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1、第第 2 课时 定点与定值问题课时 定点与定值问题 题型一 定点问题 例 1 已知椭圆1(ab0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数 x2 a2 y2 b2 列直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q，P，与椭圆分别交于点 M，N，各点均不重合 且满足1，2.PM MQ PN NQ (1)求椭圆的标准方程； (2)若 123，试证明：直线 l 过定点，并求此定点 解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由题意知 b1， 且(2a)2(2b)22(2c)2，又 a2b2c2，a23. 椭圆的标准方程为 y21. x2 3 (2)由题意设 P(0，m)，Q(x0,0)，M(
2、x1，y1)， N(x2，y2)，设 l 方程为 xt(ym)， 由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，PM MQ y1my11，由题意 y10，1 1. m y1 同理由2知 2 1.PN NQ m y2 123，y1y2m(y1y2)0， 联立Error!得(t23)y22mt2yt2m230， 由题意知 4m2t44(t23)(t2m23)0， 且有 y1y2，y1y2， 2mt2 t23 t2m23 t23 代入得 t2m232m2t20， (mt)21， 由题意 mtb0)的两个焦点和 x2 a2 y2 b2 两个顶点，点 A(0，4)，M，N 是椭圆 C 上的两点，它们在 y
3、 轴两侧，且MAN 的平分线在 y 轴上，|AM|AN|. (1)求椭圆 C 的方程； (2)证明：直线 MN 过定点 (1)解 圆 x2y24 与 x 轴交于点(2,0)， 即为椭圆的焦点，圆 x2y24 与 y 轴交于点(0，2)， 即为椭圆的上下两顶点，所以 c2，b2. 从而 a2，因此椭圆 C 的方程为 1.2 x2 8 y2 4 (2)证明 设直线 MN 的方程为 ykxm. 由Error! 消去 y 得(2k21)x24kmx2m280. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x2，x1x2. 4km 2k21 2m28 2k21 直线 AM 的斜率 k1k； y14
4、 x1 m4 x1 直线 AN 的斜率 k2k. y24 x2 m4 x2 k1k22km4x 1x2 x1x2 2k. m44km 2m28 16km1 2m28 由MAN 的平分线在 y 轴上，得 k1k20. 又因为|AM|AN|，所以 k0，所以 m1. 因此，直线 MN 过定点(0,1) 题型二 定值问题 例 2 (2018北京)已知抛物线 C：y22px 经过点 P(1,2)，过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两 个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N. (1)求直线 l 的斜率的取值范围； (2)设 O 为原点，求证： 为定
5、值QM QO QN QO 1 1 (1)解 因为抛物线 y22px 过点(1,2)， 所以 2p4，即 p2. 故抛物线 C 的方程为 y24x. 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 ykx1(k0)， 由Error!Error!得 k2x2(2k4)x10. 依题意知 (2k4)24k210， 解得 kb0)上一点，F1，F2分别为 C 的左、右焦点， x2 a2 y2 b2 且|F1F2|4，F1MF260，F1MF2的面积为. 43 3 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 N(0,2)，过点 P(1，2)作直线 l，交椭圆 C 于异于 N 的 A，B 两点
6、，直线 NA，NB 的 斜率分别为 k1，k2，证明：k1k2为定值 (1)解 在F1MF2中，由 |MF1|MF2|sin 60，得|MF1|MF2|. 1 2 43 3 16 3 由余弦定理，得 |F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos 60 (|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|(1cos 60)， 解得|MF1|MF2|4 . 2 从而 2a|MF1|MF2|4，即 a2.22 由|F1F2|4 得 c2，从而 b2， 故椭圆 C 的方程为 1. x2 8 y2 4 (2)证明 当直线 l 的斜率存在时， 设斜率为 k，显然 k0，则其方程为 y2k(x1
7、)， 由Error!Error! 得(12k2)x24k(k2)x2k28k0. 56k232k0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2，x1x2. 4kk2 12k2 2k28k 12k2 从而 k1k2 y12 x1 y22 x2 2kx 1x2k4x1x2 x1x2 2k(k4)4. 4kk2 2k28k 当直线 l 的斜率不存在时， 可得 A，B， (1， 14 2 )(1， 14 2 ) 得 k1k24. 综上，k1k2为定值 直线与圆锥曲线的综合问题 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程主要包括 ： 理解运算对象， 掌握运算法则，
8、探究运算方向， 选择运算方法， 设计运算程序， 求得运算结果等 例 椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别是 F1，F2，离心率为，过 F1且垂直于 x x2 a2 y2 b2 3 2 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1，PF2，设F1PF2的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0)，求 m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直 线 PF1，PF2的斜率分别为 k1，k2，若 k20，证明为定值，并求出这个
9、定值 1 kk1 1 kk2 解 (1)由于c2a2b2，将xc 代入椭圆方程 1，得y .由题意知1，即a2b2. x2 a2 y2 b2 b2 a 2b2 a 又 e ，所以 a2，b1. c a 3 2 所以椭圆 C 的方程为 y21. x2 4 (2)设 P(x0，y0)(y00)， 又 F1(，0)，F2(，0)，33 所以直线 PF1，PF2的方程分别为 ：y0x(x0)yy00， 1 PF l 33 ：y0x(x0)yy00. 2 PF l 33 由题意知. |my0 3y 0| y2 0x032 |my0 3y 0| y2 0x032 由于点 P 在椭圆上，所以 y 1. x2
10、 0 4 2 0 所以. |m 3| ( 3 2 x02)2 |m 3| ( 3 2 x02)2 因为0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，满足 MF1MF2， x2 4 y2 b2 已知MF1F2的面积为 1. (1)求 C 的方程； (2)设 C 的上顶点为 H，过点(2，1)的直线与椭圆交于 R，S 两点(异于 H)，求证：直线 HR 和 HS 的斜率之和为定值，并求出这个定值 解 (1)由椭圆定义得|MF1|MF2|4， 由垂直得|MF1|2|MF2|2|F1F2|24(4b2)， 由题意得 SMF1F2 |MF1|MF2|1， 1 2 由，可得 b21，C 的方程为 y21. x2 4
11、 (2)依题意，H(0,1)，显然直线的斜率存在且不为 0， 设直线 RS 的方程为 ykxm(k0)， 代入椭圆方程化简得(4k21)x28kmx4m240. 由题意知，16(4k2m21)0， 设 R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x20， 故 x1x2，x1x2. 8km 4k21 4m24 4k21 kHRkHS y11 x1 y21 x2 kx1m1 x1 kx2m1 x2 2k(m1)2k(m1) x1x2 x1x2 8km 4m24 2k1. 2km m1 2k m1 故 kHRkHS为定值1. 2(2018威海模拟)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F，直线 y4
12、 与 y 轴的交点为 P，与 抛物线 C 的交点为 Q，且|QF|2|PQ|. (1)求 p 的值； (2)已知点 T(t，2)为 C 上一点，M，N 是 C 上异于点 T 的两点，且满足直线 TM 和直线 TN 的斜率之和为 ，证明：直线 MN 恒过定点，并求出定点的坐标 8 3 解 (1)设 Q(x0,4)，由抛物线定义，|QF|x0 ， p 2 又|QF|2|PQ|，即 2x0x0 ，解得 x0 ， p 2 p 2 将点 Q代入抛物线方程，解得 p4. ( p 2，4) (2)由(1)知 C 的方程为 y28x， 所以点 T 坐标为. ( 1 2，2) 设直线 MN 的方程为 xmyn，
13、 点 M，N， ( y2 1 8 ，y1) ( y2 2 8 ，y2) 由Error!得 y28my8n0，64m232n0， 所以 y1y28m，y1y28n， 所以 kMTkNT y12 y2 1 8 1 2 y22 y2 2 8 1 2 8 y12 8 y22 ， 8y1y232 y1y22y1y24 64m32 8n16m4 8 3 解得 nm1.所以直线 MN 的方程为 x1m(y1)，恒过定点(1，1) 3(2018齐齐哈尔模拟)已知动圆 E 经过定点 D(1,0)，且与直线 x1 相切，设动圆圆心 E 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)设过点 P(1,2)的直
14、线 l1，l2分别与曲线 C 交于 A，B 两点，直线 l1，l2的斜率存在，且倾斜 角互补，证明：直线 AB 的斜率为定值 (1)解 由已知，动点 E 到定点 D(1,0)的距离等于 E 到直线 x1 的距离，由抛物线的定义 知 E 点的轨迹是以 D(1,0)为焦点，以 x1 为准线的抛物线，故曲线 C 的方程为 y24x. (2)证明 由题意直线 l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线 l1的方程为 yk(x1)2，k0. 直线 l2的方程为 yk(x1)2， 由Error!Error! 得 k2x2(2k24k4)x
15、(k2)20， 16(k1)20， 已知此方程一个根为 1， x11， k22 k2 k24k4 k2 即 x1， k24k4 k2 同理 x2， k24k4 k2 k24k4 k2 x1x2，x1x2 ， 2k28 k2 8k k2 8 k y1y2k(x11)2k(x21)2 k(x1x2)2k k2k ， 2k28 k2 8 k kAB1， y1y2 x1x2 8 k 8 k 直线 AB 的斜率为定值1. 4.(2018南昌检测)已知中心在原点， 焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为， 过左焦点 F 且垂 2 2 直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，且|PQ|2 . 2 (
16、1)求 C 的方程； (2)若直线 l 是圆 x2y28 上的点(2,2)处的切线，点 M 是直线 l 上任一点，过点 M 作椭圆 C 的切线 MA，MB，切点分别为 A，B，设切线的斜率都存在求证：直线 AB 过定点，并求出 该定点的坐标 解 (1)由已知，设椭圆 C 的方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 因为|PQ|2，不妨设点 P(c，)，22 代入椭圆方程得，1， c2 a2 2 b2 又因为 e ， c a 2 2 所以 1，bc， 1 2 2 b2 所以 b24，a22b28， 所以 C 的方程为 1. x2 8 y2 4 (2)依题设，得直线 l 的方程为 y2(x2)
17、， 即 xy40， 设 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x0x1且 x0x2， 由切线 MA 的斜率存在，设其方程为 yy1k(xx1)， 联立Error!Error! 得(2k21)x24k(y1kx1)x2(y1kx1)280， 由相切得 16k2(y1kx1)28(2k21)(y1kx1)240， 化简得(y1kx1)28k24， 即(x 8)k22x1y1ky 40， 2 12 1 因为方程只有一解， 所以 k， x1y1 x2 18 x1y1 2y2 1 x1 2y1 所以切线 MA 的方程为 yy1(xx1)， x1 2y1 即 x1x2y1y8， 同理，切线
18、 MB 的方程为 x2x2y2y8， 又因为两切线都经过点 M(x0，y0)， 所以Error!Error! 所以直线 AB 的方程为 x0x2y0y8， 又 x0y04， 所以直线 AB 的方程可化为 x0x2(4x0)y8， 即 x0(x2y)8y80， 令Error!Error!得Error!Error! 所以直线 AB 恒过定点(2,1) 5(2018保定模拟)设椭圆 C：1(ab0)的离心率 e，左顶点 M 到直线 1 x2 a2 y2 b2 3 2 x a y b 的距离 d，O 为坐标原点 45 5 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，
19、若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点 O 到 直线 AB 的距离为定值 (1)解 由 e，得 ca，又 b2a2c2， 3 2 3 2 所以 b a，即 a2b. 1 2 由左顶点 M(a,0)到直线 1， x a y b 即到直线 bxayab0 的距离 d， 45 5 得，即， |baab| a2b2 45 5 2ab a2b2 45 5 把 a2b 代入上式，得，解得 b1. 4b2 5b 45 5 所以 a2b2，c . 3 所以椭圆 C 的方程为 y21. x2 4 (2)证明 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当直线 AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性， 可知 x
20、1x2，y1y2. 因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点，故0，OA OB 即 x1x2y1y20，也就是 x y 0， 2 12 1 又点 A 在椭圆 C 上，所以 y 1， x2 1 4 2 1 解得|x1|y1|. 25 5 此时点 O 到直线 AB 的距离 d1|x1|. 25 5 当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的方程为 ykxm， 与椭圆方程联立有Error!Error! 消去 y，得(14k2)x28kmx4m240， 所以 x1x2，x1x2. 8km 14k2 4m24 14k2 因为以 AB 为直径的圆过坐标原点 O，所以 OAOB， 所以x1x2y1y20，O
21、A OB 所以(1k2)x1x2km(x1x2)m20， 所以(1k2)m20， 4m24 14k2 8k2m2 14k2 整理得 5m24(k21)， 所以点 O 到直线 AB 的距离 d1. |m| k21 25 5 综上所述，点 O 到直线 AB 的距离为定值. 25 5 6.已知椭圆 C：1(ab0)经过与两点 x2 a2 y2 b2 (1， 3 2) ( 6 2 ， 30 4 ) (1)求椭圆 C 的方程； (2)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，椭圆 C 上一点 M 满足|MA|MB|.求证 ： 1 |OA|2 为定值 1 |OB|2 2 |OM|2 (1)解 将与
22、两点代入椭圆 C 的方程，得Error!Error!解得Error!Error! (1， 3 2) ( 6 2 ， 30 4 ) 所以椭圆 C 的方程为 1. x2 4 y2 3 (2)证明 由|MA|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点 A，B 关于 原点对称 若点 A，B 是椭圆的短轴顶点，则点 M 是椭圆的一个长轴顶点，此时 2 . 1 |OA|2 1 |OB|2 2 |OM|2 1 b2 1 b2 2 a2 ( 1 a2 1 b2) 7 6 同理，若点 A，B 是椭圆的长轴顶点，则点 M 是椭圆的一个短轴顶点，此时 1 |OA|2 1 |OB|2 2 |OM
23、|2 2 . 1 a2 1 a2 2 b2 ( 1 a2 1 b2) 7 6 若点 A，B，M 不是椭圆的顶点，设直线 l 的方程为 ykx(k0)， 则直线 OM 的方程为 y x， 1 k 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!Error! 解得 x ，y ， 2 1 12 34k2 2 1 12k2 34k2 所以|OA|2|OB|2x y ， 2 12 1 121k2 34k2 同理，|OM|2. 121k2 43k2 所以 1 |OA|2 1 |OB|2 2 |OM|2 2 . 34k2 121k2 243k2 121k2 7 6 综上， 为定值 1 |OA|2 1 |OB|2 2 |OM|2 7 6