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1、第第 6 讲 几何概型讲 几何概型 一、选择题 1.在区间2，3上随机选取一个数 x，即 x1，故所求的概率为( ) A. B. C. D. 4 5 3 5 2 5 1 5 解析 在区间2，3上随机选取一个数 x，且 x1，即2x1，故所求的 概率为 P . 3 5 答案 B 2.如图所示，半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆 中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是 ，则阴影部分的 1 3 面积是 ( ) A. B. C.2 D.3 3 解析 设阴影部分的面积为 S，且圆的面积 S329.由几何概型的概 率，得 ，则 S3. S S 1 3 答案 D 3.(2015山东卷)在
2、区间0， 2上随机地取一个数 x， 则事件 “1log1” 1 2( x1 2) 发生的概率为( ) A. B. C. D. 3 4 2 3 1 3 1 4 解析 由1log1，得 x 2， 1 2( x1 2) 1 2 1 2 解得 0x ，所以事件“1log1”发生的 3 2 1 2( x1 2) 概率为 ，故选 A. 3 2 2 3 4 答案 A 4.(2017东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中， 其中 AB2，BC1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( ) A. B. C. D. 2 4 6 8 解析 设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A
3、，则 P(A) 阴影面积 长方形面积 . 1 2 1 2 1 2 4 答案 B 5.在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正 方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P， 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率 为( ) A. B.1 C. D.1 12 12 6 6 解析 设“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A. 则事件 A 发生时，点 P 位于以点 O 为球心，以 1 为半径的半球的外部. V正方体238，V半球 13 . 4 3 1 2 2 3 P(A)1. 232 3 23 12 答案 B 6.已知ABC中， ABC
4、60， AB2， BC6， 在BC上任取一点D， 则使ABD 为钝角三角形的概率为( ) A. B.C. D. 1 6 1 3 1 2 2 3 解析 如图，当 BE1 时，AEB 为直角，则点 D 在线段 BE(不包含 B，E 点)上时，ABD 为钝角三角形；当 BF4 时，BAF 为直角，则点 D 在线段 CF(不包含 C，F 点)上时，ABD 为钝角 三角形.所以ABD 为钝角三角形的概率为 . 12 6 1 2 答案 C 7.设不等式组表示的平面区域为D， 在区域D内随机取一个点， 0 x 2， 0 y 2) 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( ) A. B. C. D. 4 2
5、 2 6 4 4 解析 如图所示， 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区 域 D， 且区域 D 的面积为 4，而阴影部分表示的是区域 D 内到 原点距离大于 2 的区域，易知该阴影部分的面积为 4，因 此满足条件的概率是.故选 D. 4 4 答案 D 8.(2017华师附中联考)在区间0，4上随机取两个实数 x，y，使得 x2y8 的 概率为( ) A. B. C. D. 1 4 3 16 9 16 3 4 解析 由 x，y0，4知(x，y)构成的区域是边长为 4 的 正方形及其内部，其中满足 x2y8 的区域为如图所示 的阴影部分. 易知 A(4，2)，S正方形16， S阴影12.故
6、“使得 x2y8”的概率 P . （24） 4 2 S阴影 S正方形 3 4 答案 D 9.已知正三棱锥 SABC 的底面边长为 4，高为 3，在正三棱锥内任取一点 P， 使得 VPABC VSABC的概率是( ) 1 2 A. B. C. D. 7 8 3 4 1 2 1 4 解析 当点 P 到底面 ABC 的距离小于 时， 3 2 VPABC VSABC. 1 2 由几何概型知，所求概率为 P1 . ( 1 2) 3 7 8 答案 A 10.设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx 的概率为( ) A. B. C. D. 3 4 1 2 1 2 1 1 2 1 1 4 1
7、2 解析 因为复数 z(x1)yi(x，yR)且|z|1，所以|z| 1，即(x1)2y21，（x1）2y2 即点(x，y)在以(1，0)为圆心、1 为半径的圆及其内部，而 yx 表示直线 yx 左上方的部分(图中阴影弓形)， 所以所求概率为弓形的面积与圆 的面积之比，即 P . 1 41 21 2 1 1 12 1 4 1 2 答案 D 二、填空题 11.在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，则 m 5 6 _. 解析 由|x|m，得mxm. 当 m2 时，由题意得 ，解得 m2.5，矛盾，舍去. 2m 6 5 6 当 2m4 时，由题意得 ，解得 m3. m（
8、2） 6 5 6 答案 3 12.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，有一动 点在此长方体内随机运动， 则此动点在三棱锥 A A1BD 内的概率为_. 解析 因为 VAA1BDVA1ABD AA1S 1 3 ABD AA1S矩形 ABCD V长方体，故所求概率为 . 1 6 1 6 VAA1BD V长方体 1 6 答案 1 6 13.(2016山东卷)在1， 1上随机地取一个数 k， 则事件 “直线 ykx 与圆(x5)2 y29 相交”发生的概率为_. 解析 直线 ykx 与圆(x5)2y29 相交的充要条件是圆心(5， 0)到直线 ykx 的距离小于 3. 则3，解之得 k ，故所
9、求事件的概率 P . |5k0| k21 3 4 3 4 3 4( 3 4) 1（1） 3 4 答案 3 4 14.(2017唐山模拟)如图， 将半径为 1 的圆分成相等的四段弧， 再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投 一点，此点落在星形区域内的概率为_. 解析 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于( )244，又因为圆的面积等于12，2 ( 1 4 121 2 12) 因此所求的概率等于1. 4 4 答案 1 4 15.在区间1，4内取一个数 x，则 2xx2 的概率是( ) 1 4 A. B. C. D. 1 2 1 3 2 5 3 5 解析 由 2xx2 ，得1
10、x2.又1x4. 1 4 所求事件的概率 P . 2（1） 4（1） 3 5 答案 D 16.如图， “天宫一号” 运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小 圆的半径为 2 km， 大圆的半径为 4 km，卫星 P 在圆环内无规 则地自由运动，运行过程中， 则点 P 与点 O 的距离小于 3 km 的概率为( ) A. B.C. D. 1 12 5 12 1 3 1 5 解析 根据几何概型公式，小于 3 km 的圆环面积为(3222)5；圆环总 面积为(4222)12，所以点 P 与点 O 的距离小于 3 km 的概率为 P(A) . 5 12 5 12 答案 B 17.已知平面区域 D(x，y)|
11、1x1，1y1，在区域 D 内任取一点， 则取到的点位于直线 ykx(kR)下方的概率为( ) A. B. C. D. 1 2 1 3 2 3 3 4 解析 由题设知，区域 D 是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直 线 ykx 将其面积平分，如图，故所求概率为 . 1 2 答案 A 18.(2017长春质检)在区间0，上随机取一个实数 x，使得 sin x的概 0， 1 2 率为( ) A. B. C. D. 1 2 1 3 2 3 解析 由 0sin x ，且 x0， 1 2 解之得 x. 0， 6 5 6， 故所求事件的概率 P . ( 5 6)( 6 0) 0 1 3 答案 C
12、 19.(2017成都诊断)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角 三角形围成一 个小正方形， 直角三角形的较短边长为 3， 向大正 方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率 为( ) A. B.C. D. 1 17 2 17 3 17 4 17 解析 大正方形的面积是 34，大正方形的边长是，由直角三角形的较34 短边长为 3，得四个全等直角三角形的直角边分别是 5 和 3，则小正方形边长 为 2，面积为 4，小花朵落在小正方形内的概率为 P. 4 34 2 17 答案 B 20.有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心， 在这个圆柱内随机取
13、一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( ) A. B. C. D. 2 3 1 3 8 9 4 解析 V圆柱2，V半球 13 ， ，故点 P 到 O 的距离大 1 2 4 3 2 3 V半球 V圆柱 1 3 于 1 的概率为 . 2 3 答案 A 21.(2015湖北卷)在区间0，1上随机取两个数 x，y，记 p1为事件“xy ” 1 2 的概率，p2为事件“xy ”的概率，则( ) 1 2 A.p1p2 B.p2 p1 1 2 1 2 C. p2p1 D.p1 p2 1 2 1 2 解析 (x， y)构成的区域是边长为 1 的正方形及其内部， 其中满足 xy 的区 1 2
14、域如图 1 中阴影部分所示， 所以 p1 ， 满足 xy 的区域如图 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 8 1 2 中阴影部分所示，所以 p2 ， S1S2 1 1 1 2S 2 1 1 2 所以 p1 p2，故选 D. 1 2 答案 D 22.在区间， 内随机取出两个数分别记为a， b， 则函数f(x)x22axb2 2有零点的概率为( ) A.1 B.1 8 4 C.1 D.1 2 3 4 解析 由函数 f(x)x22axb22有零点， 可得 (2a2) 4(b22)0， 整理得 a2b22， 如图所示， (a， b)可看成 坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为 (a，b)|
15、a，b，其面积 S(2)242. 事件 A 表示函数 f(x)有零点， 所构成的区域为 M(a， b)|a2b22， 即图中阴影部分， 其面积为 SM42 3，故 P(A)1. SM S 423 42 4 答案 B 23.(2017安徽江南名校联考)AB 是半径为 1 的圆的直径，M 为直径 AB 上任意 一点，过点 M 作垂直于直径 AB 的弦，则弦长大于的概率是_.3 解析 依题意知， 当相应的弦长大于时， 圆心到弦的距离小于 ，312( 3 2) 2 1 2 因此相应的点 M 应位于线段 AB 上与圆心的距离小于 的地方， 所求的概率等于 1 2 . 1 2 答案 1 2 24.一只蜜蜂
16、在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行， 若蜜蜂在飞行过程中始终保 持与正方体 6 个表面的距离均大于 1， 称其为 “安全飞行” ， 则蜜蜂 “安全飞行” 的概率为_. 解析 由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正方体内飞行，结合几 何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为 P. 13 33 1 27 答案 1 27 25.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若 此点到圆心的距离大于 ，则周末去 1 2 看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周 1 4 末不在家看书的概率为_. 解析 去看电影的概率 P1 ， 12 （1 2） 2 12 3 4 去打篮球的概率 P2， （1 4） 2 12 1 16 不在家看书的概率为 P . 3 4 1 16 13 16 答案 13 16 26.随机地向半圆 0y(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域2axx2 的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于的概 4 率为_. 解析 由 0y(a0).2axx2 得(xa)2y2a2. 因此半圆域如图所示. 设 A 表示事件 “原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于” ，由几何概型的概率 计 4 算公式得 P(A) . A的面积 半圆的面积 1 4a 21 2a 2 1 2a 2 1 2 1 答案 1 2 1