《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质含解析.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、22.2 椭圆的几何性质 对应学生用书P22 建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质 以方程1(ab0)为例，试着完成下列问题： x2 a2 y2 b2 问题 1：方程中对 x，y 有限制的范围吗？ 提示：由10，得axa. y2 b2 x2 a2 同理byb. 问题 2：在方程中，用x 代 x，y 代 y，方程的形式是否发生了变化？ 提示：不变 问题 3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？ 提示：令 x0，得 yb； 令 y0，得 xa； 与 x 轴的交点为(a,0)，(a,0)， 与 y 轴的交点为(0，b)，(0，b) 椭圆的几何性质 焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在
2、y 轴上 图形 标准方程1(ab0) x2 a2 y2 b2 1(ab0) y2 a2 x2 b2 范围axa，bybaya，bxb 顶点(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0) 轴长短轴长2b，长轴长2a 焦点(c,0)(0，c) 焦距F1F22c 对称性对称轴 x 轴，y 轴，对称中心(0,0) 离心率e (0,1) c a 1椭圆的对称性 椭圆的图像关于 x 轴成轴对称，关于 y 轴成轴对称，关于原点成中心对称 2椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系 (1)04 时，由 c2a2b2m4， 得 .解得 m . m4 m 1 3 9 2 当 mb0) x2 a2 y2 b2 y2 a2
3、x2 b2 由已知 a2b， 且椭圆过点(2，6)，从而有 1 或1. 22 a2 (6)2 b2 (6)2 a2 22 b2 由得 a2148，b237 或 a252，b213. 故所求椭圆的标准方程为1 或1. x2 148 y2 37 y2 52 x2 13 一点通 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方 程的形式， 若不能确定焦点所在的坐标轴， 则应进行讨论 一般地， 已知椭圆的焦点坐标时， 可以确定焦点所在的坐标轴 ； 而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定 焦点所在的坐标轴 3已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为，且
4、 G 上一点到 G 的 3 2 两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为_ 解析：由题意得 2a12， ，所以 a6，c3，b3. c a 3 2 3 故椭圆方程为 1. x2 36 y2 9 答案： 1 x2 36 y2 9 4求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在 y 轴上，焦距是 4，且经过点 M(3,2)； (2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26. 5 13 解：(1)由焦距是 4 可得 c2，且焦点坐标为(0，2)，(0,2) 由椭圆的定义知， 2a8，32(22)232(22)2 所以 a4，所以 b2a2c216412. 又焦点在 y 轴上，所以椭
5、圆的标准方程为1. y2 16 x2 12 (2)由题意知，2a26，即 a13， 又 e ，所以 c5， c a 5 13 所以 b2a2c213252144， 因为焦点所在的坐标轴不确定， 所以椭圆的标准方程为1 或1. x2 169 y2 144 y2 169 x2 144 与椭圆离心率有关的问题 例 3 已知椭圆 M：1(ab0)的左，右焦点分别为 F1，F2.P 是椭圆 M 上的任 x2 a2 y2 b2 一点，且 PF1PF2的最大值的取值范围为，其中 c2a2b2，求椭圆的离心率的取 1 2c 2，3c2 值范围 思路点拨 由 P 是椭圆上一点，知 PF1PF22a，进而设法求出
6、 PF1PF2的最大值， 再由已知的范围求出离心率 e 的范围 精解详析 P 是椭圆上一点， PF1PF22a， 2aPF1PF22 ，PF1PF2 即 PF1PF2a2， 当且仅当 PF1PF2时取等号 c2a23c2， 2， 1 2 1 3 c2 a2 e22，e. 1 3 3 3 2 0b0)的左、 右焦点分别为 F1、 F2， P 为椭圆 M 上任一点， 且 x2 a2 y2 b2 1 PF 2 PF 的最大值的取值范围是c2,3c2，其中 c，则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是a2b2 _ 解析：设 P(x，y)、F1(c,0)、F2(c,0)， 则 1 PF (cx，y)， 2
7、 PF (cx，y)， 1 PF 2 PF x2y2c2， 又 x2y2可看作 P(x，y)到原点的距离的平方， 所以(x2y2)maxa2，( 1 PF 2 PF )maxb2， 所以 c2b2a2c23c2，即 e2 ， 1 4 1 2 所以 e. 1 2 2 2 答案：1 2， 2 2 与椭圆相关的应用问题 例 4 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为 R，若其近 地点、远地点离地面的距离分别大约是R、 R，求此宇宙飞船运行的轨道方程 1 15 1 3 思路点拨 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨 道方程 精解详析 如图所示， 以运行轨
8、道的中心为原点， 其与地心的连线为 x 轴建立坐标系， 且令地心 F2为椭圆的右焦点， 则轨道方程为焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程， 不妨设为 x2 a2 1(ab0)，则地心 F2的坐标为(c,0)，其中 a2b2c2， y2 b2 则Error!解得Error! b2a2c2 22 R2. ( 6 5R) ( 2 15R) 64 45 此宇宙飞船运行的轨道方程为 1. x2 36 25R 2 y2 64 45R 2 一点通 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有 关椭圆的问题， 再将条件转化为 a， b， c 的关系， 进而求出椭圆方程， 解决其它问题 注意
9、： (1) 椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；(2)最后要将数学模型还原回实际问题作答 7 某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动， 卫星顺利进入 周期为 3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)卫星远月点(距离月球表面 最远的点)高度降至 1 700 km， 近月点(距离月球表面最近的点)高度是 200 km， 月 球的半径约是 1 800 km， 且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的 离心率是_ 解析：可设小椭圆的长轴长为 2a，焦距为 2c，由已知得 2a1 70021 800200， a2 750. 又 a2c1 7001 800，c375
10、. e . c a 375 2 750 3 22 答案： 3 22 8已知某荒漠上 F1、F2两点相距 2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以 F1、F2为一条 对角线的平行四边形区域，建农艺园按照规划，平行四边形区域边界总长为 8 km. (1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？ 解 ： (1)以 F1F2所在直线为 x 轴，F1F2的中垂线为 y 轴建立如图所示 的平面直角坐标系， 则 F1(1,0)，F2(1,0)设平行四边形的另两个顶点 为 P(x，y)，Q(x，y)， 则由已知得 PF1PF24. 由椭圆定义知点 P 在以 F1、 F2为焦点，
11、以 4 为长轴长的椭圆上， 此时 a2， c1， 则 b . 3 P 点的轨迹方程为 1(y0)， x2 4 y2 3 同理 Q 点轨迹方程同上 (2)SPF1QF2F1F2|yP|2cb2(km2)，3 所以当 P 为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为 2 km2.3 1椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的 位置 2椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的 形状 3 讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型， 不能确定的应分焦点在 x 轴上、y 轴上进行讨论 对应课时跟踪训练(九) 1(新课标全国卷改编)设椭圆 C
12、：1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P x2 a2 y2 b2 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为_ 解析 ： 法一 ： 由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故离心率 e3 . c a 2c 2a |F1F2| |PF1|PF2| 3m 2mm 3 3 法二：由 PF2F1F2可知 P 点的横坐标为 c，将 xc 代入椭圆方程可解得 y，所 b2 a 以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故 2c，变形可得(a2c2)2ac， b2 a 33 b2 a 3 等式两边同除以 a2，得(1e2)2e，解得
13、 e或 e(舍去)3 3 3 3 答案： 3 3 2(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C 的 1 2 方程是_ 解析：依题意，设椭圆方程为1(ab0)，所以Error!解得 a24，b23. x2 a2 y2 b2 答案： 1 x2 4 y2 3 3曲线 1 与曲线1(kb0)的离心率是，过椭圆上一点 M 作直线 MA，MB 分别交 x2 a2 y2 b2 6 3 椭圆于 A， B 两点， 且斜率分别为 k1， k2， 若点 A， B 关于原点对称， 则 k1k2的值为_ 解析：设点 M(x，y)，A(x1，y1)，B(x1，y1)， 则 y
14、2b2，y b2. b2x2 a2 2 1 b2x2 1 a2 所以 k1k21 yy1 xx1 yy1 xx1 y2y2 1 x2x2 1 b2 a2 c2 a2 e21 ， 1 3 即 k1k2的值为 . 1 3 答案：1 3 5 设 F1， F2是椭圆 E：1(ab0)的左、 右焦点， P 为直线 x上一点， F2PF1 x2 a2 y2 b2 3a 2 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率是_ 解析：设直线 x与 x 轴交于点 M，则PF2M60. 3a 2 由题意知，F1F2PF22c，F2Mc. 3a 2 在 RtPF2M 中，F2M PF2，即cc. 1 2 3a 2 e
15、 . c a 3 4 答案：3 4 6已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率 e ，经过点 A(，2)，求椭圆的标准方程 3 5 5 3 2 解：设椭圆的标准方程为 1(ab0)，则1. x2 a2 y2 b2 75 4a2 4 b2 由已知 e ， ，c a. 3 5 c a 3 5 3 5 b2a2c2a2( a)2，即 b2a2. 3 5 16 25 把代入，得1， 75 4a2 4 25 16a2 解得 a225，b216，所求方程为1. x2 25 y2 16 7 已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e， 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、 3 2 焦点坐标、顶点坐标 解：椭圆方程可
16、化为 1， x2 m y2 m m3 由 m0，易知 m， m m3 a2m，b2. m m3 c.a2b2 m(m2) m3 由 e，得 ，解得 m1， 3 2 m2 m3 3 2 椭圆的标准方程为 x2 1. y2 1 4 a1，b ，c. 1 2 3 2 椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1， 两焦点坐标分别为 F1，F2， ( 3 2 ，0) ( 3 2 ，0) 顶点坐标分别为 A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2. (0， 1 2) (0， 1 2) 8若椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，点 P 是椭圆上的一点，P 在 x 轴上的射影恰 为椭圆的左焦点，P 与中心 O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的 距离等于，试求椭圆的离心率及其方程105 解：令 xc，代入1(ab0)， x2 a2 y2 b2 得 y2b2(1)，y. c2 a2 b4 a2 b2 a 设 P(c，)，椭圆的右顶点 A(a,0)，上顶点 B(0，b) b2 a OPAB，kOPkAB， ， b2 ac b a bc.而 a2b2c22c2，ac，e .2 c a 2 2 又ac，解得 a，c，b，1051055 所求椭圆的标准方程为 1. x2 10 y2 5