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1、第 60 课 数列的概念及简单表示 1. 数列的概念及数列与函数的关系(A 级要求). 2. 数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)(A 级要求). 1. 阅读：必修 5 第 3134 页. 2. 解悟 ： 读懂数列的定义，并与函数的定义作比较 ； 写出数列的通项公式，就是寻找 an 与 n 的对应关系 anf(n)；重解第 33 页例 3，体会方法. 3. 践习：在教材空白处，完成第 34 页习题第 7、8、9 题. 基础诊断 1. 数列 1，2， ，中的第 26 项为 2 .7101319 解析：因为 a11，a22，a3，a4，a5，所以 an，所14710133n2 以 a26
2、2.3 2627619 2. 下列四个图形中， 着色三角形的个数依次构成一个数列an的前 4 项， 则这个数列的 一个通项公式为 an3n1 . (1) (2) (3) (4) 解析：由图可知前 4 个图中着色三角形的个数分别为 1，3，32，33，猜想第 n 个图 的着色三角形的个数为 3n1，所以这个数列的通项公式为 an3n1. 3. 已知在数列an中，a1 ，an1(n2)，则 a16 . 1 2 1 an1 1 2 解析：由题意知 a21 1，a31 2，a41 ，所以此数列是以 3 为周 1 a1 1 a2 1 a3 1 2 期的周期数列，所以 a16a351a1 . 1 2 4.
3、 已知数列an的前 n 项和 Snn21，则 an . 2， n1， 2n1， n 2) 解析 ： 当 n1 时，a1S12； 当 n2 时，anSnSn1n21(n1)212n1， 故 an 2， n1， 2n1， n 2.) 范例导航 考向 数列的通项公式 例 1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1) 1，7，13，19，； 解析：(1) 数列中各项的符号可通过(1)n表示，从第 2 项起，每一项的绝对值总比它 的前一项的绝对值大 6，故通项公式为 an(1)n(6n5). (2) 1，0，0，0，； 1 3 1 5 1 7 解析：(2) 分母依次为 1，2，3，4，5
4、，6，7，分子依次为 1，0，1，0，1，0， 1，把数列改写成 ，因此数列的一个通项公式为 an. 1 1 0 2 1 3 0 4 1 5 0 6 1 7 1（1）n1 2n (3) 0.9，0.99，0.999，. 解析 ： (3) 数列可改写成 1， 1， 1， 可得该数列的一个通项公式为 an 1 10 1 102 1 103 1. 1 10n 数列 ， ， ， ，的一个通项公式是 an(1)n . 1 2 1 4 5 8 13 16 29 32 61 64 2n3 2n 解析：各项的分母分别为 21，22，23，24，从第 2 项起，每一项的绝对值的分子分 别比分母小 3，因此把第
5、1 项变为，原数列化为， 23 2 213 21 223 22 233 23 243 24 故 an(1)n. 2n3 2n 【注】 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略： (1) 常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、 联想(联想常见的数列)等方法. (2) 具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征； 各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破， 或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN* 进行处理. 考向 由 an与 Sn的关系求通项公式 例 2
6、 已知下列数列an的前 n 项和 Sn，求数列an的通项公式. (1) a11，Snan； n2 3 (2) Sn3nb； (3) Sn an . 2 3 1 3 解析：(1) 由题设知 a11. 当 n2 时，有 anSnSn1anan1，整理得 anan1， n2 3 n1 3 n1 n1 于是 a11，a2 a1，a3 a2，an1an2，anan1. 3 1 4 2 n n2 n1 n1 将上面 n 个等式两端分别相乘，整理得 an， n（n1） 2 显然，当 n1 时也满足上式. 综上可知，数列an的通项公式 an. n（n1） 2 (2) 当 n1 时，a1S13b； 当 n2 时
7、，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1. 当 b1 时，a12，满足上式；当 b1 时，a12，不满足上式， 所以当 b1 时，an23n1； 当 b1 时，an 3b， n1， 2 3n1， n 2.) (3) 由 Sn an ，得当 n2 时，Sn1 an1 ，两式相减，得 an an an1， 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 所以当 n2 时，an2an1，即2. an an1 又当 n1 时，a1S1 a1 ，即 a11， 2 3 1 3 所以 an(2)n1. 已知数列an满足 a12a2nan4(nN*). n2 2n1 (1) 求 a3的值； (2) 求数
8、列an的前 n 项和 Tn. 解析：(1) 由题意得 3a3(a12a23a3)(a12a2)4 ， 32 231 (4 22 221) 3 4 所以 a3 . 1 4 (2) 由题设知当 n2 时，nan(a12a2nan)a12a2(n1)an14 ， n2 2n1 (4 n1 2n2) n 2n1 所以 an. ( 1 2) n1 当 n1 时，a141 满足上式， 12 20 所以 an， ( 1 2) n1 所以数列an是首项为 1，公比为 的等比数列，故 Tn2. 1 2 1(1 2) n 11 2 ( 1 2) n1 【注】 已知 Sn，求 an的步骤： 当 n1 时，a1S1；
9、 当 n2 时，anSnSn1； 对 n1 时的情况进行检验，若满足 n2 的通项公式则可以合并 ； 若不满足则写成分 段函数形式. 这种转化是解决这种题型的基本思路，要重点掌握. 考向 数列的性质 例 3 已知数列an的通项公式 an(n1)(nN*)，则数列an有没有最大项？若有， ( 10 11) n 求出最大项；若没有，请说明理由. 解析：因为 an1an， ( 10 11) n 9n 11 所以当 nan；当 n9 时，an19 时，数列an是递减数列； 当 n9 时，an1an，所以当 n9 或 10 时，数列取得最大项 a9a10. 1010 119 设 an3n215n18，则
10、数列an中的最大项的值是 0 . 解析：因为 an3 ，由二次函数的性质，得当 n2 或 3 时，an最大，最大 (n 5 2) 2 3 4 值为 0. 【注】 (1) 解决数列的单调性问题可用以下三种方法： 用作差比较法， 根据 an1an的符号判断数列an是递增数列、 递减数列还是常数列 ； 用作商比较法，根据(an0 或 an0)与 1 的大小关系进行判断； an1 an 结合相应函数的图象直观判断. (2) 解决数列周期性问题的方法： 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. (3) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解. 自测反馈 1. 数列
11、 0.8，0.88，0.888，的一个通项公式是 an . 8 9(1 1 10n) 解析：数列变为 (1)， ， ，故 an. 8 9 1 10 8 9 (1 1 102) 8 9 (1 1 103) 8 9(1 1 10n) 2. 已知数列an的前n项和Sn2n3， 则数列an的通项公式为 an 1， n1， 2n1， n 2.) 解析：当 n1 时，a1S11；当 n2 时，anSnSn1(2n3)(2n13)2n1， 所以 an 1， n1， 2n1， n 2.) 3. 已知数列an满足 an1，a82，则 a1 . 1 1an 1 2 解析 ： 因为an1， 所以an11 1 1an
12、 1 1an 1 1 1 1an1 1an1 1an11 1an1 an1 1 an1 11(1an2)an2，n3，所以数列an是以 T(n1)(n2)3 为周期 1 1 1an2 的周期数列，所以 a8a322a22.又 a2，所以 a1 . 1 1a1 1 2 4. 若数列an满足 an1a1 ，则数列的第 2 015 项为 . 2an， 0 an 1 2， 2an1， 1 2 an 1，) 3 5 2 5 解析：由已知可得 a22 1 ，a32 ，a42 ，a52 1 ，所 3 5 1 5 1 5 2 5 2 5 4 5 4 5 3 5 以数列an为周期数列且 T4，所以 a2 015a50343a3 . 2 5 1. 数列是一种特殊的函数，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要 注意数列方法的特殊性. 2. 通项公式 an与前 n 项和 Sn的关系是一个十分重要的考点， 运用时， 不要忘记对 anSn Sn1的条件的验证. 3. 你还有那些体悟，写下来：