初等模型.ppt

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1、初 等 模 型,一、公平的席位分配 二、动物的身长和体重 三、划艇比赛 四、人员疏散 五、红绿灯模型,一、公平的席位分配,1、问题： 某学校有3个系共200名学生，其个甲系100名，乙系60 名、丙系40名若学生代表会议设20个席位，公平而又简 单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙 三系分别应占有10、6、4个席位。 现在丙系有6名学生转入甲乙两系，若仍按比例分配席 位，出现小数按取整原则，重新计算后，甲乙丙三系的席 位为10、6、4席。 现在的问题是：因为有20个席位的代表会议在表决提案 时可能出现10：10的局面，会议决定下届增加1席他们 按照上述方法重新分配席位，计算结果是

2、：甲乙丙三系的 席位为11、7、3席。显然这个结果对丙系太不公平了、因 为总席位增加1席而丙系却由4席减为3席,按比例分配方案的计算结果,要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公 平分配席位的指标，并由此建立新的分配方法。,2、指标体系的建立,（1）按比例分配不公平的原因 设A、B两方人数分别P1和P2，占有席位分别是 n1和n2，则两方每个席位代表的人数分别为P1/n1和 P2/n2。显然仅当P1/n1=P2/n2，此时席位的分配才是公 平的。但是因为人数和席位都是整数，所以通常 P1/n1P2/n2，这时席位分配不公平，并且Pi/ni(i=1,2) 数值较大的一方吃亏，或者说对这方不公平

3、。,2、指标体系的建立,（2）不公平程度的衡量： 不妨设P1/n1P2/n2，不公平程度用以下数值衡量： 绝对程度： P1/n1 P 2/n2 评价：无法区分两种程度明显不同的不公平情况 但常识告诉我们，这种情况的公平席位度 比起前面已大为改善。 改进： 相对标准,2、指标体系的建立,（3）相对标准的建立：符号假设同上 若： 定义 为 A相对不公平值 若： 定义 为 B相对不公平值,方案原则：使这些指标值尽可能小,3、分配方案的确定,假设： A、B两方已分别占有n1、n2席，利用相对不公平值 rA和rB讨论，当总席位增加1席时，应该分配给A还是B？ 不失一般性可设 ，即对A不公平当再分 配1个

4、席位时，关于P i/n i(i1，2)的不等式可能有以下3 种情况： （1） ，说明即使A方增加1席，仍然对A 不公平，所以这一席显然应分给A方。,3、分配方案的确定,WHY？,3、分配方案的确定,归纳： 因为公平分配席位的原则是使得相对不公平值尽 可能地小，所以如果 则这1席应分给A方；反之则分给B方。,模型： 当上式成立时增加的l席应分给A方。反之则分给B。,4、模型的推广Q值法,推广有m方分配席位的情况： 设第i方人数为P i ，已占有n i个席位，i=1，2，.， m。当总席位增加1席时，计算：,应将这席分给Q值最大的一方。这种席位分配 方法称Q值法。,5、本问题求解：,下面用Q值法重

5、新讨论本节开始提出的甲乙丙三系 分配21个席位的问题。 （1） 先按照比例计算结果将整数部分的19席分配完毕， 有n1=10，n26，n33 （2）然后再用Q值方法分配第20席和第21席： 第20席：,第21席：,于是这一席应分给丙系。,评论这种方法公平吗？,Q值所反映的对第i方的不公平程度： 记p为总人数即pP i，n为总席位数，且设第i方 席位n i为按人数比例计算的整数部分即：,于是：,上式两端分别是增加的1席分给第i方和不分给第i方 时，该方每席位所代表的人数，这两个值越大，对第i方 越不公平。而Qi恰是它们的几何平均值的平方，故Qi能 反映对第i方酌不公平程度，增加酌1席应分给Q值最

6、大的 一方。,关于公平分席的另一方案,新问题：学校共1000名学生，235人住在A宿台，333人住B 宿舍，432人住在C宿舍学生们要组织一个10人的委员 会，试用下列办法分配各宿舍的委员数。 dHondt方法： 将A、B、C各宿舍的人数用1，2，3，.正整数相除 其商数如下表：,将所得商数从大到小取前10个（10为席位数)，在数字 下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2、3、5， 这就是3个宿台分配的席位。这种方法有道理吗?,初 等 模 型,一、公平的席位分配 二、动物的身长和体重 三、划艇比赛 四、人员疏散 五、红绿灯模型,二、动物的身长和体重,问题的提出： 四足动物的躯干的长度(

7、不含头尾)与它的体重有什 么关系？ 这个问题有一定的实际意义。比如，在生猪收购站 或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出 它的体重。 动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入对生物 学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的有使 用价值的模型这里我们仅在十分粗赂的假设基础上， 利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长和 体重间的比例关系。,1、问题的分析与假设,把四足动物的躯干看作圆柱体，长度l、直径d、断面 面积s如下图所示。 将这种圆柱体的躯干类比作根支撑在四肢上的弹性 梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。,2、模型的建立：,原理： 动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度b

8、，即梁的 最大弯曲，根据对弹性粱的研究，有：,进一步分析b/l的意义,3、生物学角度分析b/l,b/l生理学意义： b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大，四肢将 无法支撑；b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑 躯干的需要，无疑是一种浪费。 生物学进化角度： 经过长期进化，对每一种动物而言b/l已经达到其 最合适的数值，即b/l应视为与这种动物的尺寸无关的 常数。,4、结论,（1）关系式： （前面分析） （2）另一些比例关系： （3）最终结论：,即体重与躯干长度的4次方戊正比。这样，对于某一 种四足动物比如生猪，在根据统计数据确定出上述比例系 数以后，就能从躯干长度估计出动物的体重了。,初

9、 等 模 型,一、公平的席位分配 二、动物的身长和体重 三、划艇比赛 四、人员疏散 五、红绿灯模型,三、划艇比赛,问题提出： 赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双 人艇、四人艇、八人艇四种。八人艇还分重量级(桨手平 均体重86公斤)和轻量级(平均体重73公斤)。各种艇虽大 小不同，但形状相似TAMcMahon比较了各种赛艇 1964一970年四次2000米比赛的最好成绩(包括1964年和 1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛)，发现它们之间 有相当致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存 在着某种联系，于是建立了一个模型来解释这种关系。,1、数据资料,各种艇的比赛成绩和规格,现象：

10、八人艇重量级组的成绩比轻量级组约好5%,2、问题分析,赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之 间的摩擦力。艇靠桨手的力量克服阻力保持定的速 度前进。桨手越多划艇前进的动力越大。但是艇和桨 手总重量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大， 增加的阻力将抵消一部分增加的动力。建模目的是寻 求桨手数量与比赛成绩(航行定距离所需时间)之间 的数量规律。,3、如何抽象问题假设？,（1）如果假设艇速在整个赛程中保持不变，那么只需构 造一个静态模型，使问题简化为建立桨手数量与艇 速之间的关系。注意到在实际比赛中桨手在极短的 时间内使艇加速到最大速度，然后把这个速度保持 到终点，那么上述假设也是合理的。

11、（2）从表中可以看出，桨手数n增加时，艇的尺寸l、b及 艇重w0都随之增加，但比值l/b和wo/n变化不大。若 l/b常数，即各种艇的形状一样，则可得到艇浸没面 积与排水体积之间的关系。 （3）若假定w0/n是常数，则可得到艇和桨手的总重量与 桨手数之间的关系。此外还需对桨手体重、划桨功 率、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假 定，才能运用合适的物理定律建立需要的模型。,4、问题假设,（1）各种艇的几何形状相同，l/b为常数；艇重w0与 桨手数n成正比，这是艇的静态特性 （2）艇速v是常数，前进时受的阻力f与sv2成正比(s 是艇浸没部分面积)，这是艇的动态特性。 （3）所有桨手(除八人

12、艇轻量级组外)的体重都相同， 记作w；在比赛中每个桨手的划桨功率P保持不 变，且P与w成正比。,5、模型的构成,（1）有n名桨手的艇的总功率nP与阻力f和速度v的乘积 成正比，即：,（2）由假设2、3，有：,（3）由假设1：各种艇几何形状相同，若艇浸没面积s 与艇的某特征尺寸c的平方成正比，则艇排水体积 A必与c的立方成正比，于是有：,（4）根据艇重w0与桨手数n成正比，所以艇和桨手的总 重量w/w0十nw也与n成正比(八人艇轻量级组除外)， 即：,（5）由阿基米德定律，艇排水体积A与总重量w/成正比， 即：,6、模型,比赛成绩与速度的关系：,速度与人数、重量及艇浸没面积的关系：,7、模型应用

13、于本问题,对于八人艇的重量级组和轻量级组，分别用vh，vl， wh，wl，sh，sl和th，tl表示其速度、桨手体重、艇浸没 面积和比赛时间。,关系1： 因为n相同，所以：,另外，重量级组桨手体重大，下沉力大，会增加艇 浸没面积，但重量级组的艇身略大，上浮力大，也会抵 消一部分下沉力，减少浸没面积，因而若记 ， 则将非常接近于1(略小于1)，所以：,（w173，w286 ， ）,8、模型验证,（1）前面分析的模型： 比赛成绩与速度的关系：,（2）数据拟合t与n的模型：,初 等 模 型,一、公平的席位分配 二、动物的身长和体重 三、划艇比赛 四、人员疏散 五、红绿灯模型,1、问题的提出,在意外事

14、件发生的时候，建筑物内的人员是否能有效 疏散撤离是人们普遍关心的问题。尤其是911事件发生后。 对于个特定建织物，人们关心疏散路线和全部疏散完毕 所用时间等。这个问题可以通过反复的实际演习来解决。 但多次反复的演习实际上是不可能的，理想的办法是通过 理论上的分析来得到。 考虑学校的一座教学楼，其中一楼有一排四间教室( 下图)学生们可以沿教室外的走道一直走到尽头的出口， 试用数学模型来分析人员疏散所用时间。,2、假设,（1）为简单起见，可设疏散时大家秩序井然地排成 单行均匀稳定地向外走，则疏散时队列中人与 人之间的距离为常数，记为d米； （2）设逃离是匀速行进的，速度为v米秒；,3、符号体系,d

15、 疏散时人与人的距离 v 疏散时人员的行进速度 n i +1 第n i个课室的人数 L i 第i个课室门口到第i 1 个课室门口的距离 t 0 疏散时第一个到达教室门口所用的时间,4、模型的分析与建立,（1） 考虑靠近出口的第一个教室内人员的疏散。这个教 室撤空的时间是： 因而该室最后一人到达出口，全部撤离的时间是：,（2）其他课室类似考虑,5、考虑重叠的情况,在单行撤离的假设下还应该考虑到这两支疏散队伍 可能出现的重叠的情形，也就是说，当第二个教室的第 一个撤离者到达第一个教室的门口A时，第一个教室内 的人还没有疏散完毕，这时如果两支队伍同时行进势必 造成混乱，因此需要等待第一个教室撤空以后

16、第二个教 室的队伍再继续前进。这钟情形出现的条件是：,6、两个课室全部撤离所用时间的模型,问题：三个课室呢？,初 等 模 型,一、公平的席位分配 二、动物的身长和体重 三、划艇比赛 四、人员疏散 五、红绿灯模型,1、问题,在一个由红绿灯管理下的十字路口，如果 绿灯亮15秒钟，问最多可有多少汽车通过该交 叉路口？,2、情况分析,这个问题提得笼统含混，因为交通灯对十字路口的 控制方式很复杂，特别是车辆左、右转弯的规则，不同 的国家都不一样通过路口的车辆的多少还依赖于路面 上汽车的数量以及它们的行驶的速度和方向。因而这里 在一定的假设之下把问题简化。,3、问题假设,（1）十字路口的车辆穿行秩序良好，

17、不会发生阻塞。 （2）所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并 且仅考虑马路一侧或单行线上的车辆。 （3）所有的车辆长度相同，为L米，并且都是从静止 状态匀加速启动。 （4）红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等， 为D米。 （5）前一辆车起动后，下一辆车起动的延迟时间相 等，为T秒。,4、坐标体系,用x轴表示车辆行驶的道路，原点O表示交通 灯的位置，x轴的正向是汽车行驶的方向以绿灯 开始亮为起始时刻。,5、定理应用,（1）匀速的运动规律： 其中S1(t)为t时刻汽车在x轴上的位置。 （2）城市的最高限速v*，绿灯亮后汽车将起动一直加 速到可能的最高速度，并以这个速度向前行驶。 （3）第n辆车

18、在t时刻的位置：,其中Sn(0)是启动前汽车位置，tn是该车启动时刻 有：,6、模型建立,（1）汽车加速时间： （2）绿灯亮后汽车行驶规律：,等待时间,加速期间,匀速期间,7、问题回答,（1）模型参数： 取L=5米，D=2米，T=1秒 城市十字路口最高速度：40千米/小时=11.1米/秒 （2）一项调查： 大部分司机10秒钟内车子可以由静止加速到 大约26米秒的速度，即加速度为2.6米/秒2，保守 取2米/秒2 （3）绿灯亮至15秒红灯再次亮时每辆汽车的位置：,为什么 ？,Back,因为讨论是从对A不公平即 前提 出发的。而P 2 / n 2 P 2 / ( n 2 + 1)，因而不会 出现这种情况。,