《lesson8（动态微分方程模型）.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《lesson8（动态微分方程模型）.ppt（51页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、微 分 方 程 模 型,动态微分方程模型,一、传染病模型： 四个模型 二、战争模型,问题提出,本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着 人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍 乱已经得到有效的控制然而，即使在今天，一 些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象， 医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是： （1）感染上疾病的人数与哪些因素有关 （2）如何预报传染病高潮的到来,问题分析,不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的
2、数学模型 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。,模型一,模型假设： （1）一人得病后，久治不愈，人在传染 期内不会死亡。 （2）单位时间内每个病人传染人数为常 数k。,为什么假设不会死亡？,（因为死亡后便不会再传播疾病，因 而可认为此时已退出系统）,模型建立：,I（t）表示t时刻病人的数量，时间：天 则：I（t+t）I（ t）k0I（t） t 于是模型如下：,模型的解：,举个实例,最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人,模型的缺点,问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符 原因：当不考虑传
3、染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律,模型二,设t时刻健康人数为S(t) 模型假设： （1）总人数为n，I(t)十S(t)n （2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不 会死亡。 （3）一个病人在单位时间内传染的人数与当时 健康的人数成正比，比例系数为k（称之为 传染系数）,模型改进,方程的解：,对模型作进一步分析,传染病人数与时间t关系,传染病人数的变化率与时间t的关系,染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定,增
4、长速度由低增至最高后 降落下来,疾病的传染高峰期,此时,计算高峰期得：,意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 成反比。 表示该 地区的卫生水平， 越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。,模型的缺点,缺点：当t时，I(t) n，这表示所有的人最 终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合 原因：这是由假设1)所导致，没有考虑病人可 以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。,
5、模型三,有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再 次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 (称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ 为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， 1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ 5天)。,模型的建立,假设2、3得：,将假设1代入，可得模型：,模型的解：,阈值=k/的意义,一个病人在平均传染期内传染的人数与
6、当时 健康的人数成正比，比例系数为,模型的意义,（t , i (t)）图,（1）当1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终 趋于零。 （2）当 l时，i(t)最终以1-1/ 为极限； （3）当增大时，i()也增大，是因为随着传染期内被传染 人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升,模型四,某些传染病如麻疹等，治愈后均有很强的免 疫力，所以病愈的人既非健康人，也非病人。 模型假设： （1）人群分为健康者、病人、病愈免疫者三类， 这三类人在总人数中所占的比例分别为s(t)， i(t)，r(t)，则有s(t)+i(t)
7、+r(t)1。 （2）单位时间内，一个病人传染的人数与当时 健康者人数成正比，比例系数为k （3）在单位时间内，病愈免疫的人数与当时病 人人数成正比，比例系数为,模型的建立,i ( t )与s ( t )无解释解。从相轨线定性分析,相轨线,相轨线（s，i）,图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向,相轨线分析结果,1、不论初始条件s0、i0如何病人终将消失。 2、最终未被感染的健康者的比例是s，图中 可看出是在(0，1/ )内的单根。 3、若s0 1/ ，则i(t)先增加，当s1/ 时，i(t)达到 最大。 4、若s0 1/ ，则i(t)单调减小至零,阈值1/的意义,1、减小
8、传染期接触数 ，即提高阈值l/ ，使得 s0 1/ (即 1/ s0)，传染病就不会蔓延。 2、医疗水平 3、交换数的意义 4、 的估计,模型验证印度孟买的一个例子,图中，实际数据用圆点表示可以看出， 理论曲线与实际数据吻合得相当不错。,动态微分方程模型,一、传染病模型： 四个模型 二、战争模型,1、问题来源,2、Lanchester的工作,缺陷：,3、一般战争,x ( t )与 y ( t )表示t时刻甲乙双方交战人数,一、假设：,二、模型,4、战争类型讨论,（1）正规战争 （2）游击战争 （3）混合战争,（1）正规战争模型,分析甲方战斗减员率f ( x , y )：,模型简化,（3）,原模
9、型：,简化后,模型求解,认为：兵力先减至零的一方为负方。,解分析,乙方取胜的条件平方率模型,条件：,（2）游击战争模型,模型,方程的解,乙方获胜的条件,（3）混合战争,甲方为游击队，乙方为正规部队,相轨线,乙方获胜的条件,结果分析,则乙获胜的条件：,模型应用越战,思考： 如何分析美国-伊拉克现代战争的结局？,5、模型的另一个应用,（1）基本模型建立,（2）增援率u ( t ),（3）每天的实际兵力A ( t ),（4）计算（21）式的a,（5）计算兵力A ( t )与实际兵力的比较,思考题1,设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目 的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化 程度的人占总人数的一半，这些人只有1/4相信 这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相 信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人 数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相 信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣 传情况的微分方程模型。,思考题2,本世纪初，在伦敦曾观察到一种现象，大约 每两年发生次麻疹传染病。生物数学家HE索 珀试图解释这种现象，他认为易受传染者的人数 因人口中新添新的成员而不断得到补充。试建立 数学模型。,