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1、随堂巩固训练(51) 1. “点 M 在曲线 y24x 上”是“点 M 的坐标满足方程 y2”的 必要不充分 x 条件.(填“充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分又不必要”) 解析 ： 若点 M 在曲线 y24x 上，则 y2，即充分性不成立 ； 若 y2，则 y24xxx 成立，即必要性成立，故“点 M 在曲线 y24x 上”是“点 M 的坐标满足方程 y2”x 的必要不充分条件. 2. 在ABC 中，点 B，C 的坐标分别为(3，0)，(3，0)，且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方程是 1(x5) . x2 25 y2 16 解析：由题意可知 BC6，所以 ABAC10
2、，所以点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的 椭圆， 所以 c3， 2a10， 即 a5， 所以 b2a2c225916.又因为点 A 不能与点 B， C 在同一直线上，所以 x5，故点 A 的轨迹方程为1(x5). x2 25 y2 16 3. 动点P到点F(2， 0)的距离与它到直线x20的距离相等， 则点P的轨迹方程为 y2 8x . 解析 ： 由抛物线的定义知， 点 P 的轨迹是以 F 为焦点的抛物线， 其开口方向向右， 且 2， p 2 解得 p4，故其方程为 y28x. 4. 已知一条曲线 C 在 y 轴的右边，曲线 C 上一点到点 F(1，0)的距离减去它到 y 轴距 离的差都是
3、1，则曲线 C 的方程为 y24x . 解析：设 P(x，y)是曲线 C 上任意一点，那么点 P(x，y)满足x1(x0)，（x1）2y2 化简得 y24x(x0)，故曲线 C 是抛物线，其方程是 y24x. 5. 已知ABC 的两个顶点 A， B 分别是椭圆1 的左、 右焦点， 三个内角 A， B， C x2 25 y2 9 满足 sinAsinB sinC，则顶点 C 的轨迹方程是 1(x0，即抛物线 x216y，与双曲线1 有交点，满 x2 16 y2 9 足题意. 7. 已知曲线 y1与直线 yk(x2)4 有两个交点，则实数 k 的取值范围是 4x2 . ( 5 12， 3 4 解析
4、：由题意可知，直线 yk(x2)4 过定点 A(2，4)，曲线 y1的图象为4x2 以(0，1)为圆心，2 为半径的半圆.当直线与圆相切，C 为切点时，圆心到直线的距离 dr， 即2， |32k| k21 解得 k；当直线过 B 点时，斜率为 .则当直线与半圆有两个不同的交点 5 12 41 2（2） 3 4 时，由图可知实数 k 的取值范围是. ( 5 12， 3 4 8. 已知点 A(3，2)，B(1，4)，过 A，B 作两条互相垂直的直线 l1和 l2，则 l1和 l2 的交点 M 的轨迹方程为 (x1)2(y1)213 . 解析：设点 M(x，y)，由题意可知0，即(3x，2y)(1x
5、，4y)0，MA MB 化简整理可得(x1)2(y1)213. 9. 设 A1，A2是椭圆1 的长轴的两个端点，P1，P2是垂直于 A1A2的弦的端点， x2 9 y2 4 则直线 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程为 1 . x2 9 y2 4 解析 ： 设交点为点 P(x， y)， A1(3， 0)， A2(3， 0)， P1(x0， y0)， P2(x0， y0).因为点 A1， P1， P 共线，所以.因为点 A2，P2，P 共线，所以，解得 x0 ，y0， yy0 xx0 y x3 yy0 xx0 y x3 9 x 3y x 代入 1，化简得1. x 9 y 4 x2 9 y2 4
6、10. 设 O 为坐标原点，P 为直线 y1 上的动点，1，则点 Q 的轨迹OP OQ OP OQ 方程是 x2y2y0(y0) . 解析 ： 设点 P(a， 1)， Q(x， y)， 则由得 ayx， 即 a .由1 得 axy1，OP OQ x y OP OQ 将 a 代入得 x2y2y0(y0). x y 11. 过圆C： x2y24上一动点M作平行于x轴的直线m， 设直线m与y轴的交点为N， 若向量，求动点 Q 的轨迹方程.OQ OM ON 解析：设点 M(x0，y0)(y00)，Q(x，y)，则 N(0，y0)， 由，得 x0x，y0 .OQ OM ON y 2 因为 x y 4，所
7、以 x24(y0)， 2 02 0 y2 4 所以点 Q 的轨迹方程是1(y0). x2 4 y2 16 12. 如图所示，点 P 在圆 O： x2y24 上，PDx 轴，垂足为 D，点 M 在射线 DP 上， 且满足(0).DM DP (1) 当点 P 在圆 O 上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程，并根据 取值说明轨迹 C 的形 状； (2) 设轨迹 C 与 x 轴正半轴交于点 A， 与 y 轴正半轴交于点 B， 直线 2x3y0 与轨迹 C 交于点 E，F，点 G 在直线 AB 上且满足 6，求实数 的值.EG GF 解析：(1) 设点 M(x，y)，P(x0，y0)， 由于且 PDx
8、 轴，DM DP 所以即 xx0， yy0，) x0x， y0y .) 又点 P 在圆 O 上，所以1. x2 4 y2 42 当 01 时，轨迹 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆. (2) 由题设知点 A(2，0)，B(0，2)， 点 E，F 关于原点对称，所以设点 E，F，G，不妨设 x10. (x 1，2 3x 1) (x 1，2 3x 1) (x 2，2 3x 2) 直线 AB 的方程为 1， x 2 y 2 把点 G 的坐标代入得 x2. 6 32 又点 E 在轨迹 C 上，则有 1，解得 x1. x 4 x 92 6 924 因为 6，即 6(x2x1)x1x2，化简得 x2 x1，
9、EG GF 5 7 所以 (0)，解得 或 ， 6 32 5 7 6 924 1 2 8 9 故实数 的值为 或 . 1 2 8 9 13. 如图，已知椭圆1(ab0)，P 为其上一点，F1，F2为 x2 a2 y2 b2 椭圆的焦点， F1PF2的外角平分线为 l， F2关于直线 l 的对称点为 Q， F2Q 交直线 l 于点 R. (1) 当点 P 在椭圆上运动时，求点 R 的轨迹方程； (2) 设点 R 形成的曲线为 C， 直线 l： yk(xa)与曲线 C 相交于 A， B 两点， 当AOB2 的面积取得最大值时，求 k 的值. 解析：(1) 因为 F2关于 l 的对称点为 Q，连结
10、PQ， 所以F2PRQPR，F2RQR，PQPF2. 又因为l为F1PF2的外角平分线， 故点F1， P， Q在同一条直线上， 设点R(x0， y0)， Q(x1， y1)， F1(c，0)，F2(c，0). 因为 F1QF1PPQF1PPF22a， 则(x1c)2y (2a)2. 2 1 又由得 x0x 1c 2 ， y0y 1 2 ， ) x12x0c， y12y0，) 所以(2x0)2(2y0)2(2a)2，所以 x y a2， 2 02 0 故点 R 的轨迹方程为 x2y2a2(y0). (2) 因为 SAOB OAOBsinAOB sinAOB， 1 2 a2 2 所以当AOB90时，SAOB取最大值 a2. 1 2 此时弦 AB 的弦心距 da， | 2ak| 1k2 2 2 所以 k. 3 3