《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.4 2.4.2 抛物线的几何性质含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.4 2.4.2 抛物线的几何性质含解析.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、24.2 抛物线的几何性质 对应学生用书P33 太阳能是最清洁的能源， 太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例 子 太阳能灶接受面是抛物线的一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲 面它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反 射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论 依据 问题 1：抛物线有几个焦点？ 提示：一个 问题 2：抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？ 提示：没有 问题 3：抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同？ 提示：椭圆有四个顶点，双曲线有二个顶点，抛物线只有一个顶点 抛物线的简单几何性质 标准方程 y22px (p0) y22px (p
2、0) x22py (p0) x22py (p0) 图像 范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0 对称轴x 轴y 轴 顶点原点 性 质 开口 方向 向右向左向上向下 抛物线的性质特点： (1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛 物线又称为无心圆锥曲线 (2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线 (3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以 抛物线的离心率是确定的，为 1. (4)抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为 p，它是一个不 变量，不随抛物线位置的变化而变化，焦点
3、与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离 相等，均为 . p 2 对应学生用书P33 求抛物线的标准方程与几何性质 例 1 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线是 y4； (2)顶点在原点，通过点(，6)，且以坐标轴为轴3 思路点拨 可先根据条件确定抛物线的焦点位置，从而设出抛物线的标准方程，再利 用待定系数法求出标准方程 精解详析 (1)顶点在原点，准线是 y4 的抛物线的标准方程可设为 x2 2py(p0)因为准线是 y4，所以 p8. 因此，所求抛物线的标准方程是 x216y. (2)若 x 轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为 y22px，因为点(，6)在抛物
4、线3 上，所以(6)22p，解得 2p12 ，故所求抛物线的标准方程为 y212 x.333 若 y 轴是抛物线的轴，同理可得抛物线的标准方程为 x2 y. 1 2 一点通 利用待定系数法求抛物线的标准方程，往往与抛物线的几何性质相联系，这 就要求对抛物线的标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用做到熟练，特别 是开口方向、焦点坐标、准线方程等 1已知双曲线方程是 1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛 x2 8 y2 9 物线的准线方程 解：双曲线 1 的右顶点坐标是(2，0)， x2 8 y2 9 2 2，且抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上 p 2 2 所求抛物线的标
5、准方程为 y28x，准线方程为2 x2 . 2 2抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x24y236 的短轴所在的直线，抛物线 焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程 解：椭圆的方程可化为 1， x2 4 y2 9 其短轴在 x 轴上，抛物线的对称轴为 x 轴， 设抛物线的方程为 y22px 或 y22px(p0) 抛物线的焦点到顶点的距离为 3， 即 3，p6， p 2 抛物线的标准方程为 y212x 或 y212x， 其准线方程分别为 x3 和 x3. 抛物线几何性质的应用 例 2 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上， 直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物
6、线交于 A、 B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积为 4，求此抛物线的标准方程 思路点拨 设出抛物线的方程，表示出AOB 的面积，利用面积列方程求解 精解详析 由题意，设抛物线方程为 y22mx(m0)，焦点 F( ，0)，直线 l：x ， m 2 m 2 A、B 两点坐标为( ，m)、( ，m) m 2 m 2 AB2|m|. AOB 的面积为 4， | |2|m|4， 1 2 m 2 m2，抛物线方程为 y24x.22 一点通 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题 的过程中又容易忽视这些隐含条件例 2 的关键是根据对称性求出线段|AB|的长，进而通过 面
7、积求出 m. 3 抛物线y24x的焦点为F， 点P为抛物线上的动点， 点M为其准线上的动点， 当FPM 为等边三角形时，其面积为_ 解析：据题意知，FPM 为等边三角形，PFPMFM，PM抛物线的准线设 P ，则 M(1，m)，等边三角形边长为 1，又由 F(1,0)，PMFM，得 1 ( m2 4 ，m) m2 4 m2 4 ，得 m2，等边三角形的边长为 4，其面积为 4.(11)2m233 答案：4 3 4(江西高考)抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，其准线与双曲线 1 相交于 A，B x2 3 y2 3 两点，若ABF 为等边三角形，则 p_. 解析：由 x22py(p0)得焦点
8、 F，准线 l 为 y ，所以可求得抛物线的准线与 (0， p 2) p 2 双曲线 1 的交点 A， B， 所以 AB ， 则 AF x2 3 y2 3( 12p2 2 ，p 2) ( 12p2 2 ，p 2) 12p2 AB ，所以sin ，即，解得 p6.12p2 p AF 3 p 12p2 3 2 答案：6 5已知 A、B 是抛物线 y22px(p0)上两点，O 为坐标原点，若 OAOB，且ABO 的 垂心恰是此抛物线的焦点 F，求直线 AB 的方程 解：ABO 是等腰三角形，A、B 关于 x 轴对称， AB 垂直于 x 轴 设直线 AB 方程为 xa，则 y22pa. 可设 A(a，
9、)，B(a，)2pa2pa 而焦点 F 为(p 2，0) kFA，kOB. 2pa ap 2 2pa a kFAkOB1， 1. 2pa(r(2pa) (a p 2)a a p. 5 2 AB 的方程为 x p. 5 2 抛物线中的最值问题 例 3 求抛物线 y24x 上到焦点 F 的距离与到点 A(3,2)的距离之和最小的点的坐标， 并求出这个最小值 思路点拨 可以设抛物线上的点为 P，要求 PAPF 的最小值，可利用抛物线定义， 把 PF 转化为 P 到准线的距离求解 精解详析 设 P是抛物线 y24x 上的任意一点，如图，过 P作抛物线的准线 l 的 垂线，垂足为 D，连结 PF，由抛物
10、线定义可知 PFPD. PAPFPAPD. 过 A 作准线 l 的垂线，交抛物线于 P，垂足为 Q，显然，直线段 AQ 的长小于折线段 AP D 的长，因而 P 点即为所求的 AQ 与抛物线的交点 直线 AQ 平行于 x 轴，且过 A(3,2)， 直线 AQ 的方程为 y2.代入 y24x，得 x1. P(1,2)与 F、A 的距离之和最小，最小距离为 4. 一点通 与抛物线有关的最值问题，常利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的 距离转化成到准线的距离，利用几何法求解 ； 另外，也可以根据条件转化为求函数的最值问 题，但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧 6已知抛物线 y22x 的焦点
11、F，点 P 是抛物线上的动点，求点 P 到点 A的距 ( 1 2，1) 离与点 P 到直线 x 的距离 d 之和的最小值 1 2 解：由于直线 x 即抛物线的准线， 1 2 故 PBdPBPFBF. 当且仅当 B、P、F 共线时取等号， 而 BF ， ( 1 2 1 2) 212 2 PBd 的最小值为 . 2 7已知直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点 (1)若|AF|4，求点 A 的坐标； (2)求线段 AB 的长的最小值 解：由 y24x，得 p2，其准线方程为 x1，焦点 F(1,0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)由抛物线的定义可知
12、，|AF|x1 ， p 2 从而 x1413. 代入 y24x，解得 y12 . 3 点 A 的坐标为(3, 2)或(3，2)33 (2)当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 yk(x1) 与抛物线方程联立， 得Error! 消去 y，整理得 k2x2(2k24)xk20. 直线与抛物线相交于 A，B 两点， 则 k0，设其两根为 x1，x2， x1x22 . 4 k2 由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p4 4. 4 k2 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，与抛物线相交于 A(1,2)，B(1，2)， 此时|AB|4， |AB|4，即线段 AB 的长的最小值
13、为 4. 1涉及抛物线的焦点弦问题时，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到 准线的距离 2若 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线 y22px(p0)的过焦点 F 的一条直线与抛物线的两 个交点，则ABx1x2p，x1x2，y1y2p2. p2 4 对应课时跟踪训练(十三) 1抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是_ 解析：这里 p4，焦点(2,0)，准线 x2， 焦点到准线的距离是 4. 答案：4 2抛物线 y22x 上的两点 A，B 到焦点的距离之和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距 离是_ 解析：抛物线 y22x 的焦点为 F，准线方程为 x ，设 A(x1，y1
14、)，B(x2，y2)， ( 1 2，0) 1 2 则 AFBFx1 x2 5，解得 x1x24，故线段 AB 的中点横坐标为 2.故线段 AB 的 1 2 1 2 中点到 y 轴的距离是 2. 答案：2 3过点(0,1)且与抛物线 y24x 只有一个公共点的直线有_条 解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为 x0，满足与抛物线 y24x 只有一个公共 点 当斜率存在时， 设直线方程为 ykx1， 再与 y24x 联立整理得 k2x2(2k4)x10， 当 k0 时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当 k0 时，由 0 可得 k 值有 一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有 3 条
15、 答案：3 4 已知直线l过抛物线C的焦点， 且与C的对称轴垂直， l与C交于A， B两点， |AB|12， P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为_ 解析 ： 设抛物线方程为y22px， 则焦点坐标为( ， 0)， 将x 代入y22px可得y2p2， |AB| p 2 p 2 12， 即 2p12， 故 p6.点 P 在准线上， 到 AB 的距离为 p6， 所以PAB 的面积为 612 1 2 36. 答案：36 5已知点 A(2,0)，抛物线 C： x24y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与 其准线相交于点 N，则 FMMN_. 解析：如图所示， ，过点 M
16、作 MM垂直于准线 y1 于点 M，则由抛物线的定义 知MMFM， 所以， 由于MMNFOA， 则 ， 则MMMN FM MN MM MN MM MN OF OA 1 2 1，5 即 FMMN1 . 5 答案：1 5 6已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，抛物线上的点 M(3，m)到焦点 的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值 解：法一：设抛物线方程为 y22px(p0)， 则焦点 F( ，0)，由题设可得Error! p 2 解得Error!或Error! 故所求的抛物线方程为 y28x，m 的值为2 . 6 法二：设抛物线方程为 y22px(p0)，焦点 F，准线方程 x
17、 ，根据抛物线定 ( p 2，0) p 2 义，点 M 到焦点的距离等于 M 到准线方程的距离， 则 3 5，p4. p 2 因此抛物线方程为 y28x. 又点 M(3，m)在抛物线上，于是 m224， m2 . 6 7已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x2y10 截得的弦长为，求15 此抛物线方程 解：设抛物线方程为：x2ay(a0)， 由方程组Error! 消去 y 得：2x2axa0， 直线与抛物线有两个交点， (a)242a0，即 a8. 设两交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 ，x1x2 ， a 2 a 2 弦长为|AB| 5 4(x 1x2
18、)2 5 4(x 1x2)24x1x2 . 1 4 5(a28a) |AB|， ，15 1 4 5(a28a)15 即 a28a480，解得 a4 或 a12， 所求抛物线方程为：x24y 或 x212y. 8已知抛物线 y22x. (1)设点 A 的坐标为，求抛物线上距离点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离|PA|； ( 2 3，0) (2)在抛物线上求一点 P，使 P 到直线 xy30 的距离最短，并求出距离的最小值 解：(1)设抛物线上任一点 P 的坐标为(x，y)， 则|PA|2 2y222x (x 2 3) (x 2 3) 2 . (x 1 3) 1 3 x0，且在此区间上函数单
19、调递增，故当 x0 时， |PA|min ，故距点 A 最近的点的坐标为(0,0) 2 3 (2)法一：设点 P(x0，y0)是 y22x 上任一点， 则 P 到直线 xy30 的距离为 d. |x0y03| 2 | y2 0 2 y03| 2 |(y01)25| 2 2 当 y01 时，dmin. 5 2 2 5 2 4 点 P 的坐标为. ( 1 2，1) 法二 ： 设与直线 xy30 平行的抛物线的切线为 xyt0， 与 y22x 联立， 消去 x， 得 y22y2t0， 由 0，得 t ，此时 y1，x ， 1 2 1 2 点P坐标为， 两平行线间的距离就是点P到直线xy30的最小距离， 即dmin ( 1 2，1) . 5 2 4