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1、 1(2013陕西，10，易)设x表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，y，有( ) Axx B2x2x Cxyxy Dxyxy 【答案】 D A 不成立，如4，3； B 不成立，如 x1.6 时，2x3，2x2； C 不成立，如 xy1.6，则xy3，xy2，由 排除法知选 D. 思路点拨：本题考查新定义问题，解题的关键是把握取整函数的意义，取特殊值进行判断即可 2(2011浙江，7，易)若 a，b 为实数，则“0 ”的( ) 1 b 1 a A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 A 当 00，则有 a ，故“0 ”的充分条件反之，
2、取 b1，a2，则有 a ，但 ab0，则下列不等式中，恒成立的是( ) Aa2b22ab Bab2ab C. D. 2 1 a 1 b 2 ab b a a b 【答案】 D A 项， 当 ab1 时， 满足 ab0， 但 a2b22ab， 所以 A 错误 ； B， C 项， 当 ab1 时，满足 ab0，但 ab0，0，显然 B，C 错误；D 项，当 ab0 时，由基本 1 a 1 b ab 2 ab 不等式得 22，所以 D 正确 b a a b b a a b 4(2013上海春季，17，易)如果 a0， ab0， 故 0， 1 a 1 b ba ab ， 故 A 项错误 ； B 项，
3、 由 a0， abb2， 故 B 项错误 ； C 项， 由 a0， a2ab， 1 a 1 b 即aba2，故 C 项错误；D 项，由 a0，故 1 ， ab21b2， ab24a2， 1 a 1 2 1 b bbb，bcac. (3)可加性：abacbc. (4)可乘性：ab，c0acbc；ab，cb，cdacbd. (6)乘法法则：ab0，cd0acbd. (7)乘方法则：ab0anbn(nN，n2) (8)开方法则：ab0(nN，n2) n a n b 2不等式的倒数性质 (1)ab，ab0 . 1 a 1 b (2)a0b . 1 a 1 b (3)ab0，0cd . a c b d
4、(1)(2014四川，4)若 ab0，c B. D. Bln(x21)ln(y21) 1 x21 1 y21 Csin xsin y Dx3y3 【解析】 (1)方法一：c0 y.对于选项 A，取 x2，y1，则sin ，显然 C 错误；对于选项 D，若 xy，则 x3y3一定成立，故选 D. 2 【答案】 (1)D (2)D 1.比较大小的方法 (1)作差法 一般步骤是：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差 (2)作商法 一般步骤是：作商；变形；判断商与 1 的大小；结论 (3
5、)特殊值法 若是选择题可以用特殊值法比较大小，若是填空题或解答题，也可以用特殊值法求解 2判断关于不等式的命题真假的三种方法 (1)直接运用不等式的性质 ： 把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质， 然后进行推理判断 (2)利用函数的单调性：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂 函数的单调性等进行判断 (3)特殊值验证法：即给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断 (2014福建三明模拟，4)若 ab0 是“a2b2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 A 当 ab0
6、时， a2b2显然成立 ； 当 a2b2时， 令 a2， b1， 则 ba， 故 a2b2ab0 不成立，故选 A. 2(2015安徽合肥模拟，4)已知 a，b，c 满足 c0 c a b a ba c C.0，所以 0，b2， 故 A 项错误 ； 若 0 ， 故 D 项错误 ； 若 ab0， 则 ab2a2b， b a a b 故 B 项错误 4(2015河北衡水二模，5)已知 0 B. 1 lg a 1 lg b 【答案】 D 因为 0，(lg a)2(lg b)2，lg a，因此只有 D 项正确 1 lg a 1 lg b 思路点拨：利用不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性求解 5(
7、2015山东烟台模拟，6)已知10， AB(1a2)(1a2)2a20得AB， CA (1a2) 1 1a a （a 2a1） 1a 0，得 CA，所以 B0； a b ； ln a2ln 1 a 1 b 1 ab 1 ab 1 a 1 b b2中，正确的不等式是_(填正确不等式的序号) 【解析】 由 0，0， 1 ab 1 ab a0，则b|a|，即|a|bb ，故正确； 1 a 1 b 1 a 1 b ba2，ln b2ln a2成立 错误，故正确的是. 【答案】 1(2011江西，2，易)若集合 Ax|12x13，B，则 AB( ) x| x2 x 0) Ax|1x0 Bx|0x1 Cx
8、|0x2 Dx|0x1 【答案】 B 化简两集合，得 Ax|1x1，Bx|0x2，则 ABx|0x1 故选 B. 2(2013陕西，9，中)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2的内接矩形花 园(阴影部分)，则其边长 x(单位：m)的取值范围是( ) A15，20 B12，25 C10，30 D20，30 【答案】 C 矩形的一边长为 x m，设另一边长为 y，则由相似三角形得， 1 2x（40y） 1 2 40 40 x2 4b2 故其邻边长 y(40x)m，故矩形面积 Sx(40x)x240x，由 S300 得x240x300，解得 10x30. 3 (2013天津
9、， 8， 难)已知函数 f(x)x(1a|x|)， 设关于 x 的不等式 f(xa)0 时无解，所以 a0，所以1 1 2，) 即a 2a1 0，) 解得0 时均有 x2x10，由二次函数的图象知，显然不 成立，a1. (2)当 a0，(a1)x10 时均有 x2ax10. 二次函数 yx2ax1 的图象开口向上， 不等式 x2ax10 在 x(0， )上不能恒成立， a1 时，令 f(x)(a1)x1，g(x)x2ax1，两函数的图象均过定点(0，1)a1，f(x) 在 x(0， )上单调递增， 且与 x 轴交点为， 即当 x时， f(x)0. 又二次函数 g(x)x2ax1 的对称轴为 x
10、 0，则只需 g(x)x2ax1 与 x 轴的右交点与点 a 2 重合，如图所示，则命题成立，即在 g(x)图象上，所以有10，整理 ( 1 a1，0)( 1 a1，0)( 1 a1) 2 a a1 得 2a23a0，解得 a ，a0(舍去) 3 2 综上可知 a . 3 2 【答案】 3 2 考向 1 一元二次不等式及分式不等式的解法 三个“二次”之间的关系 判别式 b24ac000 二次函数 yax2 bxc (a0)的图象 一元二次方程 ax2 bxc0 (a0)的 根 有两相异实数根 x1， b 2a x2(x1x2) b 2a 有两相等实数根 x1x2 b 2a 没有实数根 ax2b
11、xc0 (a 0)的解集 x|xx1，或 xx2xR|xx1R ax2bxc0 (a 0)的解集 x|x1xx2 (1)(2013重庆， 7)关于 x 的不等式 x22ax8a20(a0)的解集为(x1， x2)， 且 x2x115， 则 a( ) A. B. C. D. 5 2 7 2 15 4 15 2 (2)(2012重庆，2)不等式0 的解集为( ) x1 2x1 A.(1 2，1 B.1 2，1 C.1，) (， 1 2) D.1，) (， 1 2 (3)(2013广东，9)不等式 x2x20(a0)或 ax2bx c0)的形式； (2)计算相应的判别式； (3)当 0 时，求出相应
12、的一元二次方程的根； (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集 2分式不等式的解法 (1)0(0 的 x|x 1 2) 解集为( ) A.x|x lg 2) B.x|1 lg 2) D.x|x 1 2) f(x)0 的解集为. x|1 0 得，10 时，根据两根相等，找出 a 的取值，再分 01 三种情况讨论 【解析】 (1)由条件得 a24b0，c0， 从而 f(x). (x a 2) 2 所以不等式 f(x)1. 当 a0. (x 1 a) 因为 1 或 x0 时，原不等式可化为(x1)1，所以 11，则 1) 当 a0 时，原不等式的解集为x|x1； 当 01 时，原不等式的解集
13、为. x| 1 a 1 时，解集为x|11 时，解集为x|10(或 0)对 于 一 切xR 恒 成 立 的 条 件 是 a 0， b24ac 0(或0)对于一切 xR 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要 对二次项系数 a 进行讨论，并研究当 a0 时是否满足题意 (1)(2014江苏，10)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)g(x)恒成立，则实数 b 的取值范围为_4x2 【思路导引】 (1)结合二次函数的图象及性质只需满足 f(m)g(x)恒成立，所以 6x2b，即 3xb恒成立4x24x24x2 在同一坐标系中画出 y3xb 及半圆 y的图象，如图
14、所示4x2 当直线 3xyb0 与半圆相切时， d2，此时，b2. b 10 10 结合图象可知，b 的取值范围为(2，)10 【答案】 (1) (2)(2，) ( 2 2 ，0) 10 一元二次不等式恒成立问题的解题方法 (1)图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上 全部在 x 轴上方；恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方 (2)更换主元法：如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即需要确定合 适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的 量看作是
15、参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解 (3)分离参数法：如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一 边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围 一般地， af(x)恒成立时， 应有af(x)max， a f(x)恒成立时，应有 af(x)min. (2015河北石家庄一模，13)对任意的 k1，1，函数 f(x)x2(k4)x42k 的值恒 大于零，则 x 的取值范围是_ 【解析】 因为对任意 k1，1，函数 f(x)x2(k4)x42k0 恒成立， 所以一次函数 g(k)k(x2)x24x40 在1，1上恒成立， 所以g（1） 0， g（1
16、） 0，) 所以1 （x2）x 24x4 0， （x2）x24x4 0， ) 解得 x3， 所以 x 的取值范围为(，1)(3，) 【答案】 (，1)(3，) 易错点拨：解答本题易出现不会合理分析已知条件，这样无法转化成关于 k 的一次函数，而导致题 目无法求解的错误 1(2015山东临沂模拟，2)不等式(x1)(2x)0 的解集为( ) Ax|1x2 Bx|x1 或 x2 Cx|12 【答案】 A 由(x1)(2x)0 可知(x2)(x1)0， 所以不等式的解集为x|1x2 2(2014广东惠州二模，5)已知函数 f(x)则不等式 f(x)x2的解集为( ) x2， x 0， x2， x 0
17、，) A1，1 B2，2 C2，1 D1，2 【答案】 A 方法一：当 x0 时，x2x2， 1x0； 当 x0 时，x2x2，01，则不等式 a x23x4b 的解集分两段区域，不符合已知条件 3 4 因此 a1.此时 a x23x4 恒成立 3 4 又不等式 a x23x4b 的解集为a，b， 3 4 a10(舍去) 当a1，即 a1 时，将在点 A(2，0)处取得最大值，2a04，a2. 当11(舍去) 综上，a2，故选 B. 5(2015课标，14，易)若 x，y 满足约束条件则 zxy 的最大值为_ xy1 0， x2y 0， x2y2 0，) 【解析】 画出可行域，如图所示 当直线
18、 l 过点 A 时，z 取得最大值 由 x2y0， x2y20，) 解得 x1， y1 2，) A，zmax1 . (1， 1 2) 1 2 3 2 【答案】 3 2 6(2015课标，15，中)若 x，y 满足约束条件则 的最大值为_ x1 0， xy 0， xy4 0，) y x 【解析】 画出如图所示的可行域， 由得 A(1，3) x1， xy40，) 当过点 A(1，3)时， 取得最大值为3. y x 30 10 【答案】 3 1(2014广东，3，易)若变量 x，y 满足约束条件且 z2xy 的最大值和最小值分别 y x， xy 1， y 1，) 为 m 和 n，则 mn( ) A5
19、 B6 C7 D8 【答案】 B 画出可行域如图所示， 由 z2xy 得 y2xz. 当直线 y2xz 经过点 A 时，z 取得最小值由解得 yx， y1，) x1， y1，) 即 A(1，1)，此时 z213，n3； 当直线 y2xz 经过点 C 时，z 取得最大值由 y1， xy1，) 解得 x2， y1，) 即 C(2，1)，此时 z2213，m3. mn6，故选 B. 2(2013天津，2，易)设变量 x，y 满足约束条件则目标函数 zy2x 的最小值 3xy6 0， xy2 0， y3 0， ) 为( ) A7 B4 C1 D2 【答案】 A 画出可行域如图所示 由 zy2x 得 y
20、2xz，平移直线 y2x，当其经过点 A(5，3)时，z 取最小值， 即 zmin3257.故选 A. 3(2013山东，6，易)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组所表示的区域上 2xy2 0， x2y1 0， 3xy8 0) 一动点，则直线 OM 斜率的最小值为( ) A2 B1 C D 1 3 1 2 【答案】 C 作出可行域，如图所示 则当直线 OM 过点 A(3，1)时，kOM最小，即 kOM .故选 C. 10 30 1 3 4(2013课标，9，中)已知 a0，x，y 满足约束条件若 z2xy 的最小值为 1， x 1， xy 3， ya（x3）.) 则 a( ) A.
21、B. C1 D2 1 4 1 2 【答案】 B 画出可行域，如图所示， 由得A(1， 2a)， 则直线yz2x过点A(1， 2a)时， z2xy取最小值1， 故212a x1， ya（x3）) 1，解得 a . 1 2 5(2012四川，9，中)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙 产品的利润是 400 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A，B 原料都不超过 12 千克通 过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，
22、公司共可获得的最大利润是( ) A1 800 元 B2 400 元 C2 800 元 D3 100 元 【答案】 C 设生产甲产品 x 桶，乙产品 y 桶，则公司利润 z300x400y， x，y 满足约束条件画出可行域，如图， x 0， y 0， x2y 12， 2xy 12， x，y N，) 由图可知 z100(3x4y)经过 A 点时取得最大值， 由得 A(4，4)， x2y12， 2xy12) x4，y4 时，zmax100(3444)2 800(元) 6 (2014福建， 11， 易)若变量 x， y 满足约束条件则 z3xy 的最小值为_ xy1 0， x2y8 0， x 0， )
23、 【解析】 作出可行域，如图所示， 由得 A(0，1)，则直线 y3xz 过点 A(0，1)时，z 取最小值 x0， xy10) zmin3011. 【答案】 1 7(2014湖南，14，易)若变量 x，y 满足约束条件且 z2xy 的最小值为6，则 k yx， xy 4， yk， ) _ 【解析】 作出可行域，如图所示 先作出直线 l：y2x， 然后平移直线 l，当 l 经过点 A(k，k)时， z 取得最小值6， 即 z2kk6，k2. 【答案】 2 8 (2013广东， 13， 中)给定区域D：令点集T(x0， y0)D|x0， y0Z， (x0， y0)是zxy x4y 4， xy 4
24、， x 0， ) 在 D 上取得最大值或最小值的点，则 T 中的点共确定_条不同的直线 【解析】 画出可行域，如图所示 平移直线 zxy， 当直线过点(0， 1)时， z 取最小值， 点(0， 1)为 T 中的点 ； 平移到直线 xy4 时， z 取最大值， 此时在直线 xy4 上且在区域 D 内的整点属于 T， 共有五个 ： (0， 4)， (1， 3)， (2， 2)， (3， 1)， (4， 0) 综上，T 中的点共 6 个，可构成 6 条不同的直线 【答案】 6 9(2013江苏，9，中)抛物线 yx2在 x1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内 部与边界)若点 P(
25、x，y)是区域 D 内的任意一点，则 x2y 的取值范围是_ 【解析】 由题意可得，切线斜率 ky|x12，故切线方程为 y12(x1)，即 y2x1. 画出区域 D，如图所示 由线性规划知识可知，zx2y 在点 A(0，1)处取最小值 02(1)2， 在 B处取最大值 20 ，故 z. ( 1 2，0) 1 2 1 22， 1 2 【答案】 2，1 2 考向 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 1二元一次不等式表示的平面区域 (1)二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成 的平面区域(半平面)，不含边界直线不等式 AxByC0 所表示的平面区域(
26、半平面)包含边界直线 (2)对于直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，使得 AxByC 的值符号相同，也就是位于同 一半平面内的点，其坐标适合 AxByC0，位于另一个半平面内的点，其坐标适合 AxByC.OA OB OA OB OA OB 3 设(2，0)，(1，)，(x，y)，OA OB 3OP 则x2， y 3，) 解得 y 3， 1 2(x y 3).) 由|1 得|xy|2y|2.33 画出可行域，如图所示 则所求面积 S2 44. 1 2 33 【答案】 (1)C (2)D 【点拨】 解题(1)的关键是将问题转化为直线 x2y20 与可行域有公共点，即点(m，m)在直 线
27、x2y20 的下方；解题(2)的关键是建立坐标系，通过坐标运算列出约束条件，画出可行域，再求 面积 与二元一次不等式(组)区域有关问题的解决方法 (1)求解与平面区域有关的问题的关键是作出平面区域，在含有参数的问题中注意对参数的取值范围 进行讨论； (2)在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好， 然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案 (1)(2012重庆， 10)设平面点集 A， B(x， y)|(x1)2(y （x，y）|（yx）(y 1 x) 0 1)21，则 AB 所表示的平面图形的面积为(
28、) A. B. C. D. 3 4 3 5 4 7 2 (2)(2012福建，9)若函数 y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数 m 的最大 xy3 0， x2y3 0， xm， ) 值为( ) A. B1 C. D2 1 2 3 2 (1)【答案】 D 平面点集 A 表示的平面区域就是不等式组与表示的 yx 0， y1 x 0 ) yx 0， y1 x 0 ) 两块平面区域，而平面点集 B 表示的平面区域为以点(1，1)为圆心，以 1 为半径的圆及圆的内部，作出 它们所示的平面区域如图所示， 图中的阴影部分就是 AB 所表示的平面图形由于圆和曲线 y 关于直线 yx 对称，因此，阴影
29、 1 x 部分所表示的图形面积为圆面积的 ，即为，故选 D. 1 2 2 (2)【答案】 B 在同一直角坐标系中作出函数 y2x的图象及所表示的平面区 xy3 0， x2y3 0) 域，如图阴影部分所示 由图可知，当 m1 时，函数 y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故 m 的最大值为 1. 考向 2 线性规划的相关问题 1线性规划中的有关概念 名 称意 义 约束条件由变量 x，y 组成的不等式组 线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数关于 x，y 的函数解析式，如 z2x3y 线性目标函数关于 x，y 的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解(x，y
30、) 可行域所有可行解组成的集合(区域) 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小 值问题 2. 线性目标函数的最值问题 求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最 大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0，b0)在该 xy1 0， 2xy3 0，) 约束条件下取到最小值 2时，a2b2的最小值为( )5 A5 B4 C. D25 【思路导引】 (1)直线 y2xz 在 y 轴上的截距最小时，z 最大；(2)作出可行域，平移直线 yx， 由 z 的最小值为4，求参数
31、k 的值；(3)根据 zyax 取得最大值的最优解不唯一，将 a 分 a0 和 a0 时，直线 yax 与 2xy20 平行时符合条件，此时 a2； 当 a0，b0， 目标函数 y x 在 A 点处取得最小值联立方程解得2ab2. a b z b xy10， 2xy30，) x2， y1，) 5 设 P(a，b)，原点 O(0，0)，则 OP2a2b2表示直线 2ab2上的点到原点距离的平方，OP2的最5 小值为 O 到直线 2ab2的距离的平方，即 d24.5 ( 2 5 5) 2 【答案】 (1)B (2)D (3)D (4)B 1.利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)作图画出约束条件
32、所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线 l； (2)平移将 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置有时需要进行目标函数 l 和可行域边 界的斜率的大小比较； (3)求值解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值 2线性规划中的参数问题及其求解思路 (1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所 含参数的值或取值范围的问题 (2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以 确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值 (1)(2014天
33、津， 2)设变量 x， y 满足约束条件则目标函数 zx2y 的最小 xy2 0， xy2 0， y 1， ) 值为( ) A2 B3 C4 D5 (2)(2014浙江，13)当实数 x，y 满足时，1axy4 恒成立，则实数 a 的取值范 x2y4 0， xy1 0， x 1 ) 围是_ (1)【答案】 B 作出可行域，如图所示 由 zx2y 得 y x .故将直线 y x 向上平移，当过 A(1，1)时，z 有最小值 3. 1 2 z 2 1 2 (2)【解析】 作出不等式组所表示的区域如图所示， x2y4 0， xy1 0， x 1 ) 由 1axy4 结合图象可知， a0， 且在点 A
34、(1， 0)点取得最小值， 在点 B(2， 1)取得最大值， 故 a1， 2a14，故 a 取值范围为. 1， 3 2 【答案】 1，3 2 考向 3 线性规划的实际应用 (2013湖北， 20， 12 分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800， 502) 的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0. (1)求 p0的值； (参考数据 ： 若 XN(，2)，有 P(2，即 2mn0， 1 2 9 2 则必有 BCAB. 因为 xy40 的斜率为1， 所以直线 kxy0 的斜率为 1，即 k1， 故选 A. 4 (2015山东枣庄模拟， 8)
35、已知实数 x， y 满足约束条件则 的最小值是( ) x 0， 4x3y 4， y 0， ) y1 x A2 B2 C1 D1 【答案】 D 作出不等式组对应的平面区域如图， 的几何意义是区域内的点 P(x，y)与定点 A(0，1)所在直线的斜率， y1 x 由图象可知当 P 位于点 D(1，0)时， 直线 AP 的斜率最小， 此时 的最小值为1. y1 x 10 01 故选 D. 5(2014安徽合肥第二次检测，9)在平面直角坐标系中，点 P 是由不等式组所确定的平 x 0， y 0， xy 1) 面区域内的动点，Q 是直线 2xy0 上任意一点，O 为坐标原点，则|的最小值为( )OP O
36、Q A. B. C. D1 5 5 2 3 2 2 【答案】 A 在直线2xy0上取一点Q， 使得， 则|QO OQ OP OQ OP QO QP PP |，BA 其中 P，B 分别为点 P，A 在直线 2xy0 上的投影，如图 因为|，AB |01| 1222 5 5 因此|min，故选 A.OP OQ 5 5 6 (2015山东威海一模，13)设x， y满足约束条件 x2y 2， exy 0， 0 x 2，) 则 M(x，y)所在平面区域的面积为_ 【解析】 画出平面区域，如图所示 M(x，y)所在平面区域的面积为 Error! 0 21 2 1 2 e2e01e22. 【答案】 e22
37、7(2015湖南衡阳模拟，14)已知点 P(t，2)在不等式组所表示的平面区域内运动，l xy 4， yx， x 1 ) 为过点 P 和坐标原点 O 的直线，则 l 的斜率的取值范围为_ 【解析】 由不等式组 xy 4， yx， x 1 ) 可得如图所示的可行域， 由图可知，当取点 P(1，2)时， 直线 l 的斜率取得最大值，k 2. 2 1 当取点 P(2，2)时， 直线 l 的斜率取得最小值，k 1， 2 2 故 k1，2 【答案】 1，2 8(2015河南郑州模拟，14)已知变量 x，y 满足约束条件且有无穷多个点(x，y) x4y13 0， 2yx1 0， xy4 0，) 使目标函数
38、 zxmy 取得最小值，则 m_ 【解析】 作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示 若 m0，则 zx，目标函数 zxmy 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意 若 m0，则目标函数 zxmy 可看作斜率为 的动直线 y x . 1 m 1 m z m 若 m0，数形结合知使目标函数 zxmy 取得最小值的最优解不可能有无穷多个 1 m 若 m0，则 0)， y x1 则 ykxk，即 kxyk0. 当直线和圆相切时，圆心到直线的距离 d1， |2k1k| 1k2 |3k1| 1k2 即 8k26k0，解得 k ，此时直线斜率最大 3 4 当直线 kxyk0 经过点 B(3，1)时
39、，直线斜率最小， 此时 3k1k0，即 4k1，解得 k ， 1 4 k . 1 4 3 4 【答案】 1 4， 3 4 思路点拨：判断函数 f(x)的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，数形 结合和的几何意义即可得到结论 y x1 (2015陕西，9，易)设 f(x)ln x，0p Dprq 【答案】 B 方法一：由题意知， pf()ln，abab qfln， ( ab 2 )( ab 2 ) r (f(a)f(b) (ln aln b) ln abln. 1 2 1 2 1 2 ab 又ba0，0. ab 2 ab 函数 f(x)ln x 为增函数， prq，故选 B
40、. 方法二(特值法)：令 a1，b2， pf()ln，22 qffln ， ( ab 2 )( 3 2) 3 2 r (ln 1ln 2)ln . 1 2 2 0，b0，ab2，则 y 的最小值是( ) 1 a 4 b A. B4 C. D5 7 2 9 2 【答案】 C y (ab) 2 ， 当且仅当 ， 即 a 1 a 4 b 1 2( 1 a 4 b) 5 2 1 2( 4a b b a) 5 2 1 2 4a b b a 9 2 4a b b a ，b 时，不等式取等号，故选 C. 2 3 4 3 2(2010重庆，7，易)已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是( )
41、 A3 B4 C. D. 9 2 11 2 【答案】 B x2y2xy8， y0， 8x 2x2 10)，l1与函数 y|log2x|的图象从 8 2m1 左至右相交于点 A，B，l2与函数 y|log2x|的图象从左至右相交于点 C，D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的 投影长度分别为 a，b.当 m 变化时， 的最小值为( ) b a A16 B8 C8 D422 3 4 3 4 【答案】 B 在平面直角坐标系中作出函数 y|log2x|的图象如图所示， 不妨设点 A(x1， m)， B(x2， m)， C， D， 则 00)，则 tm 4 ，当且仅当 m 时等号 8 2m1 4 m
42、1 2 (m 1 2) 4 m1 2 1 2 1 2 7 2 1 2 4 m1 2 成立，即 m 时，t 取最小值为 ，此时 的最小值为 8. 3 2 7 2 b a 2 4(2011湖南，10，易)设 x，yR，且 xy0，则的最小值为_ (x 21 y2) ( 1 x24y 2) 【解析】 x，yR 且 xy0， (x2 1 y2)( 1 x24y 2) 54x2y2 1 x2y2 529， 1 x2y24x 2y2 当且仅当4x2y2，即 xy时，取得最小值 9. 1 x2y2 2 2 【答案】 9 5(2010湖北，17，12 分，中)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶
43、和外墙需 要建造隔热层某幢建筑物需建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑 物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若 k 3x5 不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 解：(1)由题设，建筑物每年能源消耗费用为 C(x)， k 3x5 由 C(0)8，得 k40，C(x). 40 3x5 而隔热层建造费用为 C1(x)6x， f(x)20C(x)C1(x) 206x6x(0x10) 40 3x5 800 3x5 (2)方法一：f(x)6x 800 3x5 6x1010 1 600 6x10 21070， 1 600 6x10 （6x10）