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1、随堂巩固训练(56) 1. 已知向量 a(1，2)，b(x，2)，且 a(ab)，则实数 x 9 . 解析 ： 由题意得 ab(1x， 4).因为 a(ab)， 所以(1x， 4)(1， 2)0， 即 1x80， 解得 x9. 2. 已知点 A(1， 2)， 若与 a(2， 3)同向， 且|2， 则点 B 的坐标为 (5， 4) .AB AB 13 解析：设点 B 的坐标为(x，y)，则(x1，y2).因为与 a 同向，所以可设AB AB AB a(0)，即(x1，y2)(2，3)，所以即又因为|2，所 x12， y23，) x21， y32.) AB 13 以(x1)2(y2)2(2)2(3
2、)2(2)2，解得 2 或 2(舍去)，所以 x5，y4，13 所以点 B 的坐标为(5，4). 3. 已知点 A(1，0)，B(0，2)，C(1，2)，则以 A，B，C 为顶点的平行四边形的第 四个顶点 D 的坐标为 (0，4)或(2，4)或(2，0) . 解析： 设顶点 D 的坐标为(x，y)，如下图所示.若平行四边形为 ABCD1，则.AB D1C 因为(1， 2)，(1x， 2y)， 所以解得AB D1C 11x， 22y，) x0， y4，) 即点 D1(0， 4)； 若平行四边形为 AD2BC， 则.因为(x1， y)，AD2 CB AD2 (1， 4)， 所以解得即点 D2(2，
3、4)； 若平行四边形为 ABD3C，则CB x11， y4，) x2， y4，) AC .因为(2， 2)，(x， y2)， 所以解得即点 D3(2， 0).BD3 AC BD3 x2， y22，) x2， y0，) 综上，点 D 的坐标为(0，4)或(2，4)或(2，0). 4. 已知 e1与 e2是两个不共线的向量，3e12e2，2e15e2，e1e2.若AB CB CD A，B，D 三点共线，则 8 . 解析：由题意得e1e2(2e15e2)(2)e14e2.因为 A，B，D 三点BD CD CB 共线， 所以存在实数 k， 使得k， 所以 3e12e2k(2)e14e2， 所以AB B
4、D k（2）3， 4k2，) 解得k 1 2， 8.) 5. 已知 D 是ABC 所在平面内一点，且满足()()0，则ABC 的BC CA BD AD 形状是 等腰三角形 . 解析：()()()0，所以，所以 acos BBC CA BD AD BC CA BA BC BA CA BA bcos A，利用余弦定理化简得 a2b2，即 ab，所以ABC 是等腰三角形. 6. 已知平面向量 a(2m1，3)，b(2，m)，且 a 与 b 反向，则|b| 2 . 2 解析 ： 因为 a 与 b 反向， 所以 a 与 b 共线， 所以 m(2m1)230， 解得 m2 或 m .当 m2 时， a(3
5、， 3)， b(2， 2)， a 与 b 反向， 此时|b|2； 当 m 时， a(4， 3)， b 3 2 2 3 2 ，a 与 b 同向，不合题意. (2， 3 2) 7. 设(1，2)，(a，1)，(b，0)(其中 a0，b0)，O 为坐标原点，OA OB OC 若 A，B，C 三点共线，则 ab 的最大值是 . 1 8 解析 ：(a1， 1)，(ba， 1).因为 A， B， C 三点共线，AB OB OA BC OC OB 所以，所以 a1ba，即 2ab1.因为 a0，b0，所以 12ab2，AB BC 2ab 即 ab ，当且仅当 2ab，即 a ，b 时等号成立，故 ab 的最
6、大值为 . 1 8 1 4 1 2 1 8 8. 在ABC 中，已知 a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，S 为ABC 的面积.若向 量 p(4，a2b2c2)，q(，S)，且满足 pq，则 C .3 3 解析：由 pq 得 4S(a2b2c2)，则 S(a2b2c2).由余弦定理得，cosC3 3 4 ，所以 S2abcosC.又 S absinC，所以2abcosC absinC，所以 tanC a2b2c2 2ab 3 4 1 2 3 4 1 2 .又 C(0，)，所以 C .3 3 9. 设(2，5)，(3，1)，(6，3)，在线段 OC 上存在点 M，使 MAMB，OA OB
7、 OC 则点 M 的坐标为 (2，1)或 . ( 22 5 ，11 5) 解析 ： 设t， t0， 1， 则(6t， 3t)， 即点 M 的坐标为(6t， 3t).因为OM OC OM MA OA (26t，53t)，(36t，13t).因为 MAMB，所以(26t，5OM MB OB OM MA MB 3t)(36t， 13t)0， 即 45t248t110， 解得 t 或 t， 故点 M 的坐标为(2， 1)或. 1 3 11 15 ( 22 5 ，11 5) 10. 已知 O、A、B 三点的坐标分别为 O(0，0)，A(3，0)，B(0，3)，且点 P 在线段 AB 上， t(0t1)，
8、则的最大值为 9 .AP AB OA OP 解析：()(t)t()(1t)|2OA OP OA OA AP OA OA AB OA OA OB OA OA t9(1t).因为 0t1，所以的最大值为 9.OA OB OA OP 11. 已知 a(1，2sin)，b. (sin( 3)，1) (1) 若 ab，且 R，求 tan 的值； (2) 若 ab，且 ，求 的值. (0， 2) 解析：(1) 因为 ab， 所以 ab0，所以 2sinsin0， ( 3) 即 sincos0. 5 2 3 2 若 cos 0，则显然不合题意，所以 cos0，所以 tan. 3 5 (2) 由 ab，得 2
9、sinsin1， ( 3) 即 (1cos2)sin21，整理得 sin . 1 2 3 2 (2 6) 1 2 又 ，所以 2 ， (0， 2) 6 ( 6， 5 6) 所以 2 ，即 . 6 6 6 12. 在边长为1的正三角形ABC中， E， F分别是边AB， AC上的点， 且m，nAE AB AF ，其中 m，n(0，1).设 EF 的中点为 M，BC 的中点为 N.AC (1) 若 A，M，N 三点共线，求证：mn； (2) 若 mn1，求|的最小值.MN 解析：(1) 由 A，M，N 三点共线，得，AM AN 设(0，1)，即 () ()，AM AN 1 2 AE AF 1 2 A
10、B AC 故 mn()，从而 mn.AB AC AB AC (2) 因为 () () (1m) (1n)，mnMN AN AM 1 2 AB AC 1 2 AE AF 1 2 AB 1 2 AC 1， 所以 (1m) m，MN 1 2 AB 1 2 AC 所以|2 (1m)2|2 m2|2 m(1m)MN 1 4 AB 1 4 AC 1 2 AB AC (1m)2 m2 m(1m) 1 4 1 4 1 4 ，m(0，1)， 1 4(m 1 2) 2 3 16 故当 m 时，|min. 1 2 MN 3 4 13. 已知|a|，ab5，cxa(1x)b.10|b|5 (1) 当 bc 时，求实数
11、 x 的值； (2) 当|c|取最小值时，求向量 a 与 c 的夹角的余弦值. 解析：(1) 因为 bc， 所以 bcbxa(1x)bxba(1x)b25x5(1x)0，解得 x . 1 2 (2) 因为 c2xa(1x)b2x2a22x(1x) ab(1x)2b210x210x(1x)5(x 1)225x220x5251， (x 2 5) 2 所以当 x 时，c2取得最小值为 1， 2 5 即当|c|取得最小值 1 时，c a b， 2 5 3 5 所以 aca a2 ab 10 (5)1. ( 2 5a 3 5b) 2 5 3 5 2 5 3 5 设向量 a，c 的夹角为 ， 则 cos. ac |a|c| 1 10 1 10 10