《2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第十二章 12.4 二项分布与正态分布含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第十二章 12.4 二项分布与正态分布含解析.pdf（22页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、12.4 二项分布与正态分布 二项分布与正态分布 最新考纲 1.在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解 n 次独立重复 试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.3.通过实际问题，借助直观(如实际问 题的直方图)认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 1条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B， 在已知事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的概率叫做条件概率， 用符号 P(B|A)来表示，其公式为 P(B|A)(P(A)0) PAB PA 在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A). nAB nA (2)条件概率具
2、有的性质 0P(B|A)1； 如果 B 和 C 是两个互斥事件， 则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 2相互独立事件 (1)对于事件 A，B，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称事件 A，B 是相互独立 事件 (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)， P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B) (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立BAAB (4)若 P(AB)P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立 3独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试
3、验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都 是一样的 (2)在n次独立重复试验中， 用X表示事件A发生的次数， 设每次试验中事件A发生的概率为p， 则 P(Xk)C pk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 X k n B(n，p)，并称 p 为成功概率 4两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p) (2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p) 5正态分布 (1)正态曲线：函数 ，(x)，x(，)，其中实数 和 为参数(0， 2 2 () 2
4、 1 e 2 x u R)我们称函数 ，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线 (2)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 x 对称； 曲线在 x 处达到峰值； 1 2 曲线与 x 轴之间的面积为 1； 当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中 ； 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散，如图乙所示 (3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数 a，b(a2c 1) P(X2c1)P(X4，根据正态曲线的对称性，
5、 当函数 f(x)x24x 没有零点的概率是 时，4. 1 2 题型一 条件概率 例 1 (1)在 100 件产品中有 95 件合格品，5 件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一 件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为 答案 4 99 解析 方法一 (应用条件概率公式求解)设事件 A 为“第一次取到不合格品” ，事件 B 为“第 二次取到不合格品” ，则所求的概率为 P(B|A)， 因为 P(AB)，P(A)， C2 5 C 2100 1 495 C1 5 C 1100 1 20 所以 P(B|A). PAB PA 1 495 1 20 4 99 方法二 (缩小样本空间
6、求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有 99 件产 品，其中有 4 件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为. 4 99 (2)一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设 投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正 方形区域的事件记为 B，求 P(AB)，P(A|B) 解 如图，n()9，n(A)3，n(B)4， n(AB)1，P(AB) ， 1 9 P(A|B) . nAB nB 1 4 思维升华 (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)，这是通用的求条件概率
7、的 PAB PA 方法 (2)借助古典概型概率公式， 先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)， 再在事件 A 发生的条件下求 事件 B 包含的基本事件数，即 n(AB)，得 P(B|A). nAB nA 跟踪训练 1 已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡， 这些灯泡的外形与功率都相同且灯 口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第 1 次取 到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次取到的是卡口灯泡的概率为( ) A. B. C. D. 3 10 2 9 7 8 7 9 答案 D 解析 方法一 设事件 A 为“第 1 次取到的是螺口灯泡” ，事件 B 为“第
8、 2 次取到的是卡口 灯泡” ， 则 P(A)，P(AB) ， 3 10 3 10 7 9 7 30 则所求概率为 P(B|A) . PAB PA 7 30 3 10 7 9 方法二 第 1 次取到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡，其中有 7 只卡口灯泡，故第 2 次取到卡口 灯泡的概率为 . C1 7 C1 9 7 9 题型二 独立重复试验与二项分布 命题点 1 独立事件的概率 例 2 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭 同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭 3 4 都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概
9、率是 .若各家庭回答是否正确互不 1 12 1 4 影响 (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率 解 (1)记 “甲回答正确这道题” “乙回答正确这道题” “丙回答正确这道题” 分别为事件 A， B， C，则 P(A) ， 3 4 且有Error!Error! 即Error!Error! 所以 P(B) ，P(C) . 3 8 2 3 (2)有 0 个家庭回答正确的概率为 P0P( )P( )P( )P( )A B CABC ， 1 4 5 8 1 3 5 96 有 1 个家庭回答正确的概率为 P1P(A B C)B
10、 CA CA B ， 3 4 5 8 1 3 1 4 3 8 1 3 1 4 5 8 2 3 7 24 所以不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率为 P1P0P11. 5 96 7 24 21 32 命题点 2 独立重复试验 例 3 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要 么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分， 出现三次音乐获得 100 分， 没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分) 设每次击鼓出现音 乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立 1 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的
11、分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X 可能的取值为 10,20,100，200. 根据题意，有 P(X10)C 12 ，1 3 ( 1 2) (1 1 2) 3 8 P(X20)C 21 ，2 3 ( 1 2) (1 1 2) 3 8 P(X100)C 30 ，3 3 ( 1 2) (1 1 2) 1 8 P(X200)C 03 .0 3 ( 1 2) (1 1 2) 1 8 所以 X 的分布列为 X1020100200 P 3 8 3 8 1 8 1 8 (2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3)， 则 P(A1)P(A2)P(A
12、3)P(X200) . 1 8 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1P(A1A2A3)1 31 . ( 1 8) 1 512 511 512 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是. 511 512 命题点 3 二项分布 例 4 某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留到小数点后第 2 位)： (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率； (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率； (3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率 解 令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数， 则 XB.(5，0.8) (1)“5 次 预 报 中 恰 有 2 次
13、准 确 ”的 概 率 为 P(X 2) C 0.82 32 5 (10.8) 100.640.0080.05. (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率为 P(X2)1P(X0)P(X1)1C 0.80 0 5 5C 0.8410.000 320.006 40.99. (10.8) 1 5 (10.8) (3)“5 次预报中恰有2 次准确，且其中第3 次预报准确”的概率为C 0.8 30.80.02.1 4 (10.8) 思维升华 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法 首先判断几个事件的发生是否相互独立 求相互独立事件同时发生的概率的方法 ()利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
14、 ()正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算 (2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确 利用公式求概率 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定 二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率 跟踪训练 2 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况， 交通部门随机选取 100 名家用轿车驾 驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为 ： 在 55 名男性驾驶员中，平均 车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过 100 k
15、m/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车 速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人 (1)在被调查的驾驶员中， 从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人， 求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率； (2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平 均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的分布列 解 (1)平均车速不超过 100 km/h 的驾驶员有 40 人，从中随机抽取 2 人的方法总数为 C ， 2 40 记“这 2 人
16、恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员”为事件 A，则事件 A 所包含的基本事 件数为 C C ，所以所求的概率 P(A). 1 151 25 C 1 15C1 25 C 2 40 15 25 20 39 25 52 (2)根据样本估计总体的思想， 从总体中任取 1 辆车， 平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员 的概率为 ， 40 100 2 5 故 XB.X 的可能取值为 0,1,2,3， (3， 2 5) 则 P(X0)C 03 ， 0 3(2 5) ( 3 5) 27 125 P(X1)C 2 ， 1 3 2 5( 3 5) 54 125 P(X2)C 2 ， 2 3(2
17、 5) 3 5 36 125 P(X3)C 30 . 3 3(2 5) ( 3 5) 8 125 所以 X 的分布列为 X0123 P 27 125 54 125 36 125 8 125 题型三 正态分布 例 5 (2017全国)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随 机抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常 状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(，2) (1)假设生产状态正常， 记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3， 3之外的零 件数，求 P(X1)及 X 的均值； (2)一天内抽检零件中，如果出现
18、了尺寸在(3，3之外的零件，就认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 ()试说明上述监控生产过程方法的合理性； ()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 995 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 1026 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 i9.97，s 0.212，其中 xi为x 1 16 16 i1 x 1 16 16 i1 x ix 2 1 16 16 i1 x2 i16x 2 抽取的第 i 个零件的尺寸，i1,2，16. 用样本平均数作为
19、 的估计值 ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ，利用估计值判断是x 否需对当天的生产过程进行检查？剔除( 3 ， 3 )之外的数据， 用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01) 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(，2)，则 P(3900)0.022 8， 10.954 4 2 P(X900)10.022 80.977 2，故选 A. 5 某班有 50 名学生， 一次考试的数学成绩 服从正态分布 N(100,102)， 已知 P(90100) 0.3，估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为 答案 10 解析 由题意知，P(110)0.2，该班学生数学成绩在 110 分以 12P90
20、 100 2 上的人数为 0.25010. 6在某次射击中，甲命中目标的概率是 ，乙命中目标的概率是 ，丙命中目标的概率是 .现 1 2 1 3 1 4 在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为 答案 3 4 解析 设“甲命中目标”为事件 A，“乙命中目标”为事件 B，“丙命中目标”为事件 C， 则击中目标表示事件A， B， C中至少有一个发生 又P( )P( )P( )P( )1P(A)1A B CABC P(B)1P(C) . (1 1 2) (1 1 3) (1 1 4) 1 4 故目标被击中的概率 P1P( ) .AB C 3 4 7一盒中放有大小相同的 10 个小球，其中 8 个黑球
21、、2 个红球，现甲、乙二人先后各自从 盒子中无放回地任意取 2 个小球，已知甲取到了 2 个黑球，则乙也取到 2 个黑球的概率 是 答案 15 28 解析 记事件 “甲取到 2 个黑球” 为 A， “乙取到 2 个黑球” 为 B， 则有 P(B|A) PAB PA C2 6 C2 8 ，即所求事件的概率是. 15 28 15 28 8.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命(单位 ： 小时)均服从正态分布 N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1 0
22、00 小时的概率 为 答案 3 8 解析 设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A，B，C，显然 P(A)P(B) P(C) ， 1 2 该部件的使用寿命超过 1 000 小时的事件为(A BAB)C，BA 该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 P . ( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2) 1 2 3 8 9位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向 上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率 1 2 是 答案 5 16 解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方
23、向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所 以质点 P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为 C 32C5 . 3 5(1 2) ( 1 2) 3 5(1 2) 5 16 10若随机变量 XN(，2)，且 P(X5)P(X5)P(X4)的 值 解 因为随机变量 XB(2， p)， YN(2， 2)， P(X1)0.64， 所以 P(X1)P(X1)P(X2) C p(1p)C p20.64， 解得p0.4或p1.6(舍去)， 所以P(04) (1 1 22 2 1 2 0.42)0.1. 16.某高校设计了一个实验学科的考核方案：考生从 8 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照 题
24、目要求独立完成全部实验操作规定：至少正确完成其中 2 题的便可提交通过已知 8 道 备选题中考生甲有 6 道题能正确完成，2 道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是 ， 3 4 且每题正确完成与否互不影响 (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算均值； (2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操 作能力 解 (1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数为 ，则 的所有可能取值为 1,2,3； 的所 有可能取值为 0,1,2,3. P(1)，P(2)，P(3). C1 6C2 2 C3 8 3 28 C2 6C1 2 C3 8 15 28
25、C3 6C0 2 C3 8 5 14 所以考生甲正确完成题数的分布列为 123 P 3 28 15 28 5 14 E()123 . 3 28 15 28 5 14 9 4 因为 P(0)C 3 ，同理，P(1)， 0 3(13 4) 1 64 9 64 P(2)，P(3). 27 64 27 64 所以考生乙正确完成题数的分布列为 0123 P 1 64 9 64 27 64 27 64 E()3 . 3 4 9 4 (2)因为 P(2)， 15 28 5 14 25 28 P(2)， 27 64 27 64 54 64 所以 P(2)P(2) 故从正确完成题数的均值考察，两人水平相当；从至少正确完成 2 题的概率考察，甲通过的 可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强