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1、第第 6 讲 空间向量及其运算讲 空间向量及其运算 一、选择题 1.(2017黄冈模拟)已知向量 a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且 ab， 则实数 m 的值等于( ) A. B.2C.0 D. 或2 3 2 3 2 解析 ab， ，解得 m2. 2m1 2 3 m m1 m 答案 B 2.(2017海南模拟)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为棱 AA1和 BB1的 中点，则 sin，的值为( )CM D1N A. B.C. D. 1 9 4 5 9 2 5 9 2 3 解析 如图，设正方体棱长为 2，则易得(2，2，1)，(2，2，CM D1N 1)， cos
2、 ， ，sin，CM D1N CM D1N |CM |D1N | 1 9 CM D1N .1(1 9) 2 4 5 9 答案 B 3.空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等，E 是 BC 的中点，那么( ) A.AE BC AE CD B.AE BC AE CD C.AE BC AE CD D.与的大小不能比较AE BC AE CD 解析 取 BD 的中点 F， 连接 EF， 则 EF 綉 CD， 因为 ， ， 90 1 2 AE EF AE CD ，因为0，0，所以.AE BC AE CD AE BC AE CD 答案 C 4.已知向量 a(1，1，0)，b(1，0，2)，且 kab 与
3、 2ab 互相垂直，则 k 的值是( ) A.1 B. C. D. 4 3 5 3 7 5 解析 由题意得， kab(k1， k， 2)， 2ab(3， 2， 2).所以(kab)(2ab) 3(k1)2k225k70，解得 k . 7 5 答案 D 5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a， 点E， F分别是BC， AD 的中点，则的值为( )AE AF A.a2 B. a2 C. a2 D.a2 1 2 1 4 3 4 解析 如图，设a，b，c，AB AC AD 则|a|b|c|a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60. (ab)， c，AE 1 2 AF 1 2 (ab)
4、 cAE AF 1 2 1 2 (acbc) (a2cos 60a2cos 60) a2. 1 4 1 4 1 4 答案 C 二、填空题 6.已知 2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以 b，c 为方向向量的两直线的夹角为_. 解析 由题意得，(2ab)c0102010. 即 2acbc10，又ac4，bc18， cosb，c ， bc |b|c| 18 12 144 1 2 b，c120，两直线的夹角为 60. 答案 60 7.正四面体 ABCD 的棱长为 2， E， F 分别为 BC， AD 中点， 则 EF 的长为_. 解析 |2()2EF EC CD DF
5、2222( )EC CD DF EC CD EC DF CD DF 1222122(12cos 120021cos 120) 2， |，EF 的长为.EF 22 答案 2 8.(2017南昌调研)已知空间四边形 OABC， 其对角线为 OB， AC， M， N 分别是 OA， BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且2，现用基底， ，表示向量MG GN OA OB OC ，有xyz，则 x，y，z 的值分别为_.OG OG OA OB OC 解析 OG OM MG 1 2OA 2 3MN () 1 2OA 2 3 ON OM 1 2OA 2 3 1 2（OB OC ）1 2OA ， 1 6O
6、A 1 3OB 1 3OC x ，y ，z . 1 6 1 3 1 3 答案 ， 1 6 1 3 1 3 三、解答题 9.已知空间中三点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设 a，bAB .AC (1)若|c|3，且 c，求向量 c.BC (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值. 解 (1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，BC BC cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，BC |c|3|m|3，（2m）2（m）2（2m）2 m1.c(2，1，2)或(2，1，2). (2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1， 又|a
7、|，|b|，1212022（1）202225 cosa，b， ab |a|b| 1 10 10 10 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为. 10 10 10.如图，在棱长为 a 的正方体 OABCO1A1B1C1中，E，F 分别是棱 AB，BC 上的动点， 且 AEBFx， 其中 0xa， 以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. (1)写出点 E，F 的坐标； (2)求证：A1FC1E； (3)若 A1，E，F，C1四点共面，求证：.A1F 1 2A 1C1 A1E (1)解 E(a，x，0)，F(ax，a，0). (2)证明 A1(a，0，a)，C1(0，a，a)， (x，a，a
8、)，(a，xa，a)，A1F C1E axa(xa)a20，A1F C1E ，A1FC1E.A1F C1E (3)证明 A1，E，F，C1四点共面， ，共面.A1E A1C1 A1F 选与为在平面 A1C1E 上的一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使A1E A1C1 12，A1F A1C1 A1E 即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a) (a1，a1x2，a2)， xa1， aa1x2， aa2，) 解得 1 ，21.于是. 1 2 A1F 1 2A 1C1 A1E 11.在空间四边形 ABCD 中，( )AB CD AC DB AD BC A.1 B.0 C.1 D.不确定
9、解析 如图，令a，b，c，则AB AC AD AB CD AC DB AD BC a(cb)b(ac)c(ba) acabbabccbca0. 答案 B 12.若a，b，c是空间的一个基底，且向量 pxaybzc，则(x，y，z)叫向量 p 在基底a，b，c下的坐标. 已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一 向量 p 在基底a，b，c下的坐标为(4，2，3)，则向量 p 在基底ab，ab，c 下的坐标是( ) A.(4，0，3) B.(3，1，3) C.(1，2，3) D.(2，1，3) 解析 设 p 在基底ab，ab，c下的坐标为 x，y，z.则 px(ab)y
10、(ab)zc(xy)a(xy)bzc， 因为 p 在a，b，c下的坐标为(4，2，3)， p4a2b3c， 由得 xy4， xy2， z3， ) x3， y1， z3，) 即 p 在ab，ab，c下的坐标为(3，1，3). 答案 B 13.(2017郑州调研)已知 O 点为空间直角坐标系的原点，向量(1，2，3)，(2，OA OB 1，2)，(1，1，2)，且点 Q 在直线 OP 上运动，当取得最小值时，OP QA QB 的坐标是_.OQ 解析 点 Q 在直线 OP 上，设点 Q(，2)， 则(1，2，32)，(2，1，22)，QA QB (1 )(2 ) (2 )(1 ) (3 2)(2 2
11、) 62 16 10 6QA QB .即当 时，取得最小值 .此时. ( 4 3) 2 2 3 4 3 QA QB 2 3 OQ ( 4 3， 4 3， 8 3) 答案 (4 3， 4 3， 8 3) 14.如图所示， 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等 于 1， 点 E， F， G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算： (1)；(2)EG 的长；EF BA (3)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值. 解 设a，b，c.AB AC AD 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， (1) c a，a，bc，EF 1 2BD 1 2 1 2 BA DC (a) a2 ac ，EF BA ( 1 2c 1 2a) 1 2 1 2 1 4 (2) aba c bEG EB BC CG 1 2 1 2 1 2 a b c， 1 2 1 2 1 2 |2 a2 b2 c2 ab bc ca ，EG 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 则|.EG 2 2 (3) b c，b a，AG 1 2 1 2 CE CA AE 1 2 cos， ，AG CE AG CE |AG |CE | 2 3 由于异面直线所成角的范围是， (0， 2 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 . 2 3