《2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第二章 2.5 指数与指数函数含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第二章 2.5 指数与指数函数含解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.5 指数与指数函数 指数与指数函数 最新考纲 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义， 通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，借助 计算器或计算机画出具体指数函数的图象， 探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决 简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 1分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且 n1)于是，在 m n a n am 条件 a0，m，nN*，且 n1 下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数 幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定
2、(a0，m，nN*，且 n1).0 的 m n a 1 m n a 正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中 a0，b0，r，sQ. 2指数函数的图象与性质 yaxa100 时，y1；当 x0 时，01 (6)在(，)上是增函数(7)在(， )上是减函数 概念方法微思考 1.如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则 a，b，c，d 与 1 之间的 大小关系为 提示 cd1ab0 2 结合指数函数 yax(a0， a1)的图象和性质说明 ax1(a0， a1)的
3、解集跟 a 的取值有关 提示 当 a1 时，ax1 的解集为x|x0；当 01 的解集为x|x0，且 a1)，则 m0，且 a1)的图象经过点 P，则 f(1) . (2， 1 2) 答案 2 解析 由题意知 a2，所以 a， 1 2 2 2 所以 f(x) x，所以 f(1)1 . ( 2 2) ( 2 2) 2 4 P59A 组 T7已 知 a， b， c， 则 a， b， c 的 大 小 关 系 ( 3 5) 1 3 ( 3 5) 1 4 ( 3 2) 3 4 是 答案 c 0， ( 3 5) 1 3 ( 3 5) 1 4 ( 3 5) 即 ab1， 又 c1，则 f(x)maxf(1)
4、a2； 若 00，则下列等式成立的是( ) A(2)24 B2a3 1 2a3 C(2)01 D 1 4 4 ()a 1 a 答案 D 解析 对于 A，(2)2 ，故 A 错误；对于 B,2a3，故 B 错误；对于 C，(2)01， 1 4 2 a3 故 C 错误；对于 D， ，故 D 正确 1 4 4 ()a 1 a 2计算：0.00210(2)10 . ( 27 8) 2 3 1 2 5 答案 167 9 解析 原式 2 1 ( 3 2) 1 2 500 10 52 52 52 1010201. 4 9 55 167 9 3化简：(a0，b0) . ( 1 4) 1 2 4ab13 0.1
5、1a3b3 答案 8 5 解析 原式2213101 . 33 3 22 33 22 2 10 ab ab 8 5 4化简： (a0) 41 223 3 33 3 22 53 3 33 82 42 aa bbaa a a aa baba 答案 a2 解析 原式 11111251 11133 33333362 2 333 1111111111 22 3333353362 ()(2) 2() (2). ()(2)(2)()2 aababa aaa aaba a aabbaaabb 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、 分数指数幂统一为分数指数幂， 以便利用法则计算， 还应注意： 必须同底数幂相乘
6、，指数才能相加； 运算的先后顺序 (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 题型二 指数函数的图象及应用 例 1 (1)函数 f(x)axb的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( ) Aa1，b1，b0 C00 D0220，可知 b15”连接) 1 3 答案 3aa3a 1 3 解析 易知 3a0， a a ，因此 3aa3a . 1 3 1 3 1 3 命题点 2 解简单的指数方程或不等式 例 3 (1)(2018福州模拟)已知实数 a1，函数 f(x)Error!Error!若 f(1a)f
7、(a1)，则 a 的值 为 答案 1 2 解析 当 a1 时，代入不成立故 a 的值为 . 1 2 (2)若偶函数 f(x)满足 f(x)2x4(x0)，则不等式 f(x2)0 的解集为 答案 x|x4 或 x0，则 f(x)f(x)2x4， f(x)Error!Error! 当 f(x2)0 时，有Error!Error!或Error!Error! 解得 x4 或 x4 或 x0)，则 yt22t 的单调增区间为1，)，令 2x1，得 x0，又 y2x 在 R 上单调递增， 所以函数 f(x)4x2x1的单调增区间是0，) (3)若函数 f(x)有最大值 3，则 a . ( 1 3) 2 4
8、3axx 答案 1 解析 令 h(x)ax24x3，y h(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值1， ( 1 3) 因此必有Error!Error!解得 a1， 即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值为 1. 思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原 则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函 数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断 跟踪训练 2 (1)已知 f(x)2x2x，a，b，则 f(a)，f(b)的大小关系是 ( 7 9) 1 4 (
9、9 7) 1 5 _ 答案 f(b)b， ( 7 9) 1 4 ( 9 7) 1 4 ( 9 7) 1 5 f(a)f(b) (2)函数 f(x)x2bxc 满足 f(x1)f(1x)， 且 f(0)3， 则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是( ) Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx) Cf(bx)f(cx) D与 x 有关，不确定 答案 A 解析 f(x1)f(1x)，f(x)关于 x1 对称， 易知 b2，c3， 当 x0 时，b0c01，f(bx)f(cx)， 当 x0 时，3x2x1，又 f(x)在(1，)上单调递增，f(bx)1，所以 by0，则( ) A. B. xy
10、 1 x 1 y ( 1 2) ( 1 2) Ccos xcos y Dln(x1)ln(y1) 答案 D 解析 因为当 x2，y1 时， 0，a1)满足 f(1) ，则 f(x)的单调递减区间是( ) 1 9 A(，2 B2，) C2，) D(，2 答案 B 解析 由 f(1) ，得 a2 ， 1 9 1 9 所以 a 或 a (舍去)，即 f(x) |2x4|. 1 3 1 3 ( 1 3) 由于 y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增， 所以 f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减故选 B. 6已知函数 f(x)Error!Error!的值域是8,1，则实数 a 的取
11、值范围是( ) A(，3 B3,0) C3，1 D3 答案 B 解析 当0x4 时，f(x)8,1，当axa”是“函数 f(x) xm 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数 a ( 1 3) 1 3 能取的最大整数为 答案 1 解析 f(0)m ，函数 f(x)的图象不过第三象限等价于 m 0，即 m ，“ma” 2 3 2 3 2 3 是“m ”的必要不充分条件，a x4的解集为 2 2xx ( 1 2) 答案 (1,4) 解析 原不等式等价于2x4， 2 2 2 xx 又函数 y2x为增函数，x22xx4， 即 x23x4g(0)0， 1 2x 1 2x 所以函数 g(x)的最小值
12、是 0. 11已知 9x103x90，求函数 y x14x2 的最大值和最小值 ( 1 4) ( 1 2) 解 由 9x103x90，得(3x1)(3x9)0， 解得 13x9，即 0x2. 令 xt，则 t1，y4t24t2421. ( 1 2) 1 4 (t 1 2) 当 t ，即 x1 时，ymin1； 1 2 当 t1，即 x0 时，ymax2. 12已知函数 f(x)bax(其中 a，b 为常量，且 a0，a1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24) (1)求 f(x)的表达式； (2)若不等式 xxm0 在(，1上恒成立，求实数 m 的取值范围 ( 1 a) ( 1 b) 解
13、(1)因为 f(x)的图象过 A(1,6)，B(3,24)， 所以Error!Error!所以 a24， 又 a0，所以 a2，b3.所以 f(x)32x. (2)由(1)知 a2，b3，则当 x(，1时， xxm0 恒成立，即 mxx ( 1 2) ( 1 3) ( 1 2) ( 1 3) 在(，1上恒成立 又因为 y x与 yx在(，1上均为减函数，所以 yxx在(，1上也是 ( 1 2) ( 1 3) ( 1 2) ( 1 3) 减函数， 所以当 x1 时， y xx有最小值 ， 所以 m ， 即 m 的取值范围是 . ( 1 2) ( 1 3) 5 6 5 6 (， 5 6 13 (2
14、018安徽滁州中学月考)设函数 f(x)Error!Error!则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是( ) A. B0,1 C. D1，) 2 3，1 2 3，) 答案 C 解析 令 f(a)t，则 f(t)2t. 当t0， g(t)在(， 1) 上单调递增，即 g(t)f(c)，则 2a2c 4.(选填“”“1，则由 f(a)f(c)，得 12a12c11， 即 2c12a12，即 2a2c4. 综上知，总有 2a2c4. 16已知函数 f(x) 4(1x2) 1 4x 2x1 (1)若 ，求函数 f(x)的值域； 3 2 (2)若方程 f(x)0 有解，求实数 的取值范围 解
15、 (1)f(x) 4 1 4x 2x1 2x2x4(1x2) ( 1 2) ( 1 2) 设 t x，得 g(t)t22t4 . ( 1 2) ( 1 4 t 2) 当 时，g(t)t23t4 3 2 2 . (t 3 2) 7 4( 1 4 t 2) 所以 g(t)maxg，g(t)ming . ( 1 4) 53 16 ( 3 2) 7 4 所以 f(x)max，f(x)min ， 53 16 7 4 故函数 f(x)的值域为. 7 4， 53 16 (2)方程 f(x)0 有解可转化为 22x (1x2) 1 2 1 2x 设 (x)22x， 1 22x( 1 2 2x 4) 当 2x ，即 x1 时，(x)min2； 1 2 当 2x4，即 x2 时，(x)max. 65 8 函数 (x)的值域为. 2， 65 8 故实数 的取值范围是. 2， 65 8