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1、随堂巩固训练(69) 1. 已知平面 平面 ， l， 点 A， Al， 直线 ABl， 直线 ACl， 直线 m， m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 .(填序号) ABm；ACm；AB；AC. 解析：因为 m，m，l，所以 ml.因为 ABl，所以 ABm， 故正确；因为 ml，ACl，所以 ACm，故正确；因为 ABl，l，AB，所 以 AB，故正确；当 Cl 时，AC；当 Cl 时，AC 与 不垂直，故不一定成立. 2. 不在平面内的直线 a，b 在 上的射影为相交直线，则 a 与 b 的位置关系为 相 交或异面 . 3. 设 m、n 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列
2、命题正确的是 .(填序号) 若 mn，n，则 m； 若 m，则 m； 若 m，n，n，则 m； 若 mn，n，则 m. 解析：m 与平面 可能平行、相交或 m 在平面 内；对于，若 m，n， 则 mn.又因为 n，所以 m. 4. 如果直线 a 与平面 不垂直，那么在平面 内与直线 a 垂直的直线有 无数 条. 解析：当直线 a平面 时，在平面 内有无数条直线与直线 a 是异面垂直直线；当直 线 a平面 时，在平面 内有无数条平行直线与直线 a 相交且垂直；直线 a 与平面 相交 但不垂直，在平面 内有无数条平行直线与直线 a 垂直. 5. 已知 a，b 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，
3、且 a，b，则下列命 题中假命题是 .(填序号) 若 ab，则 ； 若 ，则 ab； 若 a，b 相交，则 ， 相交； 若 ， 相交，则 a，b 相交. 解析 ： 因为 a，b 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，且 a，b，若 ab， 则 a 且 a，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得，故正确；若， 则 a 或 a，所以 ab，故正确 ； 若 a，b 相交，则 a，b 不平行，则 ， 也不平行， 则 ， 相交，故正确；若 ， 相交，则 a，b 既可以是相交直线，也可以是异面直线， 故错误. 6. 如图，空间中有两个正方形 ABCD 和 ADEF，设 M，N 分别是 BD 和 AE 的中点
4、， 那么以下四个命题中正确的个数是 3 . ADMN；MN平面 CDE；MNCE；MN，CE 是异面直线. 解析： 由ADDC，ADDE，易证AD平面CDE，所以ADCE.又MN是ACE 的中位线， 故 MNCE，所以 ADMN，因此正确；对于，因为 MNCE，从而可得 MN平面 CDE，正确；由可知错误. 7. 若 m，n 为两条不重合的直线， 为两个不重合的平面，给出下列命题： 若 m，n 都平行于平面，则 m，n 一定不是相交直线； 若 m，n 都垂直于平面 ，则 m，n 一定是平行直线； 已知 ， 互相垂直，m，n 互相垂直，若 m，则 n； 若 m，n 在平面 内的射影互相垂直，则
5、m，n 互相垂直. 其中假命题的序号是 . 解析：平行于同一平面的两条直线可以平行、相交或异面，为假命题；垂直于同一平 面的两条直线平行，为真命题；中 n 可以平行于平面 ，也可以在平面 内，为假命 题；中 m，n 也可以不相互垂直，为假命题. 8. 如图，PA 垂直于圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上 的一点，E，F 分别是点 A 在 PB，PC 上的射影，给出下列结论： AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC. 其中正确结论的序号是 . 解析：因为 PABC， BCAC， PAACA， PA， AC平面 PAC， BC 平面 PAC， 所以 BC平面 PA
6、C， 所以 BCAF， 故正确 ； 因为 AFPC， BCPCC， BC， PC平面 PCB， AF平面 PCB， 所以 AF平面 PCB， 所以 AFPB， 故正确 ； 因为 PBAE， AEAFA， AE， AF平面 AEF， PB平面 AEF， 所以 PB平面 AEF， 所以 PBEF， 故 正确；因为 AF平面 PCB，假设 AE平面 PBC，所以 AEAF，显然不成立，故错误. 9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，BDCD，正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂直，H 是 BE 的中点，G 是 AE，DF 的交点.求证： (1) GH平面 CDE； (2) BD平面 C
7、DE. 解析：(1) 由题意得 G 是 AE 的中点，H 是 BE 的中点， 所以 GHAB. 因为 ABCD，所以 GHCD. 又因为 CD平面 CDE，GH平面 CDE， 所以 GH平面 CDE. (2) 因为平面 ADEF平面 ABCD， 平面 ADEF平面 ABCDAD， EDAD，ED平面 ADEF， 所以 ED平面 ABCD. 又 BD平面 ABCD，所以 EDBD. 因为 BDCD，CDEDD，CD，DE平面 CDE， 所以 BD平面 CDE. 10. 如图， 在四棱锥 PABCD 中， ABDC， DC2AB， APAD， PBAC， BDAC， E 为 PD 的中点.求证：
8、(1) AE平面 PBC； (2) PD平面 ACE. 解析：(1) 取 PC 的中点 F，连结 EF，BF. 因为 E 为 PD 的中点， 所以 EFDC 且 EF DC. 1 2 因为 ABDC 且 AB DC， 1 2 所以 EFAB 且 EFAB， 所以四边形 ABFE 为平行四边形， 所以 AEBF. 因为 AE平面 PBC，BF平面 PBC， 所以 AE平面 PBC. (2) 因为 PBAC，BDAC，PBBDB，PB，BD平面 PBD， 所以 AC平面 PBD. 因为 PD平面 PBD，所以 ACPD. 因为 APAD，E 为 PD 的中点，所以 PDAE. 因为 AEACA，A
9、E，AC平面 ACE， 所以 PD平面 ACE. 11. 如图， ABC和BCD所在的平面互相垂直， 且ABBCBD2， ABCDBC 120，E，F，G 分别为 AC，DC，AD 的中点. (1) 求证：EF平面 BCG； (2) 求三棱锥 DBCG 的体积. 解析：(1) 由已知得ABCDBC， 所以 ACDC. 又 G 为 AD 的中点，所以 CGAD. 同理 BGAD. 又 BGCGG，BG，CG平面 BCG， 所以 AD平面 BGC. 又 E，F 分别为 AC，DC 的中点， 所以 EFAD， 所以 EF平面 BCG. (2) 在平面 ABC 内，作 AOBC，交 CB 的延长线于点
10、 O，如图. 因为平面 ABC平面 BCD， 平面 ABC平面 BDCBC，AO平面 ABC， 所以 AO平面 BDC. 又 G 为 AD 的中点，所以点 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半. 在AOB 中，AOABsin60，所以 h，3 3 2 所以 VDBCGVGBCD SDBCh BDBCsin120 . 1 3 1 3 1 2 3 2 1 2 思维升华 ： (1) 证明直线和平面垂直的常用方法 ： 判定定理 ； 垂直于 平面的传递性(ab，ab)；a，a；面面垂直的 性质. (2) 证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因 此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3) 线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.