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1、5.4 平面向量的综合应用 平面向量的综合应用 最新考纲 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题 的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题 的能力 1向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型所用知识公式表示 线平行、 点共线等问题共线向量定理 ababx1y2x2y10， 其中 a(x1， y1)， b(x2， y2)， b0 垂直问题数量积的运算性质 abab0x1x2y1y20， 其中a(x1， y1)， b(x2， y2)， 且a， b 为非零向量 夹角问题数量积的定义 cos (为向
2、量a， b的夹角)， ab |a|b| 其中 a，b 为非零向量 长度问题数量积的定义 |a|，a2x2y2 其中 a(x，y)，a 为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题 设向量 运算 还原 2向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用， 是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述 它主要强调向量 的坐标问题， 进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答， 坐标的运算是考查的 主体 3平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似， 可以用向量的知识来解决 (2)物理
3、学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即 WFs|F|s|cos ( 为 F 与 s 的夹角) 4向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数 量积，向量的共线与垂直求解相关问题 概念方法微思考 1根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？ 提示 (1)线段的长度问题 (2)直线或线段平行问题 (3)直线或线段垂直问题 (4)角的问题等 2如何用向量解决平面几何问题？ 提示 用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运 算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，
4、最后把运算结果“翻译”成几何关系 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若，则 A，B，C 三点共线( )AB AC (2)在ABC 中，若0，n0， 则由2，AB AC AB AD 得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)， 所以 n(m2)2nm，化简得 m2. 故(m，m)(m2，m)2m22m12.AD AC (2)(2018广元统考)在ABC中， AB2AC6， 2， 点P是ABC所在平面内一点， BA BC BA 则当 222取得最小值时， _.PA PB PC AP BC 答案 9 解析 2， BA BC BA 2 ()BA BC BA
5、BA BC BA 0，BA AC ，即 BAAC.BA AC 以点 A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则 B(6,0)，C(0,3)，设 P(x，y)， 222x2y2(x6)2y2x2(y3)2 PA PB PC 3x212x3y26y45 3(x2)2(y1)210 当 x2，y1 时， 222有最小值，此时 (2,1)(6,3)9.PA PB PC AP BC 思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示 (2)基向量法 适当选取一组基底， 沟通向量之间的联系， 利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 跟
6、踪训练 1 (1)(2018松原三校联考)已知ABC 外接圆的圆心为 O， AB2， AC2， A32 为钝角，M 是 BC 边的中点，则等于( )AM AO A3 B4 C5 D6 答案 C 解析 M 是 BC 边的中点， ()，AM 1 2 AB AC O 是ABC 的外接圆的圆心， |cosBAOAO AB AO AB |2 (2)26. 1 2 AB 1 2 3 同理可得 |2 (2)24.AO AC 1 2 AC 1 2 2 ()AM AO 1 2 AB AC AO (64)5. 1 2AB AO 1 2AC AO 1 2 (2)(2018聊城模拟)在ABC 中，BC 边上的中线 A
7、D 的长为 2，点 P 是ABC 所在平面上的 任意一点，则的最小值为( )PA PB PA PC A1 B2 C2 D1 答案 C 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点 D 在原点处，点 A 在 y 轴上，则 A(0,2) 设点 P 的坐标为(x，y)， 则，(x，y)，PA (x，2y)PO 故PA PB PA PC PA (PB PC ) 22PA PO (x2y22y) 222，x2(y1)2 当且仅当 x0，y1 时等号成立 所以的最小值为2.PA PB PA PC 题型二 向量在解析几何中的应用 例 2 (1)已知正三角形 ABC 的边长为 2， 平面 ABC 内的动点 P，
8、 M 满足|1，3AP PM MC 则|2的最大值是( )BM A. B. 43 4 49 4 C. D. 3763 4 37233 4 答案 B 解析 如图，由|1 知点 P 的轨迹是以 A 为圆心，以 1 为半径的圆AP 由知，PM MC 点 M 为 PC 的中点， 取 AC 的中点 N，连接 MN， 则|MN| |AP| ， 1 2 1 2 所以点 M 的轨迹是以 N 为圆心，以 为半径的圆 1 2 因为|3，BN 所以|的最大值为 3 ，|2的最大值为.故选 B.BM 1 2 7 2 BM 49 4 (2)(2017江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，A(12,0)，B(0，6)，点
9、P 在圆 O： x2y250 上， 若20，则点 P 的横坐标的取值范围是_PA PB 答案 5，12 解析 方法一 因为点 P 在圆 O：x2y250 上， 所以设 P 点坐标为(x，)(5x5)50x222 因为 A(12,0)，B(0,6)， 所以(12x，)PA 50x2 或(12x，)，PA 50x2 (x,6)或(x,6)因为20，先取 P(x，)进PB 50x2PB 50x2PA PB 50x2 行计算， 所以(12x)(x)()(6)20，50x250x2 即 2x5.50x2 当 2x50)，A，B3 两点关于 x 轴对称若圆 C 上存在点 M，使得0，则当 m 取得最大值时
10、，点 M 的AM BM 坐标是( ) A. B. ( 3 2， 32 2 )( 32 2 ，3 2) C. D. ( 3 2， 33 2 )( 33 2 ，3 2) 答案 C 解析 由题意得圆的方程为(x1)2(y)21，3 B(0，m)，设 M(x，y)， 由于0，AM BM 所以(x，ym)(x，ym)0， 所以 x2y2m20，所以 m2x2y2， 由于 x2y2表示圆 C 上的点到原点距离的平方， 所以连接 OC，并延长和圆 C 相交，交点即为 M， 此时 m2最大，m 也最大 |OM|123，MOx60， 所以 xM3sin 30 ，yM3sin 60.故选 C. 3 2 3 2 3
11、 题型三 向量的其他应用 命题点 1 向量在不等式中的应用 例 3 已知在 RtABC 中， C90，9， SABC6， P 为线段 AB 上的点， 且xAB AC CP y，则 xy 的最大值为_ CA |CA | CB |CB | 答案 3 解析 在 RtABC 中，由9，AB AC 得 ABACcos A9， 由面积为 6，得 ABACsin A12， 由以上两式解得 tan A ， 4 3 所以 sin A ，cos A ， 4 5 3 5 所以 ABAC15，所以 AB5，AC3，BC4. 又 P 为线段 AB 上的点，且 ，CP x 3 CA y 4 CB 故 12， x 3 y
12、4 x 3 y 4 即 xy3，当且仅当 ， x 3 y 4 1 2 即 x ，y2 时取等号 3 2 命题点 2 向量在解三角形中的应用 例 4 (2018衡阳模拟)在ABC 中，若|2，且cos Ccos Asin B.AC 3AB BC AC (1)求角 B 的大小； (2)求ABC 的面积 解 (1)因为，AC AB BC 所以cos Ccos Asin BAB BC AC ()sin B，AB BC 即(cos Csin B)(cos Asin B)0.AB BC 而向量，是两个不共线的向量，AB BC 所以Error!Error!所以 cos Ccos A， 因为 A，C(0，)，
13、 所以 AC.在等腰ABC 中，ABC， 所以 2AB，A . 2 B 2 所以 cos Acossin sin B， ( 2 B 2) B 2 所以 sin 2sin cos ， B 2 B 2 B 2 因为 sin 0，所以 cos . B 2 B 2 1 2 综合 00， 即 |a|24|a|b|cos 0， 即 cos 0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，与抛物线的准 线的交点为 B，点 A 在抛物线的准线上的射影为 C，若，48，则抛物线的AF FB BA BC 方程为( ) Ay28x By24x Cy216x Dy24x2 答案 B 解析 如图所示，由，得
14、 F 为线段 AB 的中点，AF FB |AF|AC|，ABC30， 由48，得|BC|4.BA BC 3 则|AC|4，由中位线的性质， 有 p |AC|2， 1 2 故抛物线的方程为 y24x.故选 B. 6 (2018南昌测试)在梯形 ABCD 中， ABCD， CD1， ABBC2， BCD120， 动点 P 和 Q 分别在线段 BC 和 CD 上，且，则的最大值为( )BP BC DQ 1 8DC AP BQ A2 B3 2 C. D. 3 4 9 8 答案 D 解析 因为 ABCD，CD1，ABBC2，BCD120， 所以 ABCD 是直角梯形，且 CM，BCM30，3 以 AB
15、所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，动点 P 和 Q 分别在线段 BC 和 CD 上，则 ，BP BC DQ 1 8DC 1 8，1 B(2,0)，P(2，)，Q，3 ( 1 8， 3) 所以 (2，)AP BQ 3 ( 1 82， 3) 54 . 1 4 1 8 令 f()54 且 ， 1 4 1 8 1 8，1 由对勾函数性质可知，当 1 时可取得最大值， 则 f()maxf(1)5 4 . 1 4 1 8 9 8 7在菱形 ABCD 中，若 AC4，则_.CA AB 答案 8 解析 设CAB，ABBCa， 由余弦定理得 a216a28a
16、cos ，acos 2， 4acos()4acos 8.CA AB 8已知|a|2|b|，|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|xab0 有两相等实根，则向量 a 与 b 的 夹角是_ 答案 2 3 解析 由已知可得 |a|24ab0， 即 4|b|242|b|2cos 0，cos . 1 2 又0，. 2 3 9.如图， A 是半径为 5 的圆 C 上的一个定点， 单位向量在 A 点处与圆 C 相切， 点 P 是圆 CAB 上的一个动点，且点 P 与点 A 不重合，则的取值范围是_AP AB 答案 5,5 解析 如图所示，以 AB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线为 y 轴，建立平面直角
17、坐标系 设点 P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)， 则(1,0)，(x，y)，AB AP 所以(x，y)(1,0)x.AP AB 因为点 P 在圆 x2(y5)225 上， 所以5x5，即55.AP AB 10已知抛物线 C： x24y 的焦点为 F，M 是抛物线 C 上一点，若 FM 的延长线交 x 轴的正 半轴于点 N，交抛物线 C 的准线 l 于点 T，且，则|NT|_.FM MN 答案 3 解析 画出图形如图所示由题意得抛物线的焦点 F(0,1)，准线为 y1. 设抛物线的准线与 y 轴的交点为 E，过 M 作准线的垂线，垂足为 Q，交 x 轴于点 P. 由题意得NPMNOF，
18、又，即 M 为 FN 的中点，FM MN | |OF| ，|OP| ，MP 1 2 1 2 4 1 2 2 | 1 ，|ON|2|OP|2，MQ 1 2 3 2 2 | .MF MN 3 2 又， |TM | |TF | |TN |FM | |TN |2|FM | |MQ | |FE | 即 ，解得|3. |TN |3 2 |TN |3 3 2 2 3 4 TN 11已知四边形 ABCD 为平行四边形，点 A 的坐标为(1,2)，点 C 在第二象限，(2,2)，AB 且与的夹角为 ，2.AB AC 4 AB AC (1)求点 D 的坐标； (2)当 m 为何值时，m与垂直AC AB BC 解
19、(1)设 C(x，y)，D(a，b)，则(x1，y2)AC 与的夹角为 ，2，AB AC 4 AB AC ， AB AC |AB |AC | 2 2222x12y22 2 2 化为(x1)2(y2)21. 又2(x1)2(y2)2，化为 xy2.AB AC 联立解得Error!Error!或Error!Error! 又点 C 在第二象限，C(1,3) 又，(a1，b3)(2，2)，CD BA 解得 a3，b1. D(3,1) (2)由(1)可知(0,1)，AC m(2m,2m1)，AC AB (2，1)BC AC AB m与垂直，AC AB BC (m)4m(2m1)0，AC AB BC 解得
20、 m . 1 6 12 已知 A， B， C 是ABC 的内角， a， b， c 分别是其对边长， 向量 m(， cos A1)， n(sin 3 A，1)，mn. (1)求角 A 的大小； (2)若 a2，cos B，求 b 的值 3 3 解 (1)mn， mnsin A(cos A1)(1)0，3 sin Acos A1，sin .3 (A 6) 1 2 0A， A ， 6 6 5 6 A ，A . 6 6 3 (2)在ABC 中，A ，a2，cos B， 3 3 3 sin B.1cos2B11 3 6 3 由正弦定理知， a sin A b sin B b， asin B sin A
21、2 6 3 3 2 42 3 b. 42 3 13如图所示，半圆的直径 AB6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A，B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则() 的最小值为_PA PB PC 答案 9 2 解析 圆心 O 是直径 AB 的中点， 2，()2，PA PB PO PA PB PC PO PC |32，PO PC |PO |PC | | ，PO PC 9 4 即()22| ，当且仅当| 时，等号成立，故最PA PB PC PO PC PO PC 9 2 PO PC 3 2 小值为 . 9 2 14 (2018包头模拟)已知 BC 是圆 O 的直径， H 是圆 O 的弦 AB
22、 上一动点， BC10， AB8， 则的最小值为( )HB HC A4 B25 C9 D16 答案 D 解析 以 BC 所在的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系， 设点 H(x，y)，则 B(5,0)，C(5,0)， 所以(5x，y)，(5x，y)，HB HC 则(5x，y)(5x，y)HB HC x2y225， 又因为 AB8，且 H 为弦 AB 上一动点， 所以 9x2y225， 其中当取 AB 的中点时取得最小值， 所以92516，故选 D.HB HC 15如图 2，“六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点 O 且三组对边分别平 行点 A，B 是
23、“六芒星”(如图 1)的两个顶点，动点 P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若 xy，则 xy 的取值范围是( )OP OA OB A4,4 B，2121 C5,5 D6,6 答案 C 解析 如图建立平面直角坐标系， 令正三角形边长为 3，则i， ij，OB OA 3 2 3 2 可得 i，j，OB 23 3 OA 3OB 由图知当点 P 在点 C 时，有j23，OP 3OA OB 此时 xy 有最大值 5， 同理当点 P 在与 C 相对的下顶点时有j23，OP 3OA OB 此时 xy 有最小值5.故选 C. 16 记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a， b， c满足|a|b|abc(a2b 2c)2，则( ) A|ac|max B|ac|max 37 2 37 2 C|ac|min D|ac|min 37 2 37 2 答案 A 解析 由已知可得 ab|a|b|cos 2， cos ， ， 1 2 3 建立平面直角坐标系，a(2,0)，OA b(1，)，c(x，y)，OB 3OC 由 c(a2b2c)2， 可得(x，y)(42x,22y)2，3 即 4x2x22y2y22，3 化简得 C 点轨迹为(x1)2 2 ， (y 3 2) 3 4 则|ac|，x22y2 转化为圆上点与(2,0)的距离 |ac|max.12( 3 2) 2 3 2 37 2