《2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第二章 章末小结 知识整合与阶段检测含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第二章 章末小结 知识整合与阶段检测含解析.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、知识整合与阶段检测 对应学生用书 P36 对应学生用书 P36 利用柯西不等式证明不等式 (1)柯西不等式取等号的条件实质上是 ：.这里某一个 bi为零时， 规定相应 a1 b1 a2 b2 an bn 的 ai为零 (2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组 (3)可以利用向量中的|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义 例 1 若 n 是不小于 2 的正整数，求证： 1 . 4 7 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 2 2 证明 1 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 2 (1 1 2 1 3 1 2n) ( 1 2 1 4 1 2n) ， 1 n1 1 n
2、2 1 2n 所以求证式等价于 . 4 7 1 n1 1 n2 1 2n 2 2 由柯西不等式，有 (n1)(n2)2nn2， ( 1 n1 1 n2 1 2n) 于是 ， 1 n1 1 n2 1 2n n2 (n1)(n2)2n 2n 3n1 2 31 n 2 31 2 4 7 又由柯西不等式，有 1 n1 1 n2 1 2n .(121212) 1 (n1)2 1 (n2)2 1 (2n)2 n(1 n 1 2n) 2 2 例 2 设 a，b，cR，且满足 abc1，试证明： . 1 a3(bc) 1 b3(ac) 1 c3(ab) 3 2 证明 abc1，则所求证的不等式变为 . b2c
3、2 abac a2c2 babc a2b2 acbc 3 2 又(abbcca)2 2 ( ab acbc acbc bc abac abac ac babc babc) (acbc)(abac)(babc)， ( a2b2 acbc b2c2 abac a2c2 babc) (acbcab) a2b2 acbc b2c2 abac a2c2 babc 1 2 3 ， 1 2 3 a2b2c2 3 2 当且仅当 abc1 时等号成立 原不等式得证. 利用柯西不等式求最值 利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法特别是条件最值问 题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式
4、及幂平均不等式等，但要注意取等号 的条件能否满足 例 3 若 5x16x27x34x41，则 3x 2x 5x x 的最小值是( ) 2 12 22 32 4 A B 782 15 15 782 C3 D25 3 解析 (3x 2x 5x x ) ( 25 3 1849 5 16) 2 12 22 32 4 2 ( 5 3 3x 13 2 2x 27 5 5x 34 x4) (5x16x27x34x4)2 1， 3x 2x 5x x . 2 12 22 32 4 15 782 答案 B 例 4 等腰直角三角形 AOB 的直角边长为 1.如图， 在此三角形中任取点 P， 过P分别引三边的平行线，
5、 与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)， 求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时 P 的位置 解 分别取 OA，OB 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系 则 AB 的方程为 xy1， 记 P 点坐标为 P(xP，yP)，则以 P 为公共顶点的三个三角形的面积和 S 为 S x y 1 2 2 P 1 2 2 P (1xPyP)2， 1 2 2Sx y (1xPyP)2. 2 P2 P 由柯西不等式，得 x y (1xPyP)2(121212) 2 P2 P xPyP(1xPyP)2， 即 2S36S1，所以 S . 1 6 当且仅当时，等号成立， xP
6、 1 yP 1 1xPyP 1 即 xPyP 时，面积和 S 最小，且最小值为 . 1 3 1 6 从而 P 点坐标为时，这三个三角形的面积和取最小值 . ( 1 3， 1 3) 1 6 例 5 已知实数 x、y、z 满足 x24y29z2a(a0)，且 xyz 的最大值是 7，求 a 的 值 解 由柯西不等式： x2(2y)2(3z)2 1 2(1 2) 2(1 3) 2 2. (x 1 2 2y1 3 3z) 因为 x24y29z2a(a0)， 所以a(xyz)2，即xyz. 49 36 7 a 6 7 a 6 因为 xyz 的最大值是 7，所以7，得 a36， 7 a 6 当 x，y ，
7、z 时，xyz 取最大值， 36 7 9 7 4 7 所以 a36. 排序不等式的应用 (1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排 好这个序列是难点所在 (2)注意等号成立的条件 例 6 在ABC 中，试证： . 3 aAbBcC abc 2 证明 不妨设 abc，于是 ABC. 由排序不等式，得 aAbBcCaAbBcC， aAbBcCbAcBaC， aAbBcCcAaBbC. 相加，得 3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc) 得 ， aAbBcC abc 3 又由 0bca,0abc,0acb，有 0A(bca)C(abc)B(acb) a(B
8、CA)b(ACB)c(ABC) a(2A)b(2B)c(2C) (abc)2(aAbBcC) 得 . aAbBcC abc 2 由、得原不等式成立. 利用平均值不等式求最值 1求函数的最值 在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数(2) “和”或“积”为定值(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可 2解决实际问题 由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制， 在求最值时常常需要对解析 式进行合理的变形 对于一些分式结构的函数， 当分子中变量的次数不小于分母中变量的次 数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等 式
9、求解 例 7 已知 0x ，求函数 yx(13x)的最大值 1 3 解 yx(13x) 3x(13x)， 1 3 0x ， 1 3 13x0，x0. yx(13x) 3x(13x) 2 . 1 3 1 3 3x(13x) 2 1 12 当且仅当 3x13x 即 x ，y 有最大值. 1 6 1 12 例 8 若 ab0，则代数式 a2的最小值为( ) 1 b(ab) A2 B3 C4 D5 解析 依题意得 ab0，所以代数式 a2a2a22 1 b(ab) 1 b(ab) 2 2 4 a2 4，当且仅当Error!即 a，b时取等号，因此 a2的最小值是 4，选 C.a2 4 a2 2 2 2
10、 1 b(ab) 答案 C 例 9 某种商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万件 (1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收入不 低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革 新和营销策略改革，并提高定价到 x 元公司拟投入 (x2600)万元作为技改费用，投入 50 1 6 万元作为固定宣传费用，投入 x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量 a 1 5 至少应达到多少万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时 商品的每件定价 解
11、(1)设每件定价为 t 元， 依题意，有t258， (8 t25 1 0.2) 整理得 t265t1 0000， 解得 25t40. 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元 (2)依题意，x25 时， 不等式 ax25850 (x2600) x 有解， 1 6 1 5 等价于 x25 时，a x 有解 150 x 1 6 1 5 x210(当且仅当 x30 时，等号成立)，a10.2. 150 x 1 6 150 x 1 6x 当该商品明年的销售量 a 至少达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收 入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元 对应学生用书P
12、38 一、选择题 1若 为锐角，则的最小值为( ) (1 1 sin )(1 1 cos ) A23 B3232 C2 D3 解析： 22(1 )232. (1 1 sin )(1 1 cos )(1 1 sin cos )(1 2 sin 2) 22 答案：B 2已知 xy1，那么 2x23y2的最小值是( ) A B 5 6 6 5 C D 25 36 36 25 解析：2x23y2(2x23y2) 2 (xy)2 . ( 1 2 1 3) 6 5 6 5( 2x 2 2 3y 3 3) 6 5 6 5 答案：B 3设 x、y、z，满足 x22y23z23，则 x2y3z 的最大值是( )
13、 A3 B42 C. D6 3 2 2 解析：构造两组数：x，y，z 和 1， ， ，2323 由柯西不等式得x2(y)2(z)212()2()2(x2y3z)2，2323 (x2y3z)218， x2y3z3，当且仅当 xyz时取等号2 2 2 答案：A 4某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 3 件、5 件及 2 件，现在选择商店中 单价为 3 元、2 元和 1 元的礼品，则至少要花( ) A17 元 B19 元 C21 元 D25 元 解析：由排序原理可知： 花钱最少为：15233217(元) 答案：A 二、填空题 5n 个正数与这 n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为_ 解析：设
14、00，y0，且 4x3y12，则 xy 的最大值是( ) A1 B2 C3 D4 解析：由 4x3y2，6，xy3，故选 C.12xy12xy 答案：C 3函数 ylog2(x1)的最小值为( ) (x 1 x15) A3 B3 C4 D4 解析：x1x10，ylog2 (x 1 x15) log2log2(26)log283. (x1 1 x16) 答案：B 4设 x1，x2，x3取不同的正整数，则 m 的最小值是( ) x1 1 x2 4 x3 9 A1 B2 C D 11 6 49 36 解析：设 a1，a2，a3是 x1，x2，x3的一个排列且满足 a1a2a3.a11，a22，a33
15、，又1， 1 22 1 32 x1 1 当且仅当 x11，x22，x23 时取等号 x2 4 x3 9 1 2 1 3 11 6 答案：C 5已知(x1)2(y2)24.则 3x4y 的最大值为( ) A1 B10 C11 D21 解析：(x1)2(y2)2(3242)3(x1)4(y2)2， 即(3x4y11)2100. 3x4y1110,3x4y21. 当且仅当时取等号 x1 3 y2 4 答案：D 6已知不等式(xy)a 对任意正实数 x，y 恒成立，则实数 a 的最大值为( ) ( 1 x 1 y) A2 B4 C D162 解析：因为(xy)(11)24，当且仅当 xy1 时等号成立
16、， ( 1 x 1 y) 因此若不等式(xy)a 对任意正实数 x，y 恒成立，则 a4，故应选 B. ( 1 x 1 y) 答案：B 7已知 x3y5z6，则 x2y2z2的最小值是( ) A B 6 5 6 35 C D6 36 35 解析 ： 由柯西不等式，得 x2y2z2(123252)(x2y2z2)(1x3y 1 123252 5z)262当且仅当 x 时取等号 1 35 1 35 36 35 y 3 z 5 6 35 答案：C 8已知 3x22y22，则 3x2y 的取值范围是( ) A0， B，055 C， D5,51010 解析：|3x2y|3x22y2(r(3)2(r(2)
17、210 3x2y.1010 答案：C 9设 a，b，c 为正数，ab4c1，则2的最大值是( )abc A B53 C2 D3 3 2 解析：1ab4c()2()2(2)2abc ()2()2(2)2(121212) 1 3 abc (2)2 ，abc 1 3 (2)23，abc 即所求最大值为 . 3 答案：B 10若 a0，b0，c0，且 a(abc)bc42，则 2abc 的最小值为( )3 A1 B133 C22 D2233 解析：a(abc)bc(ab)(ac)42，3 且 ab0，ac0， 2abc(ab)(ac)2 (ab)(ac) 222(1)(当且仅当 abac，即 bc 时
18、等号成立)，42 3(r(3)1)23 2abc 的最小值为 22，故选 D.3 答案：D 二、填空题(本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 11函数 y2的最大值是_2x2x3 解析：y242x2x3 ，(r(2)21(42x2x3)3 当且仅当 x 时取等号 5 3 答案： 3 12(湖南高考)已知 a，b，cR，a2b3c6，则 a24b29c2的最小值为_ 解析 ： 由柯西不等式， 得(a24b29c2)(121212)(a12b13c1)236， 故 a24b2 9c212，从而 a24b29c2的最小值为 12. 答案：12 13已知 x22y21，则 x2y41
19、的最大值是_ 解析：x22y21，x2y2y21. 又 x2y41x2y2y21， x2y2y2 3 ， ( x2y2y2 3 ) 1 27 x2y411. 1 27 26 27 即 x2y41当且仅当 x2y2 时取等号 26 27 1 3 x2y41 的最大值是. 26 27 答案：26 27 14函数 y2的最大值是_x56x 解 析 ： 根 据 柯 西 不 等 式 ， 知 y 1 2 x56x1222 .(r(x5)2(r(6x)25 答案： 5 三、解答题(本大题共有 4 小题，共 50 分) 15(本小题满分 12 分)设 a，b，cR，求证： . 1 a3b3abc 1 b3c3
20、abc 1 c3a3abc 1 abc 证明：设 abc0，则 a3b3， a3b3a2ab2ba2bb2aab(ab)， 同理：b3c3bc(bc)，c3a3ac(ca)， 1 a3b3abc 1 b3c3abc 1 c3a3abc 1 ab(ab)abc 1 bc(bc)abc 1 ca(ca)abc . 1 abc( 1 ab 1 bc 1 ca) 1 abc 16(本小题满分 12 分)已知 x22y23z2，求 3x2yz 的最小值 18 17 解：(x22y23z2)32(r(2)2( 1 3) 2 2(3x2yz)2， (3x 2y 2 3z 1 3) (3x2yz)2 (x22
21、y23z2)12. 3 2(r(2)2( 1 3) 2 23x2yz2.33 当且仅当 x，y，z时 3x2yz 取最小值，最小值为2. 9 3 17 3 3 17 3 17 3 17(本小题满分 12 分)(福建高考)已知定义在 R 上的函数 f(x)|x1|x2|的最小值 为 a. (1)求 a 的值； (2)若 p，q，r 是正实数，且满足 pqra， 求证：p2q2r23. 解：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3， 当且仅当1x2 时，等号成立，所以 f(x)的最小值等于 3，即 a3. (2)由(1)知 pqr3，又因为 p，q，r 是正实数， 所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29， 即 p2q2r23. 18 (本小题满分 14 分)设非负实数 1， 2， n满足 12n1， 求 y 2 21 n 的最小值 2 22 2 2n 解：为了利用柯西不等式，注意到 (21)(22)(2n) 2n(12n)2n1， 所以(2n1)( 1 21 1 22 1 2n) (21)(22)(2n)Error! Error!Error! Error!2n2， 所以 yn，yn. 2n2 2n1 2n2 2n1 n 2n1 当且仅当 12n 时等号成立，从而 y 有最小值. 1 n n 2n1