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1、阶段自测卷阶段自测卷(二二) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1(2019沈阳东北育才学校联考)已知曲线 yf(x)在 x5 处的切线方程是 yx5，则 f(5) 与 f(5)分别为( ) A5，1 B1,5 C1,0 D0，1 答案 D 解析 由题意可得 f(5)550，f(5)1，故选 D. 2已知函数 f(x)xsin xax，且 f1，则 a 等于( ) ( 2) A0 B1 C2 D4 答案 A 解析 f(x)sin xxcos xa，且 f1， ( 2) sin cos a1，即 a0. 2 2 2 3 (
2、2019淄博期中)若曲线 ymxln x 在点(1， m)处的切线垂直于 y 轴， 则实数 m 等于( ) A1 B0 C1 D2 答案 A 解析 f(x)的导数为 f(x)m ，曲线 yf(x)在点(1，m)处的切线斜率为 km10，可 1 x 得 m1.故选 A. 4已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x) fn(x)，nN*，则 f2 020(x)等于( ) Asin xcos x Bsin xcos x Csin xcos x Dsin xcos x 答案 B 解析 f1(x)sin xcos x，
3、f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x， f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos xf1(x)，fn(x)是以 4 为周期的 函数， f2 020(x)f4(x)sin xcos x，故选 B. 5 (2019四川诊断)已知函数 f(x)的导函数为 f(x)， 且满足 f(x)2xf(e)ln x(其中 e 为自然 对数的底数)，则 f(e)等于( ) A1 B1 Ce De1 答案 D 解析 已知 f(x)2xf(e)ln x， 其导数 f(x)2f(e) ，令 xe， 1 x 可得 f(e)2f(e) ，变
4、形可得 f(e) ，故选 D. 1 e 1 e 6函数 y x2ln x 的单调递减区间为( ) 1 2 A(1,1 B(0,1 C1，) D(0，) 答案 B 解析 由题意知，函数的定义域为(0，)，又由 yx 0，解得 00， ( 4，0 故 g(x)maxmax0，则 a0. g( 2) ，g0 故选 D. 9.(2019河北衡水中学调研)如图所示，某几何体由底面半径和高均为 5 的圆柱与半径为 5 的 半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆 柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( ) A. B. C81 D128 2 000 9 4 000 2
5、7 答案 B 解析 小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为 5，下部分深入底部半球内设为 h(0g(0)g(1)， e1f(1)0)有 极大值 9. (1)求 m 的值； (2)若斜率为5 的直线是曲线 yf(x)的切线，求此直线方程 解 (1)f(x)3x22mxm2(xm)(3xm)0， 令 f(x)0，则 xm 或 x m， 1 3 当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表： x(，m)m (m， 1 3m) m 1 3 ( 1 3m，) f(x)00 f(x)增极大值减极小值增 从而可知，当 xm 时，函数 f(x)取得极大值 9， 即 f(m)m3m3m319，m
6、2. (2)由(1)知，f(x)x32x24x1， 依题意知 f(x)3x24x45， x1 或 x ， 1 3 又 f(1)6，f， ( 1 3) 68 27 所以切线方程为 y65(x1)或 y5， 68 27 (x 1 3) 即 5xy10 或 135x27y230. 18(12 分)(2019成都七中诊断)已知函数 f(x)xsin x2cos xax2，其中 a 为常数 (1)若曲线 yf(x)在 x 处的切线斜率为2，求该切线的方程； 2 (2)求函数 f(x)在 x0，上的最小值 解 (1)求导得 f(x)xcos xsin xa， 由 fa12，解得 a1. ( 2) 此时 f
7、2，所以该切线的方程为 ( 2) y22，即 2xy20. (x 2) (2)对任意 x0，f(x)xsin x0， 所以 f(x)在0，内单调递减 当 a0 时，f(x)f(0)a0， f(x)在区间0，上单调递减，故 f(x)minf()a. 当 a 时，f(x)f()a0， f(x)在区间0，上单调递增，故 f(x)minf(0)4. 当 00，f()a0，得 10 时，由 f(x)0，得 0， 1 2a 函数 f(x)在上单调递增， (0， 1 2a) 在上单调递减 ( 1 2a，) 当 a0，得 0 ， 1 a 函数 f(x)在上单调递增，在上单调递减. (0， 1 a) ( 1 a
8、，) (2)当 a0 时，函数 f(x)在内有 1 个零点 x01; (0，1 当 a0 时，由(1)知函数 f(x)在上单调递增，在上单调递减 (0， 1 2a) ( 1 2a，) 若1， 即 0 时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，要使函数 f(x)在(0,1 1 2a 1 2 (0， 1 2a) ( 1 2a，1 内至少有 1 个零点，只需满足 f0，即 ln ， ( 1 2a) 1 2a 3 4 又a ，ln 0，知函数 f(x)在(0,1内有 1 个零点； 若 00，于是 h(x)2ex2x 在(0，)上为增函数， 所以 h(x)2ex2xh(0)20，即 f(x)2ex2x0
9、在(0，)上恒成立， 从而 f(x)2exx2在(0，)上为增函数， 故 f(x)2exx2f(0)2. (2)函数 f(x)有两个极值点 x1，x2，则 x1，x2是 f(x)kex2x0 的两个根，即方程 k有 2x ex 两个根， 设 (x)，则 (x)， 2x ex 22x ex 当 x0，函数 (x)单调递增且 (x)0，函数 (x)单调递增且 (x)0； 当 x1 时，(x)0. 作出函数 (x)的图象如图所示， 要使方程 k有两个根，只需 0k(1) ， 2x ex 2 e 故实数 k 的取值范围是，又可知函数 f(x)的两个极值点 x1，x2满足 0x11x2， (0， 2 e) 由 f(x1)2x10 得 k， 1 exk 1 1 2 ex x 所以 f(x1)x x x 2x1 1 exk 2 1 1 1 2 ex x 1 ex 2 12 1 (x11)21， 由于 x1(0,1)，所以 0(x11)211， 所以 0f(x1)1.