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1、第第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1.(2015湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若 p： l1，l2是异面直线 ； q： l1，l2 不相交，则( ) A.p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 解析 直线 l1，l2是异面直线，一定有 l1与 l2不相交，因此 p 是 q 的充分条件 ； 若 l1与 l2不相交，那么 l1与 l2可能平行，也可能是异面直线，所以 p 不是 q
2、的 必要条件.故选 A. 答案 A 2.(2017郑州联考)已知直线 a 和平面 ，l， a， a， 且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( ) A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 解析 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，选 D. 答案 D 3.给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公 共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定 1 个或 3 个平面.其中 正确的序号是( ) A. B. C. D. 解析 显然命题正确. 由于三棱柱的三条平行棱不共面，错. 命题中，两
3、个平面重合或相交，错. 三条直线两两相交，可确定 1 个或 3 个平面，则命题正确. 答案 B 4.(2017济南模拟)a，b，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是 ( ) A.若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面 B.若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交 C.若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等 D.若 ab，bc，则 ac 解析 若直线 a， b 异面， b， c 异面， 则 a， c 相交、 平行或异面 ； 若 a， b 相交， b， c 相交，则 a，c 相交、平行或异面 ； 若 ab，bc，则 a，c 相交、平行或异面 ； 由异面直
4、线所成的角的定义知 C 正确.故选 C. 答案 C 5.已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CC1的中点，那么异面 直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 4 5 3 5 2 3 5 7 解析 连接 DF，则 AEDF， D1FD 为异面直线 AE 与 D1F 所成的角. 设正方体棱长为 a， 则 D1Da，DFa，D1Fa， 5 2 5 2 cosD1FD . ( 5 2 a)2 ( 5 2 a)2 a2 2 5 2 a 5 2 a 3 5 答案 B 二、填空题 6.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M， N 分别为棱 C
5、1D1， C1C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 MN 与 AC 所成的角为 60. 其中正确的结论为_(填序号). 解析 A，M，C1三点共面，且在平面 AD1C1B 中，但 C平面 AD1C1B，C1AM， 因此直线AM与CC1是异面直线， 同理AM与BN也是异面直线， 错 ； M， B， B1 三点共面， 且在平面 MBB1中， 但 N平面 MBB1， BMB1， 因此直线 BN 与 MB1 是异面直线，正确；连接 D1C，因为 D1CMN，所以直线 MN 与 AC 所成的 角就是
6、 D1C 与 AC 所成的角，且角为 60. 答案 7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 ABCD，则直 线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_. 解析 取CD的中点H， 连接EH， FH.在正四面体CDEF中， 由于CDEH， CD HF， 且 EHFHH， 所以 CD平面 EFH， 所以 AB平面 EFH， 则平面 EFH 与正方体的左右两侧面平行，则 EF 也与之平行，与其余四个平面相交. 答案 4 8.(2014全国卷改编)直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N 分别 是 A1B1， A1C1的中点， BCCACC1， 则 BM 与 AN
7、 所成角的余弦值为_. 解析 如图所示，取 BC 中点 D，连接 MN，ND，AD. M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点， MN 綉 B1C1.又 BD 綉 B1C1， 1 2 1 2 MN 綉 BD， 则四边形 BDNM 为平行四边形，因此 NDBM， AND 为异面直线 BM 与 AN 所成的角(或其补角). 设 BC2，则 BMND，AN，AD，655 在ADN 中，由余弦定理得 cosAND. ND2AN2AD2 2NDAN 30 10 故异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为. 30 10 答案 30 10 三、解答题 9.如图所示， 正方体 ABCDA1B1C1D1中，
8、M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点.问 ： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由. 解 (1)AM，CN 不是异面直线.理由：连接 MN，A1C1，AC. 因为 M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点，所以 MNA1C1. 又因为 A1A 綉 C1C，所以四边形 A1ACC1为平行四边形， 所以 A1C1AC，所以 MNAC， 所以 A，M，N，C 在同一平面内， 故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)直线 D1B 和 CC1是异面直线. 理由 ： 因为 ABCDA1B1C1D1是正方体，所以 B，C，C1，D1不共
9、面.假设 D1B 与 CC1不是异面直线， 则存在平面 ，使 D1B平面 ，CC1平面 ， 所以 D1，B，C，C1， 这与 B，C，C1，D1不共面矛盾.所以假设不成立， 即 D1B 和 CC1是异面直线. 10.(2017成都月考)如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA 底面ABC， D是PC的中点.已知BAC， AB2， AC2 2 ，PA2.求：3 (1)三棱锥 PABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值. 解 (1)SABC 222， 1 2 33 三棱锥 PABC 的体积为 V SABCPA 22 . 1 3 1 3 3 4 3 3 (2)如图，取 PB 的
10、中点 E， 连接 DE， AE， 则 EDBC，所以 ADE 是异面直线 BC 与 AD 所成的角(或其补角). 在ADE 中，DE2，AE，AD2，2 cosADE . 22222 2 2 2 3 4 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 . 3 4 11.以下四个命题中， 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则点 A，B，C，D，E 共面 ； 若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( ) A.0 B.1C.2 D.3 解析 假设其中有三点共线，则该直线
11、和直线外的另一点确定一个平面，这 与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确.从条件看出两平面 有三个公共点 A，B，C，但是若 A，B，C 共线，则结论不正确；不正确； 不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形. 答案 B 12.若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1l2，l2l3，l3l4，则 下列结论一定正确的是( ) A.l1l4B.l1l4 C.l1与 l4既不垂直也不平行D.l1与 l4的位置关系不确定 解析 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，记 l1DD1，l2DC，l3 DA.若 l4AA1， 满足 l1l2，
12、l2l3，l3l4，此时 l1l4，可以 排除选项 A 和 C. 若取 C1D 为 l4，则 l1与 l4相交；若取 BA 为 l4，则 l1与 l4异 面；取 C1D1为 l4， 则 l1与 l4相交且垂直. 因此 l1与 l4的位置关系不能确定. 答案 D 13.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂 直， 且ACBC2，ACB90，F，G 分别是线段 AE，BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为_. 解析 取 DE 的中点 H，连接 HF，GH.由题设，HF 綉 AD. 1 2 GFH 为异面直线 AD 与 GF 所成的角(或其补角). 在GHF 中，可
13、求 HF，2 GFGH，cosHFG.6 266 2 2 6 3 6 答案 3 6 14.如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正 方形，OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 OABCD 的体积； (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值. 解 (1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S4， 所以四棱锥 OABCD 的体积 V 42 . 1 3 8 3 (2)如图，连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME，DE. 又 M 为 OA 中点，MEOC， 则EMD(或其补角)为异面直线 OC 与 MD 所成的角， 由已知 可得 DE， EM，MD，235 ()2()2()2，235 DEM 为直角三角形，tanEMD. DE EM 2 3 6 3 异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为. 6 3