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1、随堂巩固训练随堂巩固训练(36) 1. 设实数 x，y 满足不等式组则 zxy 的最小值是_2_ 2xy 4， xy 1， x2y 2，) 解析：当直线 zxy 经过点(2，0)时，z 取得最小值 2. 2. 已知实数 a， b 满足不等式组则 t4a2b 的取值 1 ab 2， 2 ab 4，) 范围是_5，10_ 解析： 目标函数可化为 b2a t， 当直线过点时截距最大， 此时 t 最小， tmin4 2 1 2 ( 3 2， 1 2) 3 2 5；当直线过点(3，1)时截距最小，此时 t 最大，tmax432110，所以 t 的取值范 1 2 围为5，10 3. 设实数 x，y 满足不
2、等式组则 的最大值为_ _ xy2 0， x2y4 0， 2y3 0， ) y x 3 2 解析： 表示的是点(x，y)与原点连线所在直线的斜率，作出可行域，可知当直线过点 y x 时， 有最大值 . (1， 3 2) y x 3 2 4. 已知变量 x，y 满足约束条件则 zx2y2的最大值为_18_ y x， xy 2， y 3x6，) 解析 ： 目标函数表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，作出可行域，可得当取得 点(3，3)时，目标函数取得最大值，即 zmax323218. 5. 已知实数 x， y 满足条件且点 M(2， 1)， P(x， y)， O 为坐标原点， 7x5y23 0
3、， x7y11 0， 4xy10 0，) 则的最大值为_9_OM OP 解析 ： 设(2， 1)(x， y)2xyt， 作出可行域， 可得当直线 2xyt 经过点 A(4，OM OP 1)时，()max2419.OM OP 6. 已知实数 x，y 满足则 z|3x4y5|的最大值为_9_ |xy| 1， |xy| 1，) 解析 ： 设 3x4ym(xy)n(xy)(mn)x(mn)y， 则解得 mn3， mn4，) m7 2， n1 2，) 所以 z|3x4y5|3x4y|5 |xy| |xy|59，所以 z 的最大值为 9. 7 2 1 2 7. 已知 a0，实数 x，y 满足约束条件 若
4、z2xy 的最小值为 1， x 1， xy 3， y a（x3），) 则 a_ _ 1 2 解析：由题意作出不等式组对应的平面区域，知当直线经过点(1，2a)时 z 最小，所 以 22a1，解得 a . 1 2 8. 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组给定， 若 M(x， y) 0 x 2， y 2， x 2y ) 为区域 D 上的动点，点 A 的坐标为(，1)，则 z的最大值为_4_2OM OA 解析 ： 由题意得 zxy，即 yxz，作出可行域，则当直线经过点(OM OA 22 ，2)时 z 取最大值，故 zmax24.222 9. 已知实数 x，y 满足不等式组若使得目
5、标函数 zyax 取得最大 xy2 0， xy4 0， 2xy5 0，) 值的唯一最优解是(1，3)，则实数 a 的取值范围为_(1，)_ 解析：作出不等式组表示的平面区域，将 zyax 化为 yaxz，z 为直线的截距， 由图可知若使 zyax 取得最大值的唯一最优解是 B(1，3)，必有 a1. 10. 设变量 x，y 满足约束条件且不等式 x2y14 恒成立， xy a， xy 8， x 6， ) 则实数 a 的取值范围是_8，10_ 解析：如图，不等式组表示的平面区域如阴影部分所示，显然 a8，否则可行域无意 义由图知 x2y 在点(6，a6)处取得最大值 2a6.由题意得 2a614
6、，解得 a10，故 8a10. 11. 在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇现有 4 辆甲型货 车和 8 辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型 货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的运输费用 最少为多少元？ 解析： 设需使用甲型货车 x 辆，乙型货车 y 辆，运输费用 z 元 根据题意，得线性约束条件z400x300y. 20x10y 100， 0 x 4， 0 y 8， x，y N， ) 由约束条件画出可行域知，当过点 A 时，z 取得最小值， 即当时，zmin2 200. x4， y2) 故该厂所花的运输费用最少为 2 200 元 12. 已知 O 是坐标原点， 点 A(1， 0)， 若 M(x， y)为平面区域上的一个动点， xy 2， x 1， y 2 ) 求|的最小值OA OM 解析 ： 依题意得(x1， y)， |， 其几何意义为动点(x， y)OA OM OA OM （x1）2y2 与点(1， 0)间的距离， 在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域， 结合图形可知， 在平面区域上的点中，由点(1，0)向直线 xy2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与 点(1，0)的距离最小，因此|的最小值是.OA OM |102| 2 3 2 2