《2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第47课__椭圆的几何性质含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第47课__椭圆的几何性质含解析.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 47 课 椭圆的几何性质 1. 熟练掌握椭圆的几何性质，会利用几何性质解决简单的问题. 2. 能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系，并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问 题. 1. 阅读：选修 11 第 3234 页(理科阅读选修 21 相应内容). 2. 解悟：椭圆中的基本量 a，b，c 满足关系 a2b2c2，在图形中分别对应着什么？有怎 样的几何关系？离心率是反映了椭圆形状的一个重要量，它与 之间满足一个什么关系？ b a 求离心率关键要寻找何种等式？ac，ac 是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离 吗？你能证明吗？ 3. 践习：在教材空白处完成选修 11 第 34 页练习第 1
2、、2、4 题(理科完成选修 21 相应任务). 基础诊断 1. 若焦点在 x 轴上的椭圆1 的离心率为 ，则 m . x2 2 y2 m 1 2 3 2 解析：因为焦点在 x 轴上的椭圆1 的离心率为 ，所以 ，得 m . x2 2 y2 m 1 2 2m 2 1 4 3 2 2. 已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为，且椭圆 G 上一点到两 3 2 个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为 1 . x2 36 y2 9 解析 ： 由题意知 e，2a12，所以 a6，c3，所以 b3，所以椭圆方程为 3 2 3 x2 36 1. y2 9 3. 若椭圆的短轴长为 2
3、，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 . 4 3 3 解析：由题意知 2b2，2a4b，所以 b1，a2，所以 c，则椭圆的中a2b23 心到其准线的距离是 . a2 c 4 3 4 3 3 4. 过椭圆1(ab0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2为其右焦点，若 x2 a2 y2 b2 F1PF260，则椭圆的离心率为 . 3 3 解析：由题意知点 P 的坐标为或，因为F1PF260，所以， (c， b2 a) (c， b2 a) 2c b2 a 3 即 2acb2(a2c2)，所以e22e0，所以 e或 e(舍).3333 3 3 3 范例导航 考向 通过几
4、何性质探求椭圆基本量 例 1 设 A，B 是椭圆 C：1 长轴的两个端点.若椭圆 C 上存在点 M 满足AMB x2 3 y2 m 120，求实数 m 的取值范围. 解析 ： 若椭圆的焦点在 x 轴上，则有 a23，b2m(0m3)，当点 M 为椭圆短轴 的端点时，此时AMB 最大，根据椭圆的对称性，只需满足 tanAMO tan60(其 a b 3 中O为坐标原点)， 即， 得0m1； 若椭圆的焦点在y轴上， 则有a2m(m3)， b23， 3 m 3 同理可得 m9.故 m 的取值范围是(0，19，). 如图， 设椭圆1(ab0)的左、 右焦点分别为 F1， F2， 且点 D 在椭圆上，
5、DF1F1F2， x2 a2 y2 b2 2，DF1F2的面积为，则该椭圆的标准方程为 y21 . F1F2 DF1 2 2 2 x2 2 解析 ： 设 F1(c，0)，F2(c，0)，其中 c2a2b2.由2，得 DF1c， F1F2 DF1 2 F1F2 2 2 2 2 所以 SDF1F2 DF1F1F2c2，故 c1，所以 DF1.由 DF1F1F2，得 DF DF F1F 1 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 ，因此 DF2，所以 2aDF1DF22，故 a，b2a2c21，因此所求椭圆 2 2 9 2 3 2 2 22 的标准方程为y21. x2 2 考向 求椭圆离心率 例
6、2 如图，1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2的直线交椭圆于 P，Q x2 a2 y2 b2 两点，且 PQPF1. (1) 若 PF12，PF22，求椭圆的标准方程；22 (2) 若 PF1PQ，求椭圆的离心率 e. 解析：(1) 由题意得 2aPF1PF2(2)(2)4，所以 a2.22 设椭圆的半焦距为 c，由已知 PQPF1， 所以 2c2，所以 c，所以 b1，PFPF（2 2）2（2 2）233a2c2 故所求椭圆的标准方程为y21. x2 4 (2) 方法一：连结 F1Q， 设椭圆上点 P(x0，y0)，PF1PF2， 所以有 x a2 y b21， xyc2，
7、) 解方程组，得 x0，y0， a c a22b2 b2 c 由 PF1PQPF2， 得 x00，从而 PF (a)2. 2 1 ( a a 22b2 c c) 2 b4 c2 a22b2 由椭圆定义，得 PF1PF22a，QF1QF22a， 由 PF1PQPF2QF2， 得 QF14a2PF1. 又 PF1PQ，PF1PQ，所以 QF1PF1，2 所以(2)PF14a，2 所以(2)(a)4a，2a22b2 所以(2)(1)4， 22e21 解得 e. 63 方法二： 由椭圆定义，得 PF1PF22a，QF1QF22a， 由 PF1PQPF2QF2，得 QF14a2PF1. 又 PF1PQ，
8、PF1PQ，所以 QF1PF1，2 所以PF14a2PF1，所以 PF12(2)a，22 从而 PF22aPF12a2(2)a2(1)a.22 由 PF1PF2，知 PF PF F1F (2c)2， 2 12 22 2 所以 e . c a PFPF 2a （2 2）2（ 21）296 263 已知直线l经过椭圆短轴的一个端点和一个焦点. 若椭圆中心到l的距离为其短轴长的1 4 ，则该椭圆的离心率为 . 1 4 解析 ： 根据题意， 设椭圆的方程为1(ab0)， 设直线经过椭圆的上顶点与右焦点， x2 a2 y2 b2 则直线的方程为 1.若椭圆中心即(0，0)到直线 l 的距离为其短轴长的
9、，则有 x c y b 1 4 |1| 1 c2 1 b2 ，得 b215c2，则 a2b2c216c2，即 a4c，所以椭圆的离心率为 . b 4 1 4 考向 椭圆离心率的取值范围问题 例 3 已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F1PF260. (1) 求椭圆离心率的取值范围； (2) 求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 解析：(1) 设椭圆方程为1(ab0)， PF1m，PF2n. x2 a2 y2 b2 在PF1F2中，由余弦定理得 4c2m2n22mncos60. 因为 mn2a， 所以 m2n2(mn)22mn4a22mn， 所以 4c24a23mn，即
10、 3mn4a24c2. 又 mna2(当且仅当 mn 时取等号)， ( mn 2 ) 2 所以 4a24c23a2，所以 ，即 e ， c2 a2 1 4 1 2 所以 e 的取值范围是. 1 2，1) (2) 由(1)知 3mn4(a2c2)4b2，则 mn b2， 4 3 所以 SPF1F2 mnsin60b2， 1 2 3 3 所以PF1F2的面积只与短轴长有关. 如图， 椭圆C：1(ab0)， 圆O： x2y2b2， 过椭圆C的上顶点A的直线l： ykx x2 a2 y2 b2 b 分别交圆 O、椭圆 C 于不同的两点 P，Q，设.AP PQ (1) 若点 P(3，0)，Q(4，1)，
11、求椭圆 C 的方程； (2) 若 3，求椭圆 C 的离心率 e 的取值范围. 解析：(1) 由点 P 在圆 O：x2y2b2上得 b3， 点 Q 在椭圆 C 上得1， （4）2 a2 （1）2 32 解得 a218，所以椭圆 C 的方程是1. x2 18 y2 9 (2) 联立解得 x0 或 xP. ykxb， x2y2b2，) 2kb 1k2 联立解得 x0 或 xQ. ykxb， x2 a2 y2 b21，) 2kba2 a2k2b2 因为，3，所以，AP PQ AP 3 4AQ 所以 ， 2kba2 k2a2b2 3 4 2kb 1k2 即 ， a2 a2k2b2 3 4 1 1k2 所
12、以 k24e21. 3a24b2 a2 因为 k20，所以 4e21，即 e . 1 2 又 0b0)，因为 c1，所以 a2b21.因为 x2 a2 y2 b2 a2b2 直线 AB 经过右焦点 F2且垂直于 x 轴， 所以 A， B， 代入椭圆方程得 1. (1， 3 2) (1， 3 2) 1 a2 9 4 b2 联立解得 a24，b23，所以椭圆 C 的方程为1. x2 4 y2 3 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆1(ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，P 是 x2 a2 y2 b2 椭圆上一点，l 为左准线，PQl，垂足为 Q，若四边形 PQFA 为平行四边形，则椭圆的离
13、 心率 e 的取值范围是 (1，1) .2 解析：设点 P(x，y).因为 PQl，四边形 PQFA 为平行四边形，所以 PQ xac， a2 c 可得 xac .因为椭圆上点 P 的横坐标满足 xa，a，且 P，Q，F，A 不在一条直 a2 c 线上，所以a0 且 c 0， a2 c a2 c a2 c 1 e 即 e22e10，解得 e1.因为椭圆的离心率 e(0，1)，所以椭圆的离心22 率 e 的取值范围是(1，1).2 1. 求椭圆的离心率及离心率的取值范围，其实质是去寻找含 a，b，c 的齐次等式或齐 次不等式. 2. 在椭圆的焦点三角形中研究问题一般离不开使用第一定义， 有时还会结合正(余)弦定 理解决问题. 3. 你还有哪些体悟，写下来：