2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第八章 8.6 立体几何中的向量方法（一）含解析.pdf

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1、8.6 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(一一)证明平行与垂直证明平行与垂直 最新考纲 1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的 垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) 1两个重要向量 直线的 方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方 向向量有无数个 平面的 法向量 直线 l平面 ，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 的法向 量显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量 2.空间位置关系的向量表示 位置关系向量表示 l1l2n1n2n1n2 直线 l1，l2的方向

2、向量分别为 n1，n2 l1l2n1n2n1n20 lnmmn0 直线 l 的方向向量为 n， 平面 的法向量为 m lnmnm nmnm 平面 ， 的法向量分别为 n，m nmnm0 概念方法微思考 1直线的方向向量如何确定？ 提示 l 是空间一直线，A，B 是 l 上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线 l 的方AB AB 向向量 2如何确定平面的法向量？ 提示 设 a， b 是平面 内两不共线向量， n 为平面 的法向量， 则求法向量的方程组为Error! 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的( ) (2)平面的单位法向量

3、是唯一确定的( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行( ) (5)若 ab，则 a 所在直线与 b 所在直线平行( ) (6)若空间向量 a 平行于平面 ，则 a 所在直线与平面 平行( ) 题组二 教材改编 2设 u，v 分别是平面 ， 的法向量，u(2，2，5)，当 v(3，2，2)时， 与 的位 置关系为_；当 v(4，4，10)时， 与 的位置关系为_ 答案 解析 当 v(3，2，2)时， uv(2，2，5)(3，2，2)0. 当 v(4，4，10)时，v2u. 3如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面正

4、方形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的 中点，N 是 A1B1的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是_ 答案 垂直 解析 以 A 为原点，分别以，所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所AB AD AA1 示 设正方体的棱长为 1，则 A(0，0，0)，M，O，N， (0，1， 1 2) ( 1 2， 1 2，0) ( 1 2，0，1) 0，AM ON (0，1， 1 2) (0， 1 2，1) ON 与 AM 垂直 题组三 易错自纠 4直线 l 的方向向量 a(1，3，5)，平面 的法向量 n(1，3，5)，则有( ) Al Bl Cl 与 斜交 Dl 或 l 答案 B 解

5、析 由 an 知，na，则有 l，故选 B. 5已知平面 ， 的法向量分别为 n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则( ) A B C， 相交但不垂直 D以上均不对 答案 C 解析 n1n2，且 n1n22(3)315(4)230， 既不平行，也不 垂直 6已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是( ) A(1，1，1) B(1，1，1) C. D. ( 3 3 ， 3 3 ， 3 3) ( 3 3 ， 3 3 ， 3 3) 答案 C 解析 设 n(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，(1，1，0)，(1，0，1)，AB AC 则E

6、rror!化简得Error! xyz.故选 C. 题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示， 平面 PAD平面 ABCD， ABCD 为正方形， PAD 是直角三角形， 且 PAAD 2，E，F，G 分别是线段 PA，PD，CD 的中点求证：PB平面 EFG. 证明 平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且 PAAD， AB，AP，AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)， D(0，2，0)，P(0，0

7、，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0) (2，0，2)，(0，1，0)，(1，1，1)，PB FE FG 设st，PB FE FG 即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)， Error!解得 st2，22，PB FE FG 又与不共线，与共面FE FG PB FE FG PB平面 EFG，PB平面 EFG. 引申探究 若本例中条件不变，证明平面 EFG平面 PBC. 证明 (0，1，0)，(0，2，0)，EF BC 2，BCEF.BC EF 又EF平面 PBC，BC平面 PBC，EF平面 PBC， 同理可证 GFPC，从而得出 GF平面 PBC. 又 EFGFF

8、，EF，GF平面 EFG， 平面 EFG平面 PBC. 思维升华 利用空间向量证明平行的方法 线线平行证明两直线的方向向量共线 线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； 证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题 跟踪训练1 如图， 在三棱锥PABC中， PA底面ABC， BAC90.点D， E， N分别为棱PA， PC， BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PAAC4，AB2. 求证：MN平面 BDE. 证明 如图，以 A 为原点，分别以， ，的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方AB AC AP 向建立

9、空间直角坐标系 由题意， 可得 A(0， 0， 0)， B(2， 0， 0)， C(0， 4， 0)， P(0， 0， 4)， D(0， 0， 2)， E(0， 2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0) (0，2，0)，(2，0，2)DE DB 设 n(x，y，z)为平面 BDE 的一个法向量， 则Error!即Error!不妨设 z1， 可得 n(1，0，1)又(1，2，1)，可得n0.MN MN 因为 MN平面 BDE，所以 MN平面 BDE. 题型二 利用空间向量证明垂直问题 命题点 1 证明线面垂直 例 2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长

10、都为 2，D 为 CC1的中点求证：AB1平面 A1BD. 证明 方法一 设平面 A1BD 内的任意一条直线 m 的方向向量为 m.由共面向量定理， 则存在 实数 ，使 m.BA1 BD 令a，b，c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以BB1 BC BA 它们为空间的一个基底， 则ac， ab，ac，BA1 BD 1 2 AB1 mabc，BA1 BD ( 1 2) m(ac)AB1 ( 1 2)abc 4240.故m，结论得证 ( 1 2) AB1 方法二 取 BC 的中点 O，连接 AO. 因为ABC 为正三角形， 所以 AOBC. 因为在正三棱柱 ABCA1B1

11、C1中，平面 ABC平面 BCC1B1， 且平面 ABC平面 BCC1B1BC，AO平面 ABC， 所以 AO平面 BCC1B1. 取 B1C1的中点 O1，以 O 为原点，分别以 OB，OO1，OA 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系，如图所示， 则 B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，3 A(0，0，)，B1(1，2，0)3 设平面 A1BD 的一个法向量为 n(x，y，z)，(1，2，)，(2，1，0)BA1 3BD 因为 n，n，BA1 BD 故Error!即Error! 令 x1，则 y2，z，3 故 n(1，2，)为平面 A1BD 的一个法向量

12、，3 而(1，2，)，所以n，所以n，AB1 3AB1 AB1 故 AB1平面 A1BD. 命题点 2 证明面面垂直 例 3 如图，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形，ADDE2AB. 求证：平面 BCE平面 CDE. 证明 设 ADDE2AB2a， 以 A 为原点，分别以 AC，AB 所在直线为 x 轴，z 轴，以过点 A 垂直于 AC 的直线为 y 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，3 E(a，a，2a)3 所以(a，a，a)，(2a，0，a)，(a，a，0)，(0，0，

13、2a)BE 3BC CD 3ED 设平面 BCE 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 由 n10，n10 可得BE BC Error! 即Error! 令 z12，可得 n1(1，2)3 设平面 CDE 的法向量为 n2(x2，y2，z2)， 由 n20，n20 可得CD ED Error! 即Error! 令 y21，可得 n2(，1，0)3 因为 n1n211()200.33 所以 n1n2， 所以平面 BCE平面 CDE. 思维升华 利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们 的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将 线

14、面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判 定定理用向量表示 跟踪训练 2 如图所示， 已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形， ABCBCD90， AB BCPBPC2CD，侧面 PBC底面 ABCD.证明： (1)PABD； (2)平面 PAD平面 PAB. 证明 (1)取 BC 的中点 O，连接 PO， 平面 PBC底面 ABCD，PBC 为等边三角形， 平面 PBC底面 ABCDBC，PO平面 PBC， PO底面 ABCD. 以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴，OP 所在直线为

15、 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 不妨设 CD1，则 ABBC2，PO，3 A(1，2，0)，B(1，0，0)，D(1，1，0)，P(0，0，)，3 (2，1，0)，(1，2，)BD PA 3 (2)1(1)(2)0()0，BD PA 3 ，PA BD PABD. (2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M. ( 1 2，1， 3 2) ，(1，0，)，DM ( 3 2，0， 3 2) PB 3 100()0，DM PB 3 2 3 2 3 ，即 DMPB.DM PB 10(2)()0，DM PA 3 2 3 2 3 ，即 DMPA.DM PA 又PAPBP，PA，PB平面 PAB，

16、 DM平面 PAB. DM平面 PAD，平面 PAD平面 PAB. 题型三 利用空间向量解决探索性问题 例 4 (2018林州模拟)如图， 在四棱锥 PABCD 中， PD底面 ABCD， 底面 ABCD 为正方形， PD DC，E，F 分别是 AB，PB 的中点 (1)求证：EFCD； (2)在平面 PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB，并证明你的结论 (1)证明 如图，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系， 设 ADa，则 D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F. (

17、a， a 2，0) ( a 2， a 2， a 2) ，(0，a，0)EF ( a 2，0， a 2) DC 0，即 EFCD.EF DC EF DC (2)解 设 G(x，0，z)，则，FG (x a 2， a 2，z a 2) 若使 GF平面 PCB，则需0，且0，FG CB FG CP 由(a，0，0)FG CB (x a 2， a 2，z a 2) a0，得 x ； (x a 2) a 2 由(0，a，a)FG CP (x a 2， a 2，z a 2) a0，得 z0. a2 2 (z a 2) G 点坐标为，即 G 为 AD 的中点 ( a 2，0，0) 思维升华 对于“是否存在”

18、型问题的探索方式有两种 ： 一种是根据条件作出判断，再进一步 论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找 到“存在点” ，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在” 跟踪训练3 如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD， E2 为 PD 上一点，PE2ED. (1)求证：PA平面 ABCD； (2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 BF平面 AEC？若存在，指出 F 点的位置，并证明； 若不存在，请说明理由 (1)证明 PAAD1，PD，2 PA2AD2PD2，即 PAAD. 又 PACD，ADCDD，AD，CD

19、平面 ABCD， PA平面 ABCD. (2)解 以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E，(1，1，0)，. (0， 2 3， 1 3) AC AE (0， 2 3， 1 3) 设平面 AEC 的法向量为 n(x，y，z)， 则Error! 即Error! 令 y1，则 n(1，1，2) 假设侧棱 PC 上存在一点 F，且(01)，CF CP 使得 BF平面 AEC，则n0.BF 又(0，1，0)(，)BF BC CF (，1，)， n120， ，B

20、F 1 2 存在点 F，使得 BF平面 AEC，且 F 为 PC 的中点 1若直线 l 的方向向量为 a(1，0，2)，平面 的法向量为 n(2，1，1)，则( ) Al Bl Cl 或 l Dl 与 斜交 答案 C 解析 a(1，0，2)，n(2，1，1)， an0，即 an， l 或 l. 2若 a(2，3，m)，b(2n，6，8)，且 a，b 为共线向量，则 mn 的值为( ) A7 B.5 2 C6 D8 答案 C 解析 由 a，b 为共线向量，知 n0 且 ， 2 2n 3 6 m 8 解得 m4，n2，则 mn6.故选 C. 3已知平面 内有一点 M(1，1，2)，平面 的一个法向

21、量为 n(6，3，6)，则下列点 P 中，在平面 内的是( ) AP(2，3，3) BP(2，0，1) CP(4，4，0) DP(3，3，4) 答案 A 解析 逐一验证法，对于选项 A，(1，4，1)，MP n61260，n，点 P 在平面 内，同理可验证其他三个点不在平面 内MP MP 4.如图，F 是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 CD 的中点，E 是 BB1上一点，若 D1FDE，则 有( ) AB1EEB BB1E2EB CB1E EB 1 2 DE 与 B 重合 答案 A 解析 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 (图略)

22、，设正方体的棱长为 2，则 D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设 E(2，2，z)，则 (0，1，2)，(2，2，z)，02122z0，D1F DE D1F DE z1，B1EEB. 5设 u(2，2，t)，v(6，4，4)分别是平面 ， 的法向量若 ，则 t 等于( ) A3 B4 C5 D6 答案 C 解析 ，uv262(4)4t0，t5. 6 已知(1， 5， 2)，(3， 1， z)， 若，(x1， y， 3)， 且 BP平面 ABC，AB BC AB BC BP 则实数 xy_. 答案 25 7 解析 由条件得Error! 解得 x，y，z4，xy. 40 7

23、15 7 40 7 15 7 25 7 7(2018广州质检)已知平面 内的三点 A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面 的一 个法向量 n(1，1，1)，则不重合的两个平面 与 的位置关系是_ 答案 解析 设平面 的法向量为 m(x，y，z)， 由 m0，得 x0yz0，即 yz，AB 由 m0，得 xz0，即 xz，取 x1，AC m(1，1，1)，mn，mn，. 8已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，AB AD (1，2，1)对于结论 ： APAB； APAD； 是平面 ABCD 的法向量 ； AP AP AP .

24、其中正确的是_(填序号)BD 答案 解析 0，0，AB AP AD AP ABAP，ADAP，则正确； 又 ABADA，AP平面 ABCD， 是平面 ABCD 的法向量，则正确；AP (2，3，4)，(1，2，1)，BD AD AB AP 与不平行，故错误BD AP 9.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别是棱 BC，DD1上的点，如果 B1E 平面 ABF，则 CE 与 DF 的和为_ 答案 1 解析 以 D1为原点， D1A1， D1C1， D1D 所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系(图略)， 设 CEx，DFy， 则易知 E(x，1，1)，B

25、1(1，1，0)，F(0，0，1y)，B(1，1，1)， (x1，0，1)，(1，1，y)，B1E平面 ABF，B1E FB (1，1，y)(x1，0，1)0，即 xy1.FB B1E 10.如图， 四边形ABCD为正方形， PD平面ABCD， PDQA， QAAB PD.证明 ： 平面PQC 1 2 平面 DCQ. 证明 如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长度，DA，DP，DC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz. 由题意得 Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)， 则(1，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)DQ DC PQ

26、 0，0，即 PQDQ，PQDC.PQ DQ PQ DC 又 DQDCD，DQ，DC平面 DCQ， PQ平面 DCQ，又 PQ平面 PQC， 平面 PQC平面 DCQ. 11.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB 的中点 (1)证明：ACBC1； (2)证明：AC1平面 CDB1. 证明 因为直三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长分别为 AC3，BC4，AB5，所以ABC 为直角三角形，ACBC. 所以 AC，BC，C1C 两两垂直 如图，以 C 为坐标原点，直线 CA，CB，CC1分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则 C

27、(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，C1(0，0，4)，A1(3，0，4)，B1(0，4，4)，D. ( 3 2，2，0) (1)因为(3，0，0)，(0，4，4)，AC BC1 所以0，所以 ACBC1.AC BC1 (2)设 CB1与 C1B 的交点为 E，连接 DE，则 E(0，2，2)，(3，0，4)，DE ( 3 2，0，2) AC1 所以，DEAC1.DE 1 2AC 1 因为 DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1， 所以 AC1平面 CDB1. 12.如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 AA1C1C 和侧面 AA1B1B 都是正方形且互相 垂直，

28、M 为 AA1的中点，N 为 BC1的中点求证： (1)MN平面 A1B1C1； (2)平面 MBC1平面 BB1C1C. 证明 由题意，知 AA1，AB，AC 两两垂直， 以 A 为坐标原点，分别以 AA1，AB，AC 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系 设正方形 AA1C1C 的边长为 2， 则 A(0，0，0)，A1(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(2，2，0)， C(0，0，2)，C1(2，0，2)，M(1，0，0)，N(1，1，1) (1)由题意知 AA1A1B1，AA1A1C1， 又 A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面 A1B1C1，

29、 所以 AA1平面 A1B1C1. 因为(2，0，0)，(0，1，1)，AA1 MN 所以0，即.MN AA1 MN AA1 又 MN平面 A1B1C1， 故 MN平面 A1B1C1. (2)设平面 MBC1与平面 BB1C1C 的法向量分别为 n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2) 因为(1，2，0)，(1，0，2)，MB MC1 所以Error!即Error! 令 x12，则平面 MBC1的一个法向量为 n1(2，1，1) 同理可得平面 BB1C1C 的一个法向量为 n2(0，1，1) 因为 n1n22011(1)10， 所以 n1n2，所以平面 MBC1平面 BB1C1C.

30、13.如图， 正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直， AB， AF1， M 在 EF 上， 且 AM2 平面 BDE，则 M 点的坐标为( ) A(1，1，1) B.( 2 3 ， 2 3 ，1) C.( 2 2 ， 2 2 ，1) D.( 2 4 ， 2 4 ，1) 答案 C 解析 设 AC 与 BD 相交于 O 点，连接 OE， AM平面 BDE，且 AM平面 ACEF， 平面 ACEF平面 BDEOE， AMEO， 又 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，M 为线段 EF 的中点 在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(， ，1)22 由中点坐标公式，知点 M 的坐标

31、为. ( 2 2 ， 2 2 ，1) 14.如图所示， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 棱长为 a， M， N 分别为 A1B 和 AC 上的点， A1M AN，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( ) 2a 3 A相交 B平行 C垂直 DMN 在平面 BB1C1C 内 答案 B 解析 以点 C1为坐标原点，分别以 C1B1，C1D1，C1C 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如 图所示的空间直角坐标系， 由于 A1MAN， 2a 3 则 M，N， (a， 2a 3 ，a 3) ( 2a 3 ，2a 3 ，a) .MN ( a 3，0， 2a 3) 又 C1D1平面 B

32、B1C1C， 所以(0，a，0)为平面 BB1C1C 的一个法向量C1D1 因为0，MN C1D1 所以，又 MN平面 BB1C1C，MN C1D1 所以 MN平面 BB1C1C. 15.如图，圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形，O 为底面中心，M 为 SO 的中点，动 点 P 在圆锥底面内(包括圆周)若 AMMP，则点 P 形成的轨迹长度为_ 答案 7 2 解析 以 O 点为坐标原点，OB，OS 所在直线分别为 y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 则 A(0，1，0)，B(0，1，0)， S，M，(0，0， 3) (0，0， 3 2) 设 P(x，y，0)， ，A

33、M (0，1， 3 2) MP (x，y， 3 2) 由y 0，得 y ，AM MP 3 4 3 4 点 P 的轨迹方程为 y .根据圆的弦长公式，可得点 P 形成的轨迹长度为 2. 3 4 1(3 4) 2 7 2 16.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E 为 CD 中点 (1)求证：B1EAD1； (2)在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存在，说 明理由 (1)证明 以 A 为原点， ，的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的AB AD AA1 空间直角坐标系 设 ABa. 则 A(0，0，0)

34、，D(0，1，0)， D1(0，1，1)，E， ( a 2，1，0) B1(a，0，1)， 故(0，1，1)，.AD1 B1E ( a 2，1，1) 则 011(1)10，B1E AD1 a 2 所以，B1E AD1 所以 B1EAD1. (2)解 存在满足要求的点 P， 假设在棱 AA1上存在一点 P(0，0，z0)， 使得 DP平面 B1AE，此时(0，1，z0)，DP 再设平面 B1AE 的一个法向量为 n(x，y，z) (a，0，1)，.AB1 AE ( a 2，1，0) 因为 n平面 B1AE， 所以 n，n，得Error!AB1 AE 取 x1，则 y ，za， a 2 则平面 B1AE 的一个法向量 n. (1， a 2，a) 要使 DP平面 B1AE，只要 n，即 az00，DP a 2 解得 z0 . 1 2 所以棱 AA1上存在点 P，满足 DP平面 B1AE，此时 AP . 1 2