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1、随堂巩固训练随堂巩固训练(46) 1. 已知方程(2k)x2ky22kk2表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 _(1，2)_ 解析：由(2k)x2ky22kk2表示椭圆知，2kk20，所以1.因为方程表 x2 k y2 2k 示焦点在 x 轴上的椭圆，所以 k2k0，即 1a20，解得 0AB.根据椭圆的定义 可得，点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴为 8 的椭圆(长轴端点除外)，所以 2a8，2c4， 所以 a4，c2，可得 b2a2c212，故点 C 的轨迹方程为1(y0) x2 16 y2 12 8. 椭圆1 的左、 右焦点分别为 F1， F2， 点 P 在椭圆上
2、 若 PF14， 则 PF2_2_， x2 9 y2 2 F1PF2的大小为_120_ 解析 ： 由PF1PF26且PF14， 知PF22.在PF1F2中， cosF1PF2 PFPFF1F 2PF1PF2 ，所以F1PF2120. 1 2 9. 已知椭圆 C1与椭圆 C2：1 有相同的焦点， 椭圆 C1过点(， 1)， 则椭圆 C1 x2 9 y2 5 6 的标准方程为_1_ x2 8 y2 4 解析 ： 设椭圆 C1的方程为1， 则 a2b2954， 将点(， 1)代入 1， x2 a2 y2 b2 6 6 a2 1 b2 联立解得则椭圆 C1的标准方程为1. a2b24， 6 a2 1
3、b21，) a28， b24，) x2 8 y2 4 10. 椭圆1 上一点 P 到两个焦点的距离之积为 m，则当 m 取得最大值时，点 P x2 25 y2 9 的坐标是_(0，3)或(0，3)_ 解析 ： 由题意得 a5，b3，c4，由椭圆的定义得 PF1PF210，所以点 Pa2b2 到两焦点的距离之积 mPF1PF225，当且仅当 PF1PF25 时，等号成 1 2（PF 1PF2）2 立，m 有最大值为 25，此时点 P 的坐标为(0，3)或(0，3) 11. 已知椭圆的中心在原点， 焦点在坐标轴上， 长轴长是短轴长的 3 倍， 且过点 P(3， 2)， 求椭圆的方程 解析：当焦点在
4、 x 轴上时，设椭圆方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 则解得 2a3 2b， 9 a2 4 b21， ) a245， b25，) 所以椭圆的方程为1； x2 45 y2 5 当焦点在 y 轴上时，设椭圆方程为1(ab0)， y2 a2 x2 b2 则解得所以椭圆的方程为1. 2a3 2b， 9 b2 4 a21， ) a285， b285 9 ，) 9x2 85 y2 85 综上，椭圆的方程为1 或1. x2 45 y2 5 9x2 85 y2 85 12. 已知椭圆(m2)x2y2m(m0)的焦距 F1F2 . 6 (1) 求 m 的值及其焦点的坐标； (2) 椭圆上是否存在一点
5、 P，使得F1PF290？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由 解析：(1) 把椭圆方程化为1， x2 m m2 y2 m 因为 m0，所以 m.所以 a2m，b2， m m2 m m2 所以 c2a2b2m ， m m2( 6 2) 2 3 2 解得 m2 或 m (舍去)， 3 2 椭圆的焦点坐标为. (0， 6 2) (2) 由(1)知，椭圆方程为1，即 4x2y22. x2 1 2 y2 2 设点 P(x0，y0)，则有 4x y 2. 2 02 0 因为F1PF290，所以F1PF2为直角三角形， 所以 PO F1F2，所以 x y . 1 2 6 2 2 02 0 (
6、 6 2) 2 3 2 联立，解得 x0，y0， 6 6 2 3 3 所以存在 4 个符合条件的点 P， 即(， )， (，)， (， )， (，) 6 6 2 3 3 6 6 2 3 3 6 6 2 3 3 6 6 2 3 3 13. 已知椭圆 C：1(ab0)的长轴长为 4. x2 a2 y2 b2 (1) 若以原点为圆心、椭圆短半轴长度为半径的圆与直线 yx2 相切，求椭圆 C 的焦 点坐标； (2) 若 P 是椭圆 C 上的任意一点， 过原点的直线 l 与椭圆相交于 M， N 两点， 记直线 PM， PN 的斜率分别为 kPM，kPN，当 kPMkPN 时，求椭圆的方程 1 4 解析：
7、(1) 由题意得 b.又 2a4，所以 a2. 2 11 2 因为 c2a2b2422，所以两个焦点坐标为(，0)，(，0)22 (2) 由于过原点的直线 l 与椭圆相交的两点 M，N 关于坐标原点对称， 设点 M(x0，y0)，则点 N(x0，y0)，P(x，y) 由于点 M，N，P 在椭圆上，则 1，1. x a2 y b2 x2 a2 y2 b2 两式相减得. y2y x2x b2 a2 由题意可知直线 PM，PN 的斜率存在，则 kPM，kPN， yy0 xx0 yy0 xx0 kPMkPN ， yy0 xx0 yy0 xx0 y2y x2x b2 a2 1 4 由 a2 得 b1， 故所求椭圆的方程为y21. x2 4