《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.2 3.2.3 空间的角的计算含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.2 3.2.3 空间的角的计算含解析.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、32.3 空间的角的计算 对应学生用书P68 山体滑坡是一种常见的自然灾害甲、乙两名科技人员为了测量一个山 体的倾斜程度， 甲站在水平地面上的 A 处，乙站在山坡斜面上的 B 处，A、B 两点到直线 l(水平地面与山坡的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 30 m 和 40 m，CD 的长为 60 m，AB 的长 为 80 m. 问题 1：如何用向量方法求异面直线 AC 和 BD 所成的角？ 提示：设异面直线 AC 与 BD 所成的角为 ， 则 cos |cos，BD |.AC 问题 2：如何求斜线 BD 与地面所成角 ？ 提示：设地面的法向量为 n， 则 sin |cosBD ，n|. 问
2、题 3：如何求水平地面与斜坡面所成的二面角 ？ 提示：cos cosCA ，DB 异面直线所 成的角 设两条异面直线a， b所成的角为， 它们的方向向量分别为a、 b.则cos |ab| |a|b| 直线与平面 所成的角 设直线和平面所成的角为 ， 且直线的方向向量为 a， 平面的法向量为 b， 则 sin |ab| |a|b| 二面角的平 面角 设二面角 l 的锐二面角大小为 ，且两个半平面的法向量分别为 a，b， 则 cos |ab| |a|b| 对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识 (1)斜线与平面的夹角范围是；而直线与平面的夹角范围是； (0， 2) 0， 2 (2)设AB 在平面
3、内的射影为A B ， 且直线 AB 与平面 的夹角为 ， 则|A B |AB |cos ； (3)平面 的法向量 n 与AB 所成的锐角 1的余角 就是直线 AB 与平面 所成的角 对应学生用书P69 利用空间向量求异面直线所成的角 例 1 如图所示，三棱柱 OABO1A1B1中，平面 OBB1O1平面 OAB， O1OB60，AOB90，且 OBOO12，OA，求异面直线 A1B 与 AO1所成的角的余弦3 值的大小 思路点拨 1 A B ， 1 O A 坐标建系 求A1，B， A，O1坐标 cos 1 A B ， 1 O A .结论 精解详析 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 O(0,0
4、,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，3333 1 A B OB 1 OA (，1，)，33 1 O A OA 1 OO (，1，)33 cos 1 A B ， 1 O A A1B O1A |A1B |O1A | (r(3)，1，r(3)(r(3)，1，r(3) 7 7 . 1 7 异面直线 A1B 与 AO1所成的角的余弦值为 . 1 7 一点通 求异面直线所成的角的方法及关注点： (1)方法：利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的 角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角 (2)关注点：求角时，
5、常与一些向量的计算联系在一起，如向量的坐标运算、数量积运 算及模的运算 1.如图所示，已知在四面体ABCD中，O是BD的中点，CACBCDBD2， ABAD . 2 (1)求证：AO平面 BCD； (2)求异面直线 AB 与 CD 所成的角的余弦值 解：以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 B(1,0,0)，D(1,0,0)， C(0， ，0)，A(0,0,1)，3 (1)证明：OA (0,0,1)，BD (2,0,0)， BC (1， ，0)3 OA BD 0，OA BC 0，OABD，OABC. 又 BDBCB，AO平面 BCD. (2)BA (1,0,1)，CD (1，
6、0)3 cosBA ，CD ， | 2 4 异面直线 AB 与 CD 所成的角的余弦值为. 2 4 2.已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都是 1，且A1AB A1ADBAD60，求直线 AC1与 AC 所成角的余弦值 解： 1 AC AB AD 1 AA ， AC AB AD ， | 1 AC |2AB 2AD 2 1 AA 22AB AD 2AB 1 AA 2AD 1 AA 111 211cos 6036， |AC |2AB 2AD 22AB AD 1113， | 1 AC |，|AC |.63 AC 1 AC (AB AD )(AB AD 1 AA ) AB 2AB AD
7、 AB 1 AA AD AB AD 2AD 1 AA 1 1 4， 1 2 1 2 1 2 1 2 cos 1 AC ，AC ， | 4 6 3 2 2 3 即 AC1与 AC 所成角的余弦值为. 2 2 3 求线面角 例 2 (湖南高考)如图，在直棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，AC BD，BC1，ADAA13. (1)证明：ACB1D； (2)求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值 思路点拨 以 A 为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直 角坐标系 (1)求出AC 和 1 B D ，证明AC 1 B D 0； (2)求出直
8、线 B1C1的方向向量与平面 ACD1的法向量 精解详析 (1)证明 ： 易知， AB， AD， AA1两两垂直 如图， 以 A 为 坐标原点， AB， AD， AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直 角坐标系 设 ABt， 则相关各点的坐标为 A(0,0,0)， B(t,0,0)， B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)， D(0,3,0)，D1(0,3,3) 从而 1 B D (t,3，3)，AC (t,1,0)，BD (t,3,0) 因为 ACBD，所以AC BD t2300， 解得 t或 t(舍去)33 于是 1 B D (，3，3)，AC (，1,
9、0)33 因为AC 1 B D 3300， 所以AC 1 B D ，即 ACB1D. (2)由(1)知， 1 AD (0,3,3)，AC (，1,0)， 11 B C (0,1,0)3 设 n(x，y，z)是平面 ACD1的一个法向量， 则Error!即Error! 令 x1，则 n(1，)33 设直线 B1C1与平面 ACD1所成角为 ，则 sin |cosn， 11 B C |. | n |n| 3 7 21 7 即直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值为. 21 7 一点通 利用向量法求直线与平面所成角的解题步骤为： (1)根据题设条件、图形特征建立适当的空间直角坐标系； (2)得
10、到相关点的坐标，进而求出相关向量的坐标； (3)利用公式 cosa，b，进行计算，其中向量 a 是直线的方向向量，b 可以是 ab |a|b| 平面的法向量，也可以是直线在平面内射影的方向向量； (4)将a，b转化为所求的线面角 3.如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ACBC， ACBCCC1， M、 N 分 别是 A1B、 B1C1的中点 (1)求证：MN平面 A1BC； (2)求直线 BC1和平面 A1BC 所成的角的大小 解：(1)证明：根据题意，CA、 CB、 CC1两两垂直，以 C 为原点，CA、 CB、 CC1所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标 系
11、，设ACBCCC1a， 则 B(0， a,0)， B1(0， a， a)， A(a， 0,0)， C(0,0,0)， C1(0,0， a)， A1(a,0， a)， M ，N. ( a 2， a 2， a 2) (0， a 2，a) 所以 1 BA (a，a，a)， 1 CA (a,0，a)， MN . ( a 2，0， a 2) 于是MN 1 BA 0，MN 1 CA 0， 即 MNBA1，MNCA1. 又 BA1CA1A1，故 MN平面 A1BC. (2)因为 MN平面 A1BC，则MN 为平面 A1BC 的法向量，又 1 BC (0，a，a)， 则 cos 1 BC ，MN ， | |
12、| a2 2 2a 2 2 a 1 2 所以 1 BC ，MN 60. 故直线 BC1和平面 A1BC 所成的角为 30. 4 如图， 已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形， ABCD， ACBD， 垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 的中点 (1)证明：PEBC； (2)若APBADB60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 解：(1)证明：以 H 为原点，HA，HB，HP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系 Hxyz 如图， 则 A(1,0,0)，B(0,1,0) 设 C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0)，D(
13、0，m,0)，E. ( 1 2， m 2，0) 可得PE ，BC (m，1,0) ( 1 2， m 2，n) 因为PE BC 00， m 2 m 2 所以 PEBC. (2)由已知条件可得 m，n1， 3 3 故 C，D，E，P(0,0,1) ( 3 3 ，0，0) (0， 3 3 ，0) ( 1 2， 3 6 ，0) 设 n(x，y，z)为平面 PEH 的法向量， 则Error!即Error! 因此可以取 n(1， ，0)3 又PA (1,0，1)，可得|cosPA ，n|， | n n| 1 2 2 2 4 所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为. 2 4 求二面角 例 3 (江
14、苏高考)如图， 在直三棱柱 A1B1C1ABC 中， ABAC， AB AC2， A1A4， 点 D 是 BC 的中点 (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值； (2)求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值 思路点拨 (1)先建系求出 A1B 和 C1D 的方向向量，再求其余弦值； (2)求出平面 ADC1与平面 ABA1的法向量，用向量法求余弦值再转化为正弦值 精解详析 (1)以 A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标 系 Axyz， 则 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(0,2,0)， D(1,1,0)， A1(0， 0,4)， C1(0,2,4)
15、， 所以 1 A B (2,0， 4)， 1 C D (1， 1， 4) 因为 cos 1 A B ， 1 C D ，所以异面直 | 18 20 18 3 10 10 线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为. 3 10 10 (2)设平面 ADC1的法向量为 n1(x，y，z)， 因为AD (1,1,0)， 1 AC (0,2,4)， 所以 n1AD 0，n1 1 AC 0， 即 xy0 且 y2z0，取 z1，得 x2，y2， 所以 n1(2，2,1)是平面 ADC1的一个法向量 取平面 ABA1的一个法向量为 n2(0,1,0)， 设平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的大小为 .
16、由|cos | ，得 sin . | n1n2 |n1|n2| 2 9 1 2 3 5 3 因此平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值为. 5 3 一点通 用向量法求二面角的大小时，应注意两个问题：一是建系后两个平面的法向 量求解正确；二是求出了两法向量夹角后，应结合图形与题意判断求出的是二面角的大小， 还是它的补角的大小，从而确定二面角大小 5 (天津高考)如图， 四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 侧棱 A1A底面 ABCD， AB/DC， AB AD，ADCD1，AA1AB2，E 为棱 AA1的中点 (1)证明：B1C1CE; (2)求二面角 B1CEC1的正弦值 (3)设点
17、M在线段C1E上， 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为， 求线段AM 2 6 的长 解 ： 如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)， B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0) (1)证明：易得 11 B C (1,0， 1)，CE (1,1， 1)，于是 11 B C CE 0， 所以 B1C1CE. (2)可知 1 B C (1，2，1) 设平面 B1CE 的法向量 m(x，y，z)， 则Error!即Error!消去 x， 得 y2z0， 不妨令 z1， 可得一个法向量为 m(3， 2,1) 由(1
18、)知，B1C1CE，又 CC1B1C1， 可得 B1C1平面 CEC1， 故 11 B C (1,0，1)为平面 CEC1的一个法向量 于是 cosm， 11 B C ， m |m| 4 14 2 2 7 7 从而 sin m， 11 B C . 21 7 所以二面角 B1CEC1的正弦值为. 21 7 (3)AE (0,1,0)， 1 EC (1,1,1) 设EM 1 EC (，)，01，有AM AE EM (，1，) 可取AB (0,0,2)为平面 ADD1A1的一个法向量 设 为直线 AM 与平面 ADD1A1所成的角， 则 sin |cosAM ，AB | .于是 | | 2 2 2(
19、1)22 3221 ，解得 ，所以 AM. 3221 2 6 1 3 2 6.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD， APAB2， BC2，E，F 分别是 AD，PC 的中点2 (1)证明：PC平面 BEF； (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小 解：(1)证明：如图，以 A 为坐标原点，AB、AD、AP 所在直 线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 APAB2，BCAD2，四边形 ABCD 是矩形2 A， B， C， D， P 的坐标为 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(2， 2， 0)， D(0,22 ，0)，P(0,0,2)，2 又
20、 E，F 分别是 AD，PC 的中点， E(0， ，0)，F(1， ，1)22 PC (2,2，2)，BF (1， ，1)，EF (1,0,1)，22 PC BF 2420，PC EF 2020， PC BF ，PC EF ， PCBF，PCEF，BFEFF， PC平面 BEF. (2)由(1)知平面 BEF 的法向量 n1PC (2,2，2)，2 平面 BAP 的法向量 n2AD (0,2，0)，2 n1n28. 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ， 则 cos |cosn1，n2|， |n1n2| |n1|n2| 8 4 2 2 2 2 45，平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为
21、 45. 1 两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值， 而对应的方向向量的夹角可能为钝角 2 直线的方向向量为 u， 平面的法向量为 n， 直线与平面成角为 ， 则 sin |cosu， n |， 不要漏了绝对值符号 3利用两平面的法向量 n1，n2求出 cosn1，n2后要根据图形判断二面角是锐角还 是钝角 对应课时跟踪训练(二十五) 1已知 A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线 AB 与直线 CD 所成角的余 弦值为_ 解析：AB (2，2，1)，CD (2，3，3)， cosAB ，CD . | 5 3 22 5 22 66 直线 AB，CD 所
22、成角的余弦值为. 5 22 66 答案：5 22 66 2棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为 A1B1，BB1的中点，则异面 直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是_ 解析 ： 依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N (1， 1 2，1) . (1，1， 1 2) AM ，CN ， (0， 1 2，1) (1，0， 1 2) cosAM ，CN ， 1 2 5 2 5 2 2 5 故异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 . 2 5 答案：2 5 3PA平面 ABC，ACBC，PAAC1，BC，则二面角 APBC
23、的余弦值为2 _ 解析： 如图建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(，1,0)，2 C(0,1,0)，P(0,0,1)， AP (0,0,1)，AB (， 1,0)，CB (， 0,0)，CP (0， 1，22 1)设平面 PAB 的法向量为 m(x，y，z)， 则Error! Error! Error!令 x1，则 m(1，0)2 设平面 PBC 的法向量为 n(x，y，z)， 则Error!Error! Error!令 y1，则 n(0，1，1)， cosm，n. mn |m|n| 3 3 答案： 3 3 4 (大纲全国卷改编)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AA12A
24、B， 则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于_ 解析：以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设 AA12AB2，则 D(0,0,0)， C(0,1,0)， B(1,1,0)， C1(0,1,2)， 则DC (0,1,0)，DB (1,1,0)， 1 DC (0,1,2) 设平面 BDC1 的法向量为 n(x，y，z)，则 nDB ，n 1 DC ，所以有Error! 令 y2，得平面 BDC1的一个法向量为 n(2，2,1)设 CD 与平面 BDC1所成的角 为 ， 则 sin |cosn，DC | . | n |n| 2 3 答案：2 3 5已知 E，F 分别是棱长为 1 的
25、正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BC，CC1的中点，则截 面 AEFD1与底面 ABCD 所成二面角的余弦值是_ 解析 ： 以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD1分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则 A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1) ( 1 2，1，0) (0，1， 1 2) 所以 1 AD (1,0,1)，AE . ( 1 2，1，0) 设平面 AEFD1的法向量为 n(x，y，z)，则Error!Error! 取 y1，则 n(2,1,2)，而平面 ABCD 的一个法向量为 u (0,0,1)， cosn，u . 2 3 答案：2 3 6.如图
26、，在几何体ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC90，BE 和 CD 都垂 直于平面 ABC，且 BEAB2，CD1，点 F 是 AE 的中点求 AB 与平面 BDF 所成角的 正弦值 解：以点 B 为原点，BA、BC、BE 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系， 则 B(0,0,0)，A(2,0,0)， C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)， F(1,0,1) BD (0,2,1)，DF (1，2,0)，BA (2,0,0) 设平面 BDF 的一个法向量为 n(2，a，b)， nDF ，nBD ， Error!即Error! 解得 a1，b2
27、.n(2,1，2) 又设 AB 与平面 BDF 所成的角为 ， 则 sin . n | |n| 4 2 3 2 3 即 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为 . 2 3 7(江西高考)如图，四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，E 为 BD 的中点，G 为 PD 的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA ，连结 CE 并延长交 AD 于 F. 3 2 (1)求证：AD平面 CFG； (2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值 解：(1)证明：在ABD 中，因为 E 是 BD 中点， 所以 EAEBEDAB1， 故BAD ，ABEAEB ， 2 3 因为DABDCB，所以EA
28、BECB， 从而有FEDBECAEB ， 3 所以FEDFEA， 故 EFAD，AFFD.因为 PGGD，所以 FGPA. 又 PA平面 ABCD， 所以 GFAD，故 AD平面 CFG. (2)以点 A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P， ( 3 2， 3 2 ，0) 3 (0，0， 3 2) 故BC ，CP ， ( 1 2， 3 2 ，0) ( 3 2， 3 2 ，3 2) CD . ( 3 2， 3 2 ，0) 设平面 BCP 的一个法向量 n1(1，y1，z1)， 则Error!解得Error! 即 n1. (1， 3
29、3 ，2 3) 设平面 DCP 的一个法向量 n2(1，y2，z2)， 则Error!解得Error!即 n2(1， ，2)3 从而平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值为 cos . |n1n2| |n1|n2| 4 3 16 9 8 2 4 8.如图，在几何体ABCDE中，DA平面EAB，CBDA，EAAB，M是EC的中点，EADAAB2CB. (1)求证：DMEB； (2)求异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值； (3)求二面角 MBDA 的余弦值 解 ： 以直线 AE、AB、AD 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直 角坐标系 Axyz，设 CBa， 则 A(0,0,0)，
30、E(2a,0,0)， B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)， 所以 M(a，a， )， a 2 (1)证明：DM (a，a，)，EB (2a,2a,0)， 3a 2 DM EB a(2a)a2a00， DM EB ，即 DMEB. (2)AB (0,2a,0)，CE (2a，2a，a)， 设异面直线 AB 与 CE 所成的角为 ， 则 cos . | | 4a2 2a3a 2 3 即异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值为 . 2 3 (3)DA平面 EAB，AD平面 DAB， 平面 DAB平面 EAB， EA平面 EAB，平面 EAB平面 DABAB， EAAB. EA平面 DAB. AE (2a,0,0)是平面 DAB 的一个法向量 设平面 MBD 的一个法向量为 n(x，y，z)， DM (a，a，)，BD (0，2a,2a)， 3a 2 则Error!即Error! 令 za，则 n， ( a 2，a，a) 设二面角 MBDA 的平面角为 ， 则 cos . n | |n| a2 2a3a 2 1 3 即二面角 MBDA 的余弦值为 . 1 3