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1、初等模型（2）,一、录象机计数器的用途 二、优秀成果评选公平性问题 三、生小兔问题 四、动物繁殖的规律 五、棋子颜色的变化,1、问题的提出,老式录象机或一些录音机上有计数器，而没有 计时器。因而问题产生：一盘180分钟的带子，计数 器从0000变到6061。当带子用到4450时，剩下的带 子可否录下一个小时的节目。 问题所在：录象带读数并非随时间而均匀增长，是 先快后慢。 要建立的模型：计数器读数与录象带转过的时间之 间的关系。,2、问题分析读数的增长为何先快后慢,r,右,左,计数器,主动轮转速不变,建立模型：t = f ( n ),3、模型假设,（1）录象带的线速度是常数v （2）计数器读数
2、n 与右轮盘转的圈数（m ）成 正比，即m = k n （3）录象带的厚度（加两带间的空隙）是常数w （4）空右轮盘半径为r， 初始时刻：t=0时n=0,几个角度建立模型！,4、模型的建立,方法一、,左轮盘所有圈数的长度,录象带转过的长度,=,vt,其中m为圈数，则m=kn,模型：,w相对r较小，忽略该项,（2）,=,（1）,4、模型的建立,方法二、,左轮盘面积增加,录象带转过的长度与厚度的乘积,=,（3）,4、模型的建立,方法三、微积分法 设t = f ( n ) 考虑从第n到第n+n圈（此时第n+1圈未走完),第kn圈,kn,因此：,读数器为n时,因此：,5、参数估计,记,a,b,问题：测
3、试一组数据估计： t = a n + b n,初等模型（2）,一、录象机计数器的用途 二、优秀成果评选公平性问题 三、生小兔问题 三、动物繁殖的规律 四、棋子颜色的变化,二、优秀成果评选公平性问题,1、问题：设有N个评委组成的评选委员会， 有M项研究成果，评委会要从中选mM 项优秀成果，但有些评委是某些成果的 完成者，应如何处理此问题才是公平的？ 方案一：按得票多少排序 方案二：评委不参加对自己的成果投票，再 按得票率排队,方案（2）是否公平分析,设某成果涉及C个评委，他们回避后该项 成果得p(NC)票。 （1）回避得票率 （2）不回避得票率,方案（2）还是不公平？,除p=NC外，对每个p，均
4、有r 1 ( p ) r 2 ( p ),1,NC,0,r,r2,r1,p,应采用折中方案,度量得票多少的函数q ( p )应满足如下条件： （1） q ( p )是p的单调增函数 （2）r 1 ( p ) q ( p ) r 2 ( p ) ，0 p N C （3）q ( 0 ) = 0，q ( N C ) = 1,一个简单实用公平的度量函数,还有吗？,初等模型（2）,一、录象机计数器的用途 二、优秀成果评选公平性问题 三、生小兔问题 四、动物繁殖的规律 五、棋子颜色的变化,三、生小兔问题,1、问题： 兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月 生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子都成 活，试问
5、一年以后共有多少对兔子，两年后有 多少对兔子?,注：这是13世纪意大利比萨的一位叫伦纳德，绰号为斐波那 契(Fibonacd，11701250)的数学家，在一本题为算 盘书的数学著作中，提出的一个有趣的问题。,2、图示,3、问题分析,第一个月：只有一对小兔。 第二个月：小兔子末成熟不会生殖，仍只一对， 第三个月；这对兔子生了一对小免，共有两对。 第四个月：老兔子又生了一对小免，而上月出 生的小免还未成熟，这时共有三对。,4、问题分析与模型建立,记r i 表示第i个月的兔子数 （1） r 1 = 1 （2） r 2 = 1 （3）规律： 2年后兔子的对数：75025,5、 Fibonacd数列的
6、奇特性质,6、 Fibonacd数列的广泛应用,1、一本专门研究它的杂志斐波那契季刊 (Fibonacci Quarterly)于1963年开始发行，在美 国还专门设立了Fibonacci数委员会。 2、上世纪50年代出现的“优选法”中，也有斐波那 契数列的巧妙应用。 3、斐波那契数列不只是在生小免问题中才会遇到， 它也出现在自然界、生活中.，如植物的叶 序、菠萝的鳞片、树枝的生长、蜜蜂进蜂房的 路线、钢琴键盘等,初等模型（2）,一、录象机计数器的用途 二、优秀成果评选公平性问题 三、生小兔问题 四、动物繁殖的规律 五、棋子颜色的变化,四、动物繁殖的规律,1、问题： 某动物的最大年龄为15岁，
7、按年龄分三组： （1）05岁 （2）610岁 （3）1115岁。从 第（2）年龄组后开始繁殖。第（2）年龄组平 均繁殖4个，第（3）年龄组平均繁殖3个。第 （1）（2）年龄组分别进入下一年龄组的存活 率为0.5，0.25。现设三个年龄组的数量分别为 1000，问：5年、10年、15年后各年龄段动物 数量，并且20年后各年龄段动物数量又如何？,2、问题分析,设：以5年为1年龄段，t为时间段，各年龄段的数 量为： X(t)= x 1 (t) x 2 (t) x 3 ( t) / 初始时刻的数量： X(0)= x 1 (0) x 2 (0) x 3 (0t) /=1000 1000 1000/ 则：
8、,第1年龄段,第2年龄段,第3年龄段,3、模型,4、求解5年、10年及15年数量,5、思考？,（1）当有足够大的时间t时，模型有什么 规律？ （代数性质） （2）如果每5年平均向市场供应动物数是： c = s s s /，问动物不在灭绝的前提 下，c应取多少？ （3）在动物不在灭绝的前提下，每5年应 如何规划使得20年内向市场供应的数 量最大？,初等模型（2）,一、录象机计数器的用途 二、优秀成果评选公平性问题 三、生小兔问题 四、动物繁殖的规律 五、棋子颜色的变化,五、棋子颜色的变化,1、问题： 任意拿出黑白两种颜色的棋子共8个，排成如 下图所示的圆圆，然后在两颗颜色相同的棋子中 间放一颗黑
9、色棋子，在两颜色不同的棋子中间放 一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子。再 重复以上的过程，问这样重复进行下去各棋子的 颜色会怎样变化呢?,2、最终结论是什么？,可完全用数学的推理方法说明最多经 过8次变换，各棋子的颜色都会变黑。,3、分析,注意：规则是两同色的棋子中间加黑色棋子，两异 色的棋子中间加白色棋子，即黑黑得黑，白 白得黑，黑白得白，与有理数符号规则类似。 方法：用+1表尔黑色，用l表示白色，开始摆的八 颗棋子记为a1，a2，.，a8，并且a k+1或-1， k1，2，8，下一次在al与a2中间摆的棋 子的颜色由a1和a2是同色还是异色而定。类 似的a k a k+1正好给出了所放
10、棋子的颜色。,4、符号运算规则,规则：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白 引入记号，则： (1) (1)()= (1) (1)()= (1) (1),5、各次颜色的确定,可见：最多经过8次变换以后，各个数都变 成丁+1，这意味着所有棋子都是黑色，且以后 重复上述过程，颜色也就不再变化了。,小组讨论题,我们每个人都有跑步的经历，有人会因此 而疲惫不堪，但是有谁会想：怎样跑步能使我 们消耗的能量最少?,d4-01：跑步与走路时如何节省能量,结 束！,不公平！,back,对非评委的研究成果的完成者不公平， 因为评委对自己完成的成果投赞成票的可 能性最大。,（1）规律：,back,当时间t足够大时，满足：,如何求？ Matlab命令： 特征值命令：d=eig(A) 求正数: i,j=find(d0),（2）如何取c值？,由于：,故：,即：,Matlab求不等式解：c=152 152 152,back,（3）如何使数量最大？,back,设c= c1 c 2 c 3 c 4为每个5年的供应量，则：,