《2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第八章 8.1 空间几何体的结构、表面积与体积含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第八章 8.1 空间几何体的结构、表面积与体积含解析.pdf（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、8.1 空间几何体的结构、表面积与体积 空间几何体的结构、表面积与体积 最新考纲 1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简 单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、棱柱、 棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 1空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称棱柱棱锥棱台 图形 底面互相平行且全等多边形互相平行 侧棱平行且相等 相交于一点但不 一定相等 延长线交于一点 侧面形状平行四边形三角形梯形 (2)旋转体的结构特征 名称圆柱圆锥圆台球 图形 母线 平行、相等且垂直 于底面 相交于一点延长线交于一点 轴截面
2、全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆 侧面 展开图 矩形扇形扇环 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积体积 柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h 锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底V S底h 1 3 台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下 V (S上S下 1 3 S上S下 )h 球S4R2V R3 4 3 概念方法微思考 1底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗？为什么？ 提示 不一定因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱 2如何求不规则几何
3、体的体积？ 提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形， 将不规则的几何体通过分割或补形转化为 规则的几何体求解 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分( ) (4)锥体的体积等于底面积与高之积( ) (5)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 Ra.( ) 3 2 (6)圆柱的一个底面积为 S， 侧面展开图是一个正方形， 那么这个圆柱的侧面积是 2S.( )
4、 题组二 教材改编 2已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A1 cm B2 cm C3 cm D. cm 3 2 答案 B 解析 S表r2rlr2r2r3r212， r24，r2. 3在如图所示的几何体中，是棱柱的为_(填写所有正确的序号) 答案 题组三 易错自纠 4体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A12 B. C8 D4 32 3 答案 A 解析 由题意可知正方体的棱长为 2，其体对角线为 2即为球的直径，所以球的表面积3 为 4R2(2R)212，故选 A. 5.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截
5、出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下 的几何体体积的比为_ 答案 147 解析 设长方体的相邻三条棱长分别为 a， b， c， 它截出棱锥的体积 V1 a b c 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 abc，剩下的几何体的体积 V2abcabcabc，所以 V1V2147. 1 48 1 48 47 48 题型一 空间几何体的结构特征 1以下命题： 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案
6、 B 解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误，正确对于命题，只有用平行于圆锥 底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确 2给出下列四个命题： 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 其中不正确的命题为_(填序号) 答案 解析 对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错 ； 对于，对等腰三角形 的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；由线面垂 直的判定，可知侧棱垂直于底面，故正确 综上，命题不正确 思维升华 空间几何体概念辨析
7、题的常用方法 (1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关 系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定 (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析 题型二 空间几何体的表面积与体积 命题点 1 空间几何体的表面积 例 1 (2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆 柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A12 B122 C8 D102 答案 B 解析 设圆柱的轴截面的边长为 x， 则由 x28，得 x2，2 S圆柱表2S底S侧2()22212.故选 B.222 命题点 2 求简单几何体的
8、体积 例 2 如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为，D 为 BC 的中点，则三3 棱锥 AB1DC1的体积为( ) A3 B.3 2 C1 D. 3 2 答案 C 解析 如题图， 因为ABC 是正三角形， 且 D 为 BC 中点，则 ADBC. 又因为 BB1平面 ABC，AD平面 ABC， 故 BB1AD，且 BB1BCB，BB1，BC平面 BCC1B1， 所以 AD平面 BCC1B1， 所以 AD 是三棱锥 AB1DC1的高 所以 V 三棱锥 AB1DC1 SB1DC1AD 1 3 1. 1 3 33 思维升华 空间几何体表面积、体积的求法 (1)旋转体的表面积问题
9、注意其侧面展开图的应用 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 (3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解 跟踪训练 1 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长均为 2，D 为棱 B1C1上任意一点，则 三棱锥 DA1BC 的体积是_ 答案 2 3 3 解析 VDA1BCVB1A1BC VA1B1BC SB1BC. 1 3 3 23 3 题型三 与球有关的切、接问题 例 3 已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上， 若 AB3， AC4， ABAC， AA112，则球 O 的半径为( ) A. B2 C. D3 317
10、 2 10 13 2 10 答案 C 解析 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线， 则垂足为 BC 的中点 M. 又 AM BC ， 1 2 5 2 OM AA16， 1 2 所以球 O 的半径 ROA . ( 5 2) 262 13 2 引申探究 1本例若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体” ，则此正方体外接球和内切球的体积各是多 少？ 解 由题意可知， 此正方体的体对角线长即为其外接球的直径， 正方体的棱长即为其内切球 的直径设该正方体外接球的半径为 R，内切球的半径为 r. 又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4，3 从而 V外接球 R3 (2)332， 4 3 4 3 33 V
11、内切球 r3 23. 4 3 4 3 32 3 2本例若将直三棱柱改为“正四面体” ，则此正四面体的表面积 S1与其内切球的表面积 S2 的比值为多少？ 解 正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S14a2a2，其内切球半径 r 为正 3 4 3 四面体高的 ，即 r aa，因此内切球表面积为 S24r2，则. 1 4 1 4 6 3 6 12 a2 6 S1 S2 3a 2 a2 6 63 3本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是 3的正四棱锥” ，则其外接球的半径2 是多少？ 解 依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为 36，高为 22 3 22(1 2 6)2 3， 因此底面中心到各
12、顶点的距离均等于 3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的 中心，其外接球的半径为 3. 思维升华 “切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理 首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心 (2)“接”的处理 抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径 跟踪训练 2 (2018全国)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为 等边三角形且其面积为 9，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( )3 A12 B18 C24 D543333 答案 B 解析 由等边ABC 的面积为 9，可得AB29，3 3 4 3 所以 AB6， 所以等边ABC 的外接
13、圆的半径为 rAB2. 3 3 3 设球的半径为 R，球心到等边ABC 的外接圆圆心的距离为 d，则 d2.R2r21612 所以三棱锥 DABC 高的最大值为 246， 所以三棱锥 DABC 体积的最大值为 9618. 1 3 33 1将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A一个圆台、两个圆锥 B两个圆台、一个圆柱 C两个圆柱、一个圆台 D一个圆柱、两个圆锥 答案 D 解析 从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角 形， 一个矩形， 所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱， 两个圆锥所组成的几何体
14、，如图： 2用长为 8，宽为 4 的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( ) A32 B. C. D. 32 16 8 答案 B 解析 若 8 为底面周长，则圆柱的高为 4，此时圆柱的底面直径为 ，其轴截面的面积为； 8 32 若 4 为底面周长，则圆柱的高为 8，此时圆柱的底面直径为 ，其轴截面的面积为. 4 32 3(2018辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该 圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能 是( ) A圆面 B矩形面 C梯形面 D椭圆面或部分椭圆面 答案 C 解析 将圆柱桶竖放，水面为圆面
15、；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶 水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面， 故选 C. 4棱长为 a 的正四面体的表面积是( ) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 3 6 3 12 3 4 3 答案 D 解析 棱长为 a 的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是 4a2a2. 3 4 3 5 (2019江西重点中学联考)算术书 竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术 ： 置如其周，令相乘也， 又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长 l 与
16、高 h，计算其体积 V 的近似 公式Vl2h， 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3， 那么， 近似公式Vl2h 1 36 25 942 相当于将圆锥体积公式中的 近似取( ) A. B. 22 7 25 8 C. D. 157 50 355 113 答案 C 解析 V r2h 2h l2h， 1 3 1 3 ( l 2) 1 12 由，得 ，故选 C. 1 12 25 942 157 50 6(2018四川棠湖中学月考)用一个平面去截正方体，则截面不可能是( ) A直角三角形 B等边三角形 C正方形 D正六边形 答案 A 解析 用一个平面去截正方体，则截面的情况为： 截面为三角形时，
17、可以是锐角三角形、 等腰三角形、 等边三角形， 但不可能是钝角三角形、 直角三角形； 截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯 形； 截面为五边形时，不可能是正五边形； 截面为六边形时，可以是正六边形 7给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 存在每个面都是直角三角形的四面体 其中正确命题的序号是_ 答案 解析 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等 ； 正 确，若三棱锥的三条侧棱
18、两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角 ； 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面 ； 正确，如图，正方 体 ABCDA1B1C1D1中的三棱锥 C1ABC，四个面都是直角三角形 8如图所示，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为 r 的实 心铁球，水面高度恰好升高 r，则 _. R r 答案 2 3 3 解析 由水面高度升高 r，得圆柱体积增加了 R2r，恰好是半径为 r 的实心铁球的体积，因 此有 r3R2r.故 . 4 3 R r 23 3 9一个六棱锥的体积为 2，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥3
19、的侧面积为_ 答案 12 解析 设六棱锥的高为 h，则 V Sh， 1 3 所以 46h2，解得 h1. 1 3 3 4 3 设六棱锥的斜高为 h， 则 h2()2h2，故 h2.3 所以该六棱锥的侧面积为 22612. 1 2 10(2017全国)长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的 表面积为_ 答案 14 解析 长方体的顶点都在球 O 的球面上， 长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径 设球的半径为 R，则 2R.32221214 球 O 的表面积为 S4R24 214. ( 14 2 ) 11若圆锥的表面积是 15，侧面展开图的圆心角是 60，
20、求圆锥的体积 解 设圆锥的底面半径为 r，母线为 l， 则 2r l，得 l6r. 1 3 又 S锥r2r6r7r215，得 r， 15 7 圆锥的高 hrl2r236r2r235 5，35 15 7 3 V r2h 5. 1 3 1 3 15 7 3 253 7 12若 E，F 是三棱柱 ABCA1B1C1侧棱 BB1和 CC1上的点，且 B1ECF，三棱柱的体积 为 m，求四棱锥 ABEFC 的体积 解 如图所示，连接 AB1，AC1. 因为 B1ECF，所以梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1的面积 又四棱锥 ABEFC 的高与四棱锥 AB1EFC1的高相等， 所以 VABEFC
21、 11 AB EFC V 1 2 1 1 .ABB C C V 又h， 1 1 1 AA B C V 1 3 1 1 1 A B C S hm， 1 1 1 ABCA B C V 1 1 1 A B C S 所以 ， 1 1 1 AA B C V m 3 所以， 1 1 .ABB C C V 1 1 1 ABCA B C V 1 1 1 AA B C V 2m 3 所以 VABEFC ， 1 2 2m 3 m 3 即四棱锥 ABEFC 的体积是 . m 3 13已知边长为 a 的菱形 ABCD 中，ABC60，将该菱形沿对角线 AC 折起，使 BDa， 则三棱锥 DABC 的体积为( ) A.
22、 B. C. D. a3 6 a3 12 3a 3 12 2a 3 12 答案 D 解析 在边长为 a 的菱形 ABCD 中，ABC60，将该菱形沿对角线 AC 折起，使 BDa， 则三棱锥 DABC 为正四面体，D 在底面的射影为正三角形的中心 O，hOD ，DE2OE2 3 4a 2 1 12a 2 6a 3 所以三棱锥 DABC 的体积为 V Sh . 1 3 1 3 3a 2 4 6a 3 2a 3 12 14.如图， 一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4 m， 一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 P 处若该小虫爬行的最短路程为 4 m，则圆锥2
23、底面圆的半径等于_ m. 答案 1 解析 把圆锥侧面沿过点 P 的母线展开成如图所示的扇形， 由题意 OP4，PP4，2 则 cosPOP0，且POP是三角形的内角， 4242422 2 4 4 所以POP . 2 设底面圆的半径为 r， 则 2r 4，所以 r1. 2 15 已知过球面上 A， B， C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半， 且 AB18， BC24， AC30，求球的表面积和体积 解 因为 ABBCAC182430345， 所以ABC 是直角三角形，B90. 又球心 O 在截面ABC 上的投影 O为截面圆的圆心， 也即是 RtABC 的外接圆的圆心， 所以斜边 AC 为
24、截面圆 O的直径(如图所示)， 设 OCr，OCR， 则球半径为 R，截面圆半径为 r， 在 RtOCO 中，由题设知 sinOCO ， OO OC 1 2 所以OCO30，所以 cos 30， r R 3 2 即 Rr， (*) 2 3 又 2rAC30r15， 代入(*)得 R10 . 3 所以球的表面积为 S4R24(10)21 200.3 球的体积为 V R3 4 3 (10)34 000. 4 3 33 16.如图， ABC 内接于圆 O， AB 是圆 O 的直径， 四边形 DCBE 为平行四边形， DC平面 ABC， AB4，EB2 . 3 (1)求证：DE平面 ACD； (2)设
25、 ACx，V(x)表示三棱锥 BACE 的体积，求函数 V(x)的解析式及最大值 (1)证明 四边形 DCBE 为平行四边形， CDBE，BCDE. DC平面 ABC，BC平面 ABC，DCBC. AB 是圆 O 的直径，BCAC，且 DCACC， DC，AC平面 ADC， BC平面 ADC. DEBC，DE平面 ADC. (2)解 DC平面 ABC，DCBE， BE平面 ABC. 在 RtABE 中，AB4，EB2 . 3 在 RtABC 中，ACx， BC(0x4)，16x2 SABC ACBC x， 1 2 1 2 16x2 V(x)V三棱锥 EABCx(0x4) 3 3 16x2 x2(16x2) 264， ( x216x2 2 ) 当且仅当 x216x2，即 x2时取等号，2 当 x2时，体积有最大值.2 83 3