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1、第第 3 讲 变量间的相关关系与统计案例讲 变量间的相关关系与统计案例 一、选择题 1.两个变量 y 与 x 的回归模型中， 分别选择了 4 个不同模型， 它们的相关指数 R2 如下，其中拟合效果最好的模型是( ) A.模型 1 的相关指数 R2为 0.98 B.模型 2 的相关指数 R2为 0.80 C.模型 3 的相关指数 R2为 0.50 D.模型 4 的相关指数 R2为 0.25 解析 相关指数 R2越大，拟合效果越好，因此模型 1 拟合效果最好. 答案 A 2.已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由xy 该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.
2、 0.4x2.3 B. 2x2.4y y C. 2x9.5 D. 0.3x4.4y y 解析 因为变量 x 和 y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项 C 和 D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标代入检验，A 满足. 答案 A 3.设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根 据一组样本数据(xi，yi)(i1，2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为 y 0.85x85.71，则下列结论中不正确的是( ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x，y) C.若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重
3、约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg 解析 0.850，y 与 x 正相关，A 正确； 回归直线经过样本点的中心(，)，B 正确；xy y0.85(x1)85.71(0.85x85.71)0.85， C 正确. 答案 D 4.通过随机询问 110 名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表 ： 男女总计 爱好402060 不爱好203050 总计6050110 由 K2算得， n（adbc）2 （ab）（cd）（ac）（bd） K27.8. 110 （40 3020 20）2 60 50 60 50 附表： P(K2k0)
4、0.0500.0100.001 k03.8416.63510.828 参照附表，得到的正确结论是( ) A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析 根据独立性检验的定义，由 K27.86.635，可知我们在犯错误的概率 不超过 0.01 的前提下， 即有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别有关”. 答案 A 5.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查
5、了该社区 5 户家 庭，得到如下统计数据表： 收入 x(万元)8.28.610.011.311.9 支出 y(万元)6.27.58.08.59.8 根据上表可得回归直线方程 x ，其中 0.76， ，据此估计，y b a b a yb x 该社区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为( ) A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 解析 由题意知，10，x 8.28.610.011.311.9 5 8，y 6.27.58.08.59.8 5 80.76100.4，a 当 x15 时， 0.76150.411.8(万元).y 答案 B 二、填空题 6.若 8
6、 名学生的身高和体重数据如下表： 编号12345678 身高/cm165165157170175165155170 体重/kg48575464614359 第 3 名学生的体重漏填，但线性回归方程是 0.849x85.712，则第 3 名学y 生的体重估计为_. 解析 设第 3 名学生的体重为 a，则 (4857a5464614359)0.849 (165165157170175 1 8 1 8 165155170)85.712.解之得 a50. 答案 50 7.(2017广州模拟)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随 机抽取 50 名学生，得到 22 列联表如下： 理科文科总
7、计 男131023 女72027 总计203050 已知 P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025. 根据表中数据，得到 K24.844，则认为选修 50 （13 2010 7）2 23 27 20 30 文理科与性别有关系出错的可能性约为_. 解析 由 K24.8443.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约 为 5%. 答案 5% 8.某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x()之间的关系， 随机统计了某 4 天的用 电量与当天气温，并制作了对照表： 气温()1813101 用电量(度)24343864 由表中数据得回归直线方程 x 中的 2，预测当气温为4
8、 时，y b a b 用电量约为_度. 解析 根据题意知 x10，y40，因 181310（1） 4 24343864 4 为回归直线过样本点的中心， 所以 40(2)1060， 所以当x4时， ya (2)(4)6068，所以用电量约为 68 度. 答案 68 三、解答题 9.(2017郑州调研)某地区 2009 年至 2015 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位： 千元)的数据如下表： 年份2009201020112012201320142015 年份代号 t1234567 人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9 (1)求 y 关于 t 的线性回归方程； (2)利用(1)
9、中的回归方程， 分析 2009 年至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯 收入的变化情况，并预测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， .b n i1 （ti）（yi） n i1 （ti t ）2 a y b t 解 (1)由所给数据计算得 (1234567)4，t 1 7 (2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，y 1 7 (ti )2941014928， 7 i1 t (ti )(yi)(3)(1.4)(2)(1) 7 i1 ty (1)(0.7)00.110.520.931.614， 0.5，b 7 i1 （t
10、i）（yi） 7 i1 （ti）2 14 28 4.30.542.3，所求回归方程为 0.5t2.3.a yb t y (2)由(1)知， 0.50， 故 2009 至 2015 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐b 年增加，平均每年约增加 0.5 千元. 将 2017 年的年份代号 t9 代入(1)中的回归方程，得 0.592.36.8，y 故预测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. 10.(2017西安质检)某省会城市地铁将于 2017 年 6 月开始运营，为此召开了一 个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了 50 人，他们的收 入与态度如下： 月收入(
11、单位： 百元) 15，25)25，35)35，45)45，55)55，65)65， 75 赞成定价 者人数 123534 认为价格偏 高者人数 4812521 (1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成 定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留 2 位小 数)； (2)由以上统计数据填下面 22 列联表分析是否有 99%的把握认为“月收入 以 55 百元为分界点对地铁定价的态度有差异”. 月收入不低于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 总计 认为价格偏高者 赞成定价者 总计 附：K2 n（adbc）2 （ab）（cd）（ac）（b
12、d） P(K2k0)0.050.01 k03.8416.635 解 (1)“赞成定价者”的月平均收入为 x150.56. 20 130 240 350 560 370 4 123534 “认为价格偏高者”的月平均收入为 x238.75， 20 430 840 1250 560 270 1 4812521 “赞成定价者” 与 “认为价格偏高者” 的月平均收入的差距是 x1x250.56 38.7511.81(百元). (2)根据条件可得 22 列联表如下： 月收入不低于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 总计 认为价格偏高者32932 赞成定价者71118 总计104050 K26
13、.270， 0 B. 0， 0 D. 0.故 0， 5.024. 50（22 128 8）2 30 20 20 30 推断犯错误的概率不超过 0.025. 答案 0.025 14.(2015全国卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费， 需了解年宣 传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响，对 近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到 下面的散点图及一些统计量的值. 表中 wi，wwi.xi 1 8 8 i1 (1)根据散点图判断， yabx 与 ycd哪一个适宜作为年销售量 y 关于年x 宣传费 x 的回归方
14、程类型(给出判断即可，不必说明理由)? (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z0.2yx.根据(2)的结果回答下 列问题： 年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线 vu 的 斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， n i1 （ui）（vi） n i1 （ui）2 v u 解 (1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的x 回归方程类型. (2)
15、令 w，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于x 68，d 8 i1 （wi）（yi） 8 i1 （wi）2 108.8 1.6 y563686.8100.6，c d w 所以y关于w的线性回归方程为 100.668w， 因此y关于x的回归方程为 y y 100.668.x (3)由(2)知，当 x49 时，年销售量 y 的预报值 100.668576.6，y 49 年利润 z 的预报值 576.60.24966.32.z 根据(2)的结果知，年利润 z 的预报值 0.2(100.668)xx13.620.12.z xx 所以当6.8，即 x46.24 时， 取得最大值.x 13.6 2 z 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.