2 四、题型分析四、题型分析 (一) 平面向量数量积的范围问题(一) 平面向量数量积的范围问题 已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为,把数量cosab 叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b .即 a b =cosab ,规定 00a ,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定 义法求解,即a b =co
4、sab ；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a a(x1,y1),b b(x2,y2), 则a ab bx1x2y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算 【例 1】 【江苏省苏州市 2019 届高三上学期期末】 如图， 在边长为 2 的正方形 ABCD 中， M， N 分别是边 BC， CD 上的两个动点，且 BMDNMN，则的最小值是_ 【答案】 【分析】 由题意，以点 A为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量 求得，再由，整理得， 利用基本不等式，即可求解. 【解析】由题意，以点 A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设点，
5、其中，则向量， 所以 又由，则， 整理得， 又由， 设，整理得，解得， 所以，所以的最小值为. 【点评】与几何图形有关的平面向量的数量积的运算及应用，常通过建立空间直角坐标系，利用向量的数 量积的坐标运算求解 【小试牛刀】【江苏省盐城中学 2018 届高三上学期期末】已知ABC的周长为 6,且,BC CA AB成等比数 列,则BA BC 的取值范围是_ 【答案】 【 解 析 】 因 为,BC CA AB成 等 比 数 列 ,所 以,从 而02b,所 以 ,又 ,即,解得,故 . (二) 平面向量模的取值范围问题 (二) 平面向量模的取值范围问题 设( , )ax y ,则,向量的模可以利用坐标
6、表示,也可以借助 “形”,向量的模指的是有 向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再 求 【例 2】 已知向量, ,a b c 满足a 与b 的夹角为 4 , ,则ca 的最 大值为 . 【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的 解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设； 以 OA 所在直线为 x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系, a 与b 的夹角为 4 , 则 A（4,0）,B（2,2）,设 C（x,y） , x2+y2-6x-2y+9=0, 即（x-3）2+（y-1）2=
7、1 表示以（3,1）为圆心,以 1 为半径的圆, ca 表示点 A,C 的距离即圆上的点与点 A（4,0）的距离； 圆心到 B 的距离为, ca 的最大值为 12 【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目 标函数代表的几何意义是解题关键 【小试牛刀】 【2018 届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OAa , OBb ,且 22 1ab , 0OA OB ,若向量,且 ,则OC 的最大值为_ 【答案】 3 2 【解析】 因为OAa , OBb ,且 22 1ab , 0OA OB , ,如图,取AB中点D,则
8、, 1 2 OD , ,由 可得 , 1DC , C在以D为圆心, 1为半径的圆上, 当OC，, D共线时OC 最大, OC 的最大值为 3 1 2 OD ,故答案为 3 2 . (三) 平面向量夹角的取值范围问题(三) 平面向量夹角的取值范围问题 设 11 ( ,)ax y , 22 (,)bxy ,且, a b 的夹角为,则 【例 3】已知向量 OA与 OB 的夹角为, 0 t在时取得最 小值,当 0 1 0 5 t时,夹角的取值范围为_. 【分析】将PQ 表示为变量t的二次函数PQ ,转化为求二次函数的最 小值问题,当时,取最小值,由已知条件 0 1 0 5 t,得关于夹角的不等式,解不
9、等式得解 【解析】由题意知, , ,所以 ,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由 题意可得, ,求得,所以 3 2 2 . 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注 意变量之间的关系,进而得解 【小试牛刀】已知非零向量, a b 满足2ab ,若函数在 R 上存在极值,则 a 和b 夹角的取值范围为 【答案】, 3 【解析】,设a 和b 夹角为,因为 f x有极值,所以,即 ,即 1 cos 2 ,所以, 3 （四）平面向量系数的取值范围问题（四）平面向量系数的取值范围问题 平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模
10、、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式 得系数的不等式,从而求系数的取值范围 【例 4】已知2 ,a,5 , 3b,且a与b的夹角为锐角,则的取值范围是 【分析】a与b的夹角为锐角等价于 0a b ,且a与b不共线同向,所以由 0a b ,得 3 10 ,再除去a 与b共线同向的情形 【解析】由于a与b的夹角为锐角, 0ba ,且a与b不共线同向,由,解得 3 10 ,当向量a与b共线时,得65,得 5 6 ,因此的取值范围是 3 10 且 5 6 【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是0, ,而三角形内角范围是(0, ),向量夹 角是锐角,则cos0,且cos1,而三
11、角形内角为锐角,则cos0, 【小试牛刀】 【江苏省泰州中学 2018 届高三 10 月月考】如图,在ABC中,. （1）求AB BC 的值； （2） 设点P在以A为圆心, AB为半径的圆弧BC上运动,且,其中, x yR.求xy的取 值范围. 【解析】 （1）. （2）建立如图所示的平面直角坐标,则. 设,由, 得.所以. 所以. . 因为, 所以,当2 62 时,即 3 时, xy的最大值为1； 当或即0或 2 3 时, xy的最小值为0. 五、迁移运用五、迁移运用 1 【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市 2019 届高三第一次（2 月)模拟】在平面四边形中， ，则的最小值为_ 【答案
12、】 【解析】如图，以 A 为原点，建立平面直角坐标系，则 A（0,0） ，B（1,0） ， 因为 DADB，可设 D（ ，m） ， 因为，AB1，由数量积的几何意义知在方向的投影为 3， 可设 C（3，n） ， 又所以，即 ， ， 当且仅当，即 n1，m 时，取等号， 故答案为. 2 【江苏省无锡市 2019 届高三上学期期末】已知点 P 在圆 M： (x-a)2 +(ya+2)2 1 上， A，B 为圆 C： x2 +(y-4)2 4 上两动点，且 AB 2, 则 的最小值是_ 【答案】 【解析】取 AB 的中点 D，因为AB 2，R2，CD1， 所以，. C（0,4） ，M（a，a2） 当
13、 C、D、P、M 在一条直线上时，PD最小，此时， PDCMCDPM 所以，1912，当a3 时取到最小值 1912. 故答案为：. 3 【江苏省清江中学 2019 届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系中，已知点为圆 上的两动点， 且若圆 上存在点 使得则正数的取值范围为 _. 【答案】 【解析】设 BD 的中点为 D,所以所以点 D 在以原点为圆心，以 1 为半径的圆上， 所以点 D 的轨迹方程为， 因为，所以 设 所以所以 m 表示动点到点（1,1）的距离， 由于点在圆上运动， 所以， 所以正数m的取值范围为. 故答案为： 4 【江苏省如皋市 2018-2019 学年高三数学第一学期
14、教学质量调研】在ABC 中，D 为 AB 的中点，若 ，则的最小值是_ 【答案】 【解析】根据 D 为 AB 的中点，若，得到， 化简整理得，即， 根据正弦定理可得，进一步求得， 所以 ， 求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为 ， 故答案为. 5【江苏省常州 2018 届高三上学期期末】 在ABC中, 5AB , 7AC , 3BC , P为ABC内一点 （含 边界）,若满足,则BA BP 的取值范围为_ 【答案】 5 25 , 84 【 解 析 】 由 余 弦 定 理 ,得,因 为P为ABC内 一 点 （ 含 边 界 ） ,且 满 足 ,所以 3 0, 4 ,则 . 6 【江苏省南
15、通市 2018 届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD的边长2AB , 1AD .点P, Q分别在边BC, CD上,且,则AP AQ 的最小值为_. 【答案】4 2 4 【解析】以 A 坐标原点,AB,AD 所在直线为 x,y 轴建立直角坐标系,设 所以AP AQ 因为,所以 因为,所以 因此 7 【江苏省如皋市 2017-2018 学年度高三年级第一学期教学质量调研】 已知点P是边长为2 3的正三角形 ABC内切圆上的一点,则PA PB 的取值范围为_. 【答案】3,1 【解析】以正三角形ABC的中心为原点,以AB边上的高为y轴建立坐标系,则, 正三角形ABC内切圆的方程为 22 1
16、xy,所以可设,则 , ,故答案为3,1. 8 【南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为 1, 正六边形的顶点称为“晶格点” 若, ,A B C D四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B的位置所图所示,则 AB CD 的最大值为_ 【答案】24 【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD 取最大值时, 即AB CD 9 【江苏省泰州中学 2018 届高三 12 月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120,那么2axb （xR） 的最小值是_ 【答案】3 【解析】 2axb 的最小值为3. 10 【江苏省溧阳市 2017-20
17、18 学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB中,弦2ABC ，为劣弧AB 上 的动点, AB与OC交于点P,则 OP BP 的最小值是_ 【答案】 1 4 【解析】设弦 AB 中点为 M,则 若,MP BP 同向,则 0OP BP ,若,MP BP 反向,则 0OP BP , 故OP BP 的最小值在,MP BP 反向时取得, 此时,则：, 当且仅当时取等号,即OP BP 的最小值是 1 4 . 11已知AB为圆O的直径,M为圆O的弦CD上一动点,8AB ,6CD ,则MA MB 的取值范围 是 【答案】 9,0 【解析】 试题分析：,而,所以MA MB 的取值范围是 9,0 12在ABC中,
18、 ,则角A的最大值为_. 【答案】 6 【解析】 试题分析:由题设可得,即,也即, 故,由于,因此 ,故,所以,所以 6 max A,应 填答案 6 . 13在平面内,定点, ,A B C D满足,动点 ,P M满足,则BM 的最大值是_. 【答案】3 2 1 【解析】 试题分析:设,则.由题设可知, 且.建立如图所示的平面直角坐标系,则,由题意点P在 以A为圆心的圆上,点M是线段PC的中点.故结合图形可知当CP与圆相切时,BM 的值最大,其最大值 是 123 .应填答案3 2 1 . 14 【2018 届江苏省泰州中学高三 12 月月考】在矩形ABCD中, 3AB , 1AD ,若M, N分
19、别在边 BC, CD上运动（包括端点,且满足,则AM AN 的取值范围是_ 【答案】1,9 【解析】 分别以 AB,AD 为 x,y 轴建立直角坐标系,则,设, 因为,所以 3 3 x b ,则, 故,所以,故填1,9. 15.在ABC中,点D在线段BC的延长线上,且 1 2 BCCD ,点O在线段CD上（与点,C D不重合）,若 ,则x的取值范围是_ 【答案】2,0 【解析】 因为, 因为 1 2 BCCD ,点O在线段CD上, 所以0,2y, 因为,所以2,0x . 16 已 知 向 量, 2ax ,1by ,其 中x,y都 是 正 实 数 ,若a b ,则2txy的 最 小 值 是 _
20、【答案】4 【 解 析 】 由a b ,得 0ba ,即,所 以2xy 又x,y都 是 正 实 数 ,所 以 当且仅当yx2时取得等号,此时2x,1y,故答案为：4 17在ABC中,已知3AB , 3 C ,则CA CB uu r uur 的最大值为 . 【答案】 3 2 【 解 析 】,由 余 弦 定 理 得 ：,所 以 3 2 CA CB uu r uur ,当且仅当ab时取等号 18已知ABC中,4AB ,2AC ,（R）的最小值为2 3,若P为边AB 上任意一点,则PB PC 的最小值是 【答案】 9 4 【 解 析 】 令( )f 2 16 2 4(22 ),当cos0A时 ,( )f ,因为2 32 2,所以 2 A ,则建立直角坐标系,(0,0)A, ,设( ,0)P x(04)x,则, ,所以PB PC (4)xx 2 (2)4x； 当cos0A时 ,( )f 1 cos 2 A ,解 得 1 cos 2 A ,所 以 3 A ,则 建 立 直 角 坐 标 系 ,(0,0)A, ,设( ,0)P x(04)x,则 , ,所以PB PC 2 59 () 24 x综上所述,当 5 2 x 时, PB PC 取得最小值 9 4