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1、5.1 平面向量的概念及线性运算 平面向量的概念及线性运算 最新考纲 1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的 含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3. 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量 线性运算的性质及其几何意义 1向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模 (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的 (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向
2、量平行 (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 2向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算 交换律：abba； 结合律： (ab)ca(bc) 减法 求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算 aba(b) 数乘 求实数 与向量 a 的 积的运算 | a|a|， 当 0 时， a 与 a 的方向相同；当 0 时，a 与 a 同方向；当 |b| 答案 A 解析 方法一 |ab|ab|， |ab|2|ab|2. a2b22aba2b22ab. ab0.ab. 故选 A. 方法二 利用向量加法的平行四边形法则 在ABCD
3、 中，设a，b，AB AD 由|ab|ab|知，|，AC DB 从而四边形 ABCD 为矩形，即 ABAD，故 ab. 故选 A. 命题点 2 向量的线性运算 例 2 (1)在平行四边形 ABCD 中， 点 E 为 CD 的中点， BE 与 AC 的交点为 F， 设a，b，AB AD 则向量等于( )BF A. a b B a b 1 3 2 3 1 3 2 3 C a b D. a b 1 3 2 3 1 3 2 3 答案 C 解析 ()BF 2 3BE 2 3 BC CE a b， 2 3(b 1 2a) 1 3 2 3 故选 C. (2)(2018全国)在ABC 中，AD 为 BC 边上
4、的中线，E 为 AD 的中点，则等于( )EB A. B. 3 4AB 1 4AC 1 4AB 3 4AC C. D. 3 4AB 1 4AC 1 4AB 3 4AC 答案 A 解析 作出示意图如图所示 EB ED DB 1 2AD 1 2CB () () 1 2 1 2 AB AC 1 2 AB AC . 3 4AB 1 4AC 故选 A. 命题点 3 根据向量线性运算求参数 例 3 在锐角ABC 中，3，xy，则 _.CM MB AM AB AC x y 答案 3 解析 由题意得3()，CA AM AB AM 即 43，AM AB AC 亦即，AM 3 4AB 1 4AC 则 x ，y .
5、 3 4 1 4 故 3. x y 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则 (2)求已知向量的和共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连 向量的和用三角形法则 (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求 参数的值 跟踪训练 1 (1)在ABC 中， 点 D， E 分别在边 BC， AC 上， 且2，3， 若a，BD DC CE EA AB b，则等于( )AC DE A. ab B. ab 1 3 5 12 1 3 13 12 C ab D ab 1 3 5
6、 12 1 3 13 12 答案 C 解析 DE DC CE 1 3BC 3 4CA () 1 3 AC AB 3 4AC ab，故选 C. 1 3AB 5 12AC 1 3 5 12 (2)(2018威海模拟)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若xyAB AE (x，yR)，则 xy_.AF 答案 2 解析 由题意得，AE AB BE AB 1 2AD ，AF AD DF AD 1 2AB 因为xy，AB AE AF 所以，AB (x y 2)AB ( x 2y)AD 所以Error!Error!解得Error!Error! 所以 xy2. 题型三 共线定理的
7、应用 例 4 设两个非零向量 a 与 b 不共线 (1)若ab，2a8b，3(ab)，AB BC CD 求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 (1)证明 ab，2a8b，3(ab)，AB BC CD 2a8b3(ab)BD BC CD 2a8b3a3b5(ab)5，AB ，共线AB BD 又它们有公共点 B，A，B，D 三点共线 (2)解 假设 kab 与 akb 共线， 则存在实数 ，使 kab(akb)， 即(k)a(k1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， kk10. 消去 ，得 k210，k1. 引申探究 1若将本例(1)中“2a8b
8、”改为“amb” ，则 m 为何值时，A，B，D 三点共线？BC BC 解 (amb)3(ab)4a(m3)b，BC CD 即4a(m3)b.BD 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 ，使.BD AB 即 4a(m3)b(ab) 所以Error!Error!解得 m7. 故当 m7 时，A，B，D 三点共线 2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线” ，则 k 为何值？ 解 因为 kab 与 akb 反向共线， 所以存在实数 ，使 kab(akb)(1，OC OD 因为，OC OA OB 所以 m，OD OA OB 即，OD mOA mOB 又知 A，B，D 三点共线， 所以 1，即 m，
9、 m m 所以 1，故选 B. 15已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是ABC 的重心，动点 P 满足OP 1 3 ，则点 P 一定为ABC 的( ) (2OA 1 2OB 1 2OC ) ABC 边中线的中点 BBC 边中线的三等分点(非重心) C重心 DBC 边的中点 答案 B 解析 设 BC 的中点为 M， 则， 1 2OC 1 2OB OM (2)，OP 1 3 OM OA 1 3OM 2 3OA 即 32，也就是2，OP OM OA MP PA P，M，A 三点共线， 且 P 是 AM 上靠近 A 点的一个三等分点 16设 W 是由一平面内的 n(n3)个向量组成的集合若
10、aW，且 a 的模不小于 W 中除 a 外的所有向量和的模则称 a 是 W 的极大向量有下列命题： 若 W 中每个向量的方向都相同，则 W 中必存在一个极大向量； 给定平面内两个不共线向量 a， b， 在该平面内总存在唯一的平面向量 cab， 使得 W a，b，c中的每个元素都是极大向量； 若 W1a1，a2，a3，W2b1，b2，b3中的每个元素都是极大向量，且 W1，W2中无公共 元素，则 W1W2中的每一个元素也都是极大向量 其中真命题的序号是_ 答案 解析 若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确 ； 由题意得 a，b，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；3 个向量都 是极大向量，等价于 3 个向量之和为 0，故 W1a1，a2，a3，W2b1，b2，b3中的每个元 素都是极大向量时，W1W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确