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1、随堂巩固训练随堂巩固训练(44) 1. 过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2y24y0 所截得的弦长为_2_3 解析 ： 易知过原点且倾斜角为 60的直线方程为 yx，圆的方程可化为 x2(y2)23 4，圆心为(0，2)，半径为 2，所以圆心到直线的距离为1.设弦长为 l，则 ， |20| 31 l 2 221 解得 l2 . 3 2. 若过点 A(a，a)可作圆 x2y22axa22a30 的两条切线，则实数 a 的取值范 围为_(，3)_ (1， 3 2) 解析 ： 将圆的方程化为(xa)2y232a.由题意知点 A(a，a)在圆外，且0，所32a 以解得所以 1 32a， 32a 0
2、，) a 1或a 0)的公共弦长为 2，则 a_1_3 解析：联立方程 x2y22ay60 与 x2y24，相减得 2ay2，所以 y .由题意得 1 a ，解得 a1.22（ 3）2 1 a 8. 圆2x22y21与直线xsiny10的位置关系是 ( R， 2k，k Z) _相离_ 解析：将圆的方程化为标准方程得 x2y2 ，所以圆心坐标为(0，0)，半径 r.因为 1 2 2 2 |sin|r，1sin22 1 1sin2 2 2 则直线与圆的位置关系是相离 9. 若直线 l：xy20 与圆 C：x2y22x6y20 交于 A，B 两点，则ABC 的面积为_2_3 解析 ： 圆 C： x2
3、y22x6y20 的圆心为(1， 3)， 半径 r2， 圆心到直线的距离 d2 ，所以 AB2，所以 SABC 22. |132| 2 26 1 2 623 10. 已知以点 A(1，2)为圆心的圆与直线 l1：x2y70 相切过点 B(2，0)的动 直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点，Q 是 MN 的中点 (1) 求圆 A 的方程； (2) 当 MN2时，求直线 l 的方程19 解析：(1) 设圆 A 的半径为 r. 因为圆 A 与直线 l1：x2y70 相切， 所以 r2， |147| 5 5 所以圆 A 的方程为(x1)2(y2)220. (2) 当直线 l 与 x 轴垂直时，易知
4、 x2 符合题意； 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0. 连结 AQ，则 AQMN. 因为 MN2，所以 AQ1，192019 所以由 AQ1，得 k ， |k2| k21 3 4 所以直线 l 的方程为 3x4y60. 综上所述，直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60. 11. 已知点 P(0，5)及圆 C：x2y24x12y240. (1) 若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4，求直线 l 的方程；3 (2) 求过点 P 的圆 C 的弦的中点的轨迹方程 解析：(1) 方法一：圆 C 的标准方程为(x2)2(y6)216.
5、 如图所示，AB4，D 是 AB 的中点，3 所以 CDAB，AD2，AC4，在 RtACD 中，CD2.342（2 3）2 当直线 l的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y5kx， 即kxy50. 由点到直线距离公式得2，解得 k ， |2k65| k2（1）2 3 4 所以直线 l 的方程为 3x4y200； 当直线 l 的斜率不存在时也满足题意，此时直线的方程为 x0. 综上所述，直线 l 的方程为 x0 或 3x4y200. 方法二 ： 当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线 l 的方程为 ykx5， 联立方程组 ykx5， x2y24x12y240
6、，) 消去 y 并整理得(1k2)x2(42k)x110. 设方程的两个根为 x1，x2，则 x1x2，x1x2. 2k4 1k2 11 1k2 由弦长公式得|x1x2|4，1k2（1k2）（x1x2）24x1x23 将代入得 k ， 3 4 所以直线 l 的方程为 3x4y200； 当直线 l 的斜率不存在时也满足题意，此时直线的方程为 x0. 综上所述，直线 l 的方程为 x0 或 3x4y200. (2) 设过点 P 的圆 C 的弦的中点为 D(x，y)，则 CDPD， 所以0，即(x2，y6)(x，y5)0，CD PD 化简得 x2y22x11y300， 故所求轨迹方程为 x2y22x
7、11y300. 12. 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， AOB 和COD 为两个等腰直角三角形， A(2， 0)，C(a，0)(a0)设AOB 和COD 的外接圆圆心分别为 M，N. (1) 若圆 M 与直线 CD 相切，求直线 CD 的方程； (2) 若直线 AB 截圆 N 所得弦长为 4，求圆 N 的标准方程； (3) 是否存在这样的圆 N，使得圆 N 上有且只有三个点到直线 AB 的 距离为？若存在， 求此时圆 N 的标准方程；若不存在，请说明理由2 解析：(1) 由题意得圆心 M(1，1)，直线 CD 的方程为 xya0， 所以圆 M 的方程为(x1)2(y1)22. 因为圆
8、M 与直线 CD 相切， 所以圆心 M 到直线 CD 的距离 d， |a| 2 2 解得 a2(舍去负值)， 所以直线 CD 的方程为 xy20. (2) 由题意得直线 AB 的方程为 xy20，圆心 N， ( a 2， a 2) 所以圆心 N 到直线 AB 的距离为. | a 2 a 22| 2 2 因为直线 AB 截圆 N 所得的弦长为 4， 所以()2， ( 4 2) 2 2 ( a 20) 2 ( a 20) 2 所以 a2(舍去负值)，3 所以圆 N 的标准方程为(x)2(y)26.33 (3) 存在圆 N，使得圆 N 上有且只有三个点到直线 AB 的距离为 . 2 由(2)知圆心
9、N 到直线 AB 的距离为(定值)，且 ABCD 始终成立，2 所以当且仅当圆 N 的半径2，即 a4 时，圆 N 上有且只有三个点到直线 AB 的 a 2 2 距离为，2 此时圆 N 的标准方程为(x2)2(y2)28. 13. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2y24 交 x 轴于点 A，B(点 A 在 x 轴的负半 轴上)，M 为圆 O 上一动点，MA，MB 分别交直线 x4 于 P，Q 两点 (1) 求 P，Q 两点纵坐标的乘积； (2) 若点 C 的坐标为(1，0)，连结 MC 交圆 O 于另一点 N. 试判断点 C 与以 PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由； 记 MA，
10、NA 的斜率分别为 k1，k2，试探究 k1k2是否为定值？若 是，请求出该定值；若不是，请说明理由 解析：(1) 由题意得点 A(2，0)，B(2，0) 设点 M(x0，y0)，则直线 AM 的方程为 y(x2) y0 x02 令 x4，则 y，所以点 P. 6y0 x02 (4， 6y0 x02) 同理点 Q， (4， 2y0 x02) 所以 yPyQ12. 6y0 x02 2y0 x02 12y x4 (2) 点 C 在圆内理由如下： 由(1)知，CP (3， 6y0 x02) CQ (3， 2y0 x02) 所以93，CP CQ 6y0 x02 2y0 x02 所以PCQ ，所以点 C 在圆内 2 设点 M(x1，y1)，N(x2，y2) 当直线 MN 的斜率不存在时，M(1，)，N(1，)，此时 k1k2 ；33 1 3 当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 yk(x1)， 代入圆的方程 x2y24，整理得(1k2)x22k2xk240， 所以 x1x2，x1x2. 2k2 1k2 k24 1k2 又 k1k2， y1y2 （x 12）（x22） k2 （x 1x2x1x21） x1x22（x1x2）4 所以 k1k2k2 . k24 1k2 2k2 1k21 k24 1k2 4k2 1k24 1 3 综上，k1k2为定值 . 1 3