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1、_第 7 课_函数的性质(1)_ 1. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性 2. 掌握判断一些简单函数单调性的常用方法 3. 会运用函数图象理解和研究函数的单调性. 1. 阅读：必修 1 第 3739 页 2. 解悟：圈出第 37 页蓝色框中关于单调函数及单调区间概念中的关键词；如何求函数 的单调区间？有哪些方法？用定义法判断函数单调性的一般步骤和注意点 ； 对于基本初 等函数，我们一般用什么方法求函数的最值？ 3. 践习：在教材空白处，完成第 40 页练习第 1、2、5、7、8 题. 基础诊断 1. 函数 y的单调减区间是_(，1)，(1，)_ x
2、x1 解析：因为 y1，所以该函数的单调减区间是(，1)，(1，) x x1 1 x1 2. 已知函数yf(x)在R上是增函数， 且f(m2)f(m)， 则实数m的取值范围为_(， 1)(0，)_ 解析：因为 yf(x)在 R 上是增函数，且 f(m2)f(m)，所以 m2m，即 m2m0，解 得 m0 或 m0，yx ，令 y0，则 x 0，即0，解得1x1 1 x 1 x x21 x 且 x0.又因为 x0，所以 0 1， (4 a 2)x2， x 1) 8)_ 解析 ： 因为函数 f(x)是 R 上的单调增函数，所以 f(x)ax在(1，)上单调递增，f(x) x2 在(，1上单调递增，
3、所以解得 4a 1， 4a 2 0， a1 4a 22，) 围是4，8) 范例导航 考向 求函数的单调区间 例 1 求下列函数的单调区间： (1) y2x24x3； (2) ylog (x24x3) 1 2 解析：(1) 由题意得函数的定义域为 R， 因为函数 y2x在 R 上是增函数， 所以函数 yx24x3 的增(减)区间即为原函数的增(减)区间 因为函数 yx24x3 的增区间为(，2)，减区间为(2，)， 所以原函数的增区间为(，2)，减区间为(2，) (2) 因为 ylog (x24x3)， 1 2 所以x24x30，解得 10，则 x 10，解得 x2； 2 x 令 y0 且函数
4、f(x)在区间(1，)上单调递减，求实数 a 的取值范围 解析：(1) 设 x10，x1x20，x2x10， 所以要使 f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0 恒成立，所以 a1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1 已知函数 f(x) ax3x2x1. 2 3 (1) 当 a 时，求 f(x)的单调区间； 1 2 (2) 若函数 f(x)在1，3上单调递增，求 a 的取值范围 解析：(1) 当 a 时，f(x) x3x2x1， 1 2 1 3 则 f(x)x22x1. 令 f(x)0，解得 1x1；22 令 f(x)1.22 故当 a 时，f(x)的单调增区间为1，1， 1 2
5、22 单调减区间为(，1)，(1，)22 (2) f(x)2ax22x10 对1，3恒成立， 所以 a . 1 x 1 2x2 1 2( 1 x1) 2 1 2 因为 ，所以当 x3 时， ( 1)2 取最大值， 1 x 1 3，1 1 2 1 x 1 2 7 18 所以 a 的取值范围为. 7 18，) 考向 利用单调性求最值 例 3 已知函数 f(x)，x1，) x22xa x (1) 当 a 时，求函数 f(x)的最小值； 1 2 (2) 若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围 解析：(1) 当 a 时，f(x)x2. 1 2 1 2x 设 1x10，2x1x22
6、， 所以 00， 1 2x1x2 1 2 1 2x1x2 所以 f(x2)f(x1)0，即 f(x1)0 恒成立，即 x22xa0 恒成立 设 yx22xa，x1，)， 则函数 yx22xa(x1)2a1 在区间1，)上是增函数， 所以当 x1 时，ymin3a， 于是当且仅当 ymin3a0 时， 函数 f(x)0 恒成立， 故 a3， 即实数 a 的取值范围为( 3，) 自测反馈 1. 已知定义在区间(1，1)上的函数 f(x)是减函数，且满足 f(1a) 2a1， 1 0，x1x20 时，f(x)|(ax1)x|，函数与 x 轴的交点为(0，0)，函数的大致图象如图 2， ( 1 a，0
7、) 故函数 f(x)在上单调递增，在(0，)上不是增函数 ( 1 a，) 综上，当函数 f(x)在(0，)上单调递增时，a0，故“a0”是“函数 f(x)|(ax1)x| 在区间(0，)上单调递增”的充要条件 图 1 图 2 4. 若函数 f(x)(a0，且 a1)的值域是4，)，则实数 a 的取 x6， x 2， 3logax， x 2) 值范围是_(1，2_ 解析 ： 当 x2 时，f(x)x6264； 当 x2 时，若 a1，则 f(x)3logax3 loga2， 由 f(x)的值域可知， 3loga24， 解得 1a2； 若 0a1， 则 f(x)3logax3loga2， 与 f(x)的值域矛盾，故 a 的取值范围是(1，2 1. 函数的单调性主要关注的是函数的局部性质 2. 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示多个单调区间不能用“” 连结，要用“逗号”或者“和”连结. 3. 你还有哪些体悟，写下来：