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1、2.6 对数与对数函数 对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数 或常用对数 ； 通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对数在简化运算中的作用.2.通过具体 实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数 是一类重要的函数模型 ； 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数 函数的单调性与特殊点.3.知道指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数 1对数的概念 一般地，如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
2、xlogaN，其 中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： loga(MN)logaMlogaN； logalogaMlogaN； M N logaMnnlogaM (nR) (2)对数的性质 N ；logaaN N (a0，且 a1) logaN a (3)对数的换底公式 logab(a0，且 a1；c0，且 c1；b0) logcb logca 3对数函数的图象与性质 ylogaxa101时， y0； 当01 时， y0 性质 (6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数 4.反函数 指数函数 y
3、ax(a0 且 a1)与对数函数 ylogax(a0 且 a1)互为反函数，它们的图象关于 直线 yx 对称 概念方法微思考 1根据对数换底公式：说出 logab，logba 的关系？ 化简.log m n a b 提示 logablogba1； logab.log m n a b n m 2如图给出 4 个对数函数的图象比较 a，b，c，d 与 1 的大小关系 提示 00，则 loga(MN)logaMlogaN.( ) (2)对数函数 ylogax(a0 且 a1)在(0，)上是增函数( ) (3)函数 yln 与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同( ) 1x 1x (4)对数函数
4、ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第 ( 1 a，1) 一、四象限( ) 题组二 教材改编 2P68T4log29log34log45log52 . 答案 2 3P82A 组 T6已知 a2，blog2，c，则 a，b，c 的大小关系为 1 3 1 3 1 2 log 1 3 答案 cab 解析 01. 1 2 log 1 3 cab. 4P74A 组 T7函数 y的定义域是 2x1 答案 (1 2，1 解析 由(2x1)0，得 00，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是( ) Adac Bacd Ccad Ddac 答案
5、B 6已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是 ( ) Aa1，c1 Ba1,01 D00 且 a1)，则实数 a 的取值范围是 3 4 答案 (1，) (0， 3 4) 解析 当 01 时，loga1. 3 4 实数 a 的取值范围是(1，). (0， 3 4) 题型一 对数的运算 1设 2a5bm，且 2，则 m 等于( ) 1 a 1 b A. B10 C20 D10010 答案 A 解析 由已知，得 alog2m，blog5m， 则 logm2logm5logm102. 1 a 1 b 1 log2m 1 log5m 解得 m.10
6、 2计算：100 . (lg 1 4lg 25) 1 2 答案 20 解析 原式(lg 22lg 52)100lg10 1 2 ( 1 22 52) lg 1021021020. 3计算： . 1log6 3 2log62log618 log64 答案 1 解析 原式 12log63log6 3 2log66 3log 66 3 log64 12log 63log6 3 21log6 3 2 log64 1. 21log6 3 2log62 log66log63 log62 log62 log62 4设函数 f(x)3x9x，则 f(log32) . 答案 6 解析 函数 f(x)3x9x，
7、f(log32)246. 339 log 2log 2log 4 3929 思维升华 对数运算的一般思路 (1)拆 ： 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形， 化成分数指数幂的形式， 使幂的底数最简， 然后利用对数运算性质化简合并 (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底 对数真数的积、商、幂的运算 题型二 对数函数的图象及应用 例 1 (1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)ln(x1)，则函数 f(x)的大 致图象为( ) 答案 C 解析 先作出当 x0 时，f(x)ln(x1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再
8、作此图象关于 y 轴对称的图象，可得函数 f(x)在 R 上的大致图象，如选项 C 中图象所示 (2)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数即方程|log0.5x| x的解的个数， 即函数y|log0.5x| ( 1 2) 与函数 y x图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有 2 个交点 ( 1 2) (3)当 01 时，不符合题意，舍去 所以实数 a 的取值范围是. ( 2 2 ，1) 引申探究 若本例(3)变为方程 4xlogax 在上有解，则实数 a 的取值范围为 (0
9、， 1 2 答案 (0， 2 2 解析 若方程 4xlogax 在上有解，则函数 y4x和函数 ylogax 在上有交点， (0， 1 2 (0， 1 2 由图象知Error!Error!解得 01 时，直线 yxa 与 yf(x)只有一个交点 题型三 对数函数的性质及应用 命题点 1 比较对数值的大小 例 2 (2018潍坊模拟)已知 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是( ) ( 2 3) 2 3 ( 3 4) 2 3 3 4 log 2 3 Aa1， 3 4 log 2 3 3 4 log 3 4 所以1，所以 x . 5 (2)已知不等式 logx(2x21)0在区间(， 2上恒成
10、立且函数yx2ax3a在(， 2 上单调递减，则 2 且(2)2(2)a3a0，解得实数 a 的取值范围是4,4)，故选 D. a 2 (2)函数 f(x)log2(2x)的最小值为 x 2 log 答案 1 4 解析 依题意得 f(x) log2x(22log2x)(log2x)2log2x 2 ，当 log2x 1 2 (log 2x1 2) 1 4 1 4 ，即 x时等号成立，所以函数 f(x)的最小值为 . 1 2 2 2 1 4 (3)已知函数 f(x)Error!Error!若 f(x)的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 答案 (1,2 解析 当 x1 时，f(x)1log2x
11、1，当 xcb Bbca Ccba Dcab 答案 D 解析 alog32log221，所以 c 最大 由 1，即 ab， 1 log23 1 log25 所以 cab. (2)已知函数 f(x)loga(8ax)(a0，且 a1)，若 f(x)1 在区间1,2上恒成立，则实数 a 的取 值范围是 答案 (1，8 3) 解析 当 a1 时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由 f(x)1 在区间1,2上恒成立， 则 f(x)minf(2)loga(82a)1，且 82a0， 解得 11 在区间1,2上恒成立， 知 f(x)minf(1)loga(8a)1，且 82a0. a4，且
12、a1，blog0.40.5(0,1)， clog80.4bc. (2)已知 alog23log2，blog29log2，clog32，则 a，b，c 的大小关系是( )33 Aabc Cabc 答案 B 解析 因为 alog23log2log23 log231，blog29log2log23a，c33 3 2 33 log32c. (3)若实数 a，b，c 满足 loga2log0.210， blog20.3log0.30.4log0.310， 0ac 解析 易知yf(x)是偶函数 当x(0， )时， f(x)f|log2x|， 且当x1， )时， f(x) ( 1 x) log2x 单调递增
13、，又 af(3)f(3)，bff(4)，所以 bac. ( 1 4) 1log29log34 等于( ) A. B. C2 D4 1 4 1 2 答案 D 解析 方法一 原式4. lg 9 lg 2 lg 4 lg 3 2lg 32lg 2 lg 2lg 3 方法二 原式2log23224. log24 log23 2(2018宁夏银川一中模拟)设 a0.50.4，blog0.40.3，clog80.4，则 a，b，c 的大小关系 是( ) Aalog0.40.41，clog80.40 时，f(x)logax 单调递减，排除 A，B； 当 x0，a1)在区间内恒有 f(x)0，则 f(x)的单
14、调递增 (x 23 2x) ( 1 2，) 区间为( ) A(0，) B(2，) C(1，) D.(1 2，) 答案 A 解析 令 Mx2 x， 当 x时， M(1， )， f(x)0， 所以 a1， 所以函数 ylogaM 3 2 ( 1 2，) 为增函数，又 M 2 ， (x 3 4) 9 16 因此 M 的单调递增区间为. ( 3 4，) 又 x2 x0，所以 x0 或 xb1.若 logablogba ，abba，则 a ，b . 5 2 答案 4 2 解析 令 logabt，ab1，01 时，由 1log2x2，解得 x ，所以 x1. 1 2 综上可知 x0. 9设实数 a，b 是
15、关于 x 的方程|lg x|c 的两个不同实数根，且 a0，且 a1)，且 f(1)2. (1)求实数 a 的值及 f(x)的定义域； (2)求 f(x)在区间上的最大值 0， 3 2 解 (1)f(1)2，loga42(a0，且 a1)， a2.由Error!Error!得10 时，f(x)x. 1 2 log (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x21)2. 解 (1)当 x0， 则 f(x)(x) 1 2 log 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x) 所以 x2 可化为 f(|x21|)f(4) 又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数，所以 02，所以
16、x1 或 x1. 所以0，则实数 a 的取值范围是( ) 1 2， 2 3 A. B. C. D. ( 1 3，1) 1 3，1) ( 2 3，1) 2 3，1) 答案 A 解析 当 00，即 01 时，函数 f(x)在区间上是增函数，所以 loga(1a)0， 1 3 4 3 1 3 1 2， 2 3 即 1a1，解得 a1 时，ylogau 是增函数，f(x)maxloga42，得 a2； 当 00，得 x1 或 x1 或 x(x1)(7x)在2,6上恒成立 又当 x2,6时，(x1)(7x)x28x7(x4)29. 当 x4 时，(x1)(7x)max9，m9. 即实数 m 的取值范围是(9，)