《2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1．3 绝对值不等式的解法含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1．3 绝对值不等式的解法含解析.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、13绝对值不等式的解法 对应学生用书P10 读教材填要点 1含绝对值的不等式|x|a 与|x|a 的解集 不等式a0a0 |x|aa，a |x|a(，aa，R 2|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 (1)|axb|ccaxbc； (2)|axb|caxbc 或 axbc. 3|xa|xb|c 和|xa|xb|c 型不等式的解法 (1)分区间讨论法 ： 以绝对值的零点为分界点， 将数轴分为几个区间， 利用 “零点分段法” 求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是 解题关键 (2)图象法：构造函数，结合函数的图象求解 (3)几何法：利用绝
2、对值不等式的几何意义求解 小问题大思维 1|x|以及|xa|xb|表示的几何意义是什么？ 提示：|x|的几何意义是数轴上表示数 x 的点到原点 O 的距离；|xa|xb|的几何意义 是数轴上表示数 x 的点与表示数 a，b 的点的距离之和(差) 2如何解|xa|xb|、|xa|xb|(ab)型的不等式的解集？ 提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解 对应学生用书P10 含一个绝对值不等式的解法 例 1 解下列不等式： (1)1|x2|3； (2)|2x5|7x； (3). 1 x22 1 |x| 思路点拨 本题考查较简单的绝对值不等式的解法 解答本题(1)可利用公式转化为|ax b|c(c
3、0)或|axb|c(c0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去 掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式 (2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式 (3)可分类讨论去掉分母和绝对值 精解详析 (1)法一：原不等式等价于不等式组 Error!即Error! 解得1x1 或 3x5， 所以原不等式的解集为x|1x1 或 3x5 法二：原不等式可转化为： Error!或Error! 由得 3x5，由得1x1， 所以原不等式的解集是x|1x1 或 3x5 (2)由不等式|2x5|7x， 可得 2x57x 或 2x5(7x)， 整理得 x2 或 x4. 原不等式的解集是x|x
4、4 或 x2 (3)当 x220 且 x0，即当x，22 且 x0 时，原不等式显然成立 当 x220 时， 原不等式与不等式组Error!等价， x22|x|即|x|2|x|20， |x|2，不等式组的解为|x|2， 即 x2 或 x2. 原不等式的解集为 (，2(，0)(0，)2，)22 含一个绝对值不等式的常见类型及其解法： (1)形如|f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 当 a0 时，|f(x)|aaf(x)a. |f(x)|af(x)a 或 f(x)a. 当 a0 时，|f(x)|a 无解 |f(x)|af(x)0. 当 a0 时，|f
5、(x)|a 无解 |f(x)|af(x)有意义 (2)形如|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 |f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)， |f(x)|g(x)f(x)g(x)或 f(x)g(x)(其中 g(x)可正也可负) 若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂 (3)形如 a|f(x)|b(ba0)型不等式 此类问题的简单解法是利用等价命题法，即 a|f(x)|b(0ab) af(x)b 或bf(x)a. (4)形如|f(x)|f(x)，|f(x)|f(x)型不等式 此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f(x)|f(x)f(
6、x)0， |f(x)|f(x)x. 1设函数 f(x)|2xa|5x，其中 a0. (1)当 a3 时，求不等式 f(x)5x1 的解集； (2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x1，求 a 的值 解：(1)当 a3 时， 不等式 f(x)5x1 可化为|2x3|1， 由此可得 x2 或 x1. 故不等式 f(x)5x1 的解集为x|x1 或 x2 (2)由 f(x)0 得|2xa|5x0，此不等式可化为不等式组Error!或Error! 即Error!或Error! 因为 a0，所以不等式组的解集为Error!. 由题设可得 1，故 a3. a 3 含两个绝对值不等式的解法 例 2 解不等
7、式|x7|3x4|0.32 2 思路点拨 先求出零点即 x7，再分段讨论 4 3 精解详析 原不等式化为 |x7|3x4|10，2 当 x 时，原不等式为 x7(3x4)10， 4 3 2 得 x0，2 得 x ， 1 2 2 4 即 0，2 得 x6，与 x3 时，f(x)x4，所以 f(x)在(3，)上单调递增 故当 x 时，yf(x)取得最小值， 1 2 此时 f(x)min . 7 2 含参数的绝对值不等式的解法 例 3 设函数 f(x)|x1|xa|. 如果xR，f(x)2，求 a 的取值范围 思路点拨 本题考查绝对值不等式的解法解答本题应先对 a 进行分类讨论，求出函 数 f(x)
8、的最小值，然后求 a 的取值范围 精解详析 若 a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件 若 a1，f(x)Error! f(x)的最小值为 1a. 若 a1，f(x)Error! f(x)的最小值为 a1. 所以xR， f(x)2的充要条件是|a1|2， 从而a的取值范围为(， 13， ) 含有参数的不等式的求解问题分两类，一类不需要对参数进行讨论，另一类如本例，对 参数 a 进行讨论，得到关于参数 a 的不等式(组)，进而求出参数的取值范围 3(辽宁高考)已知函数 f(x)|xa|，其中 a1. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)4|x4|的解集； (2)已知关于 x 的不等式|f(2
9、xa)2f(x)|2 的解集为x|1x2，求 a 的值 解：(1)当 a2 时， f(x)|x4|Error! 当 x2 时，由 f(x)4|x4|，得2x64， 解得 x1； 当 2 同时成立，那么 x 的取值范围是( ) 1 x 1 3 A.Error! B.Error! C.Error! D.Error! 解析：解不等式 ； 1 x 1 2 解不等式|x| 得 x 或 x0 时，要使|x1|kx 恒成立，只需 k1. 综上可知 k0,1 答案：C 二、填空题 5不等式|2x1|2|x1|0 的解集为_ 解析：原不等式即|2x1|2|x1|，两端平方后解得 12x3，即 x . 1 4 答
10、案：Error! 6不等式1 的实数解集为_ |x1| |x2| 解析：1|x1|x2|，x20 |x1| |x2| (x1)2(x2)2，x2x ，x2. 3 2 答案：(，2)(2，3 2 7若不等式Error!xError!|a2|1 对于一切非零实数 x 均成立，则实数 a 的取 1 x 值范围是_ 解析：|x |2，|a2|12，即|a2|1，解得 1a3. 1 x 答案：1a3 8若关于 x 的不等式|x1|xa|a 的解集为 R(其中 R 是实数集)，则实数 a 的取值 范围是_ 解析：不等式|x1|xa|a 恒成立， a 不大于|x1|xa|的最小值， |x1|xa|1a|，
11、|1a|a,1aa 或 1aa，解得 a . 1 2 答案：(，1 2 三、解答题 9解不等式|2x4|3x9|1. 解：(1)当 x2 时，原不等式可化为 Error! 解得 x2. (2)当3x2 时，原不等式可化为 Error! 解得 x2. 6 5 (3)当 x3 时，原不等式可化为 Error! 解得 x12. 综上所述，原不等式的解集为Error!. 10已知函数 f(x)|2x1|x2a|. (1)当 a1 时，求 f(x)3 的解集； (2)当 x1,2时，f(x)3 恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1)当 a1 时， 原不等式可化为|2x1|x2|3， 当 x2 时，得
12、 3x33，则 x2，无解； 当 x2 时，得 x13，则 x2，所以 x2； 1 2 1 2 当 x0) (1)当 a4 时，已知 f(x)7，求 x 的取值范围； (2)若 f(x)6 的解集为x|x4 或 x2，求 a 的值 解：(1)因为|x3|x4|x3x4|7，当且仅当(x3)(x4)0 时等号成立 所以 f(x)7 时，3x4，故 x3,4 (2)由题知 f(x)Error! 当 a36 时，不等式 f(x)6 的解集为 R，不合题意； 当 a36 时，不等式 f(x)6 的解为Error!或Error! 即Error!或Error! 又因为 f(x)6 的解集为x|x4 或 x2， 所以 a1.