2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第四章 4.7 解三角形的实际应用含解析.pdf

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1、4.7 解三角形的实际应用 解三角形的实际应用 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题 测量中的有关几个术语 术语名称术语意义图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目 标视线在水平视线上方的叫做仰角，目 标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到 目标方向线之间的夹角叫做方位角方 位角 的范围是 0360 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的 锐角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东 ： (2)南偏西 ： 坡角与 坡比 坡面与水平面所成二面角的度数叫坡 度， 为坡角 ； 坡面的

2、垂直高度与水平长 度之比叫坡比，即 i tan h l 概念方法微思考 在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？ 提示 实际测量中有高度、 距离、 角度等问题， 基本思想是根据已知条件， 构造三角形(建模)， 利用正弦定理、余弦定理解决问题 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从A处望B处的仰角为， 从B处望A处的俯角为， 则， 的关系为180.( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( ) 0， 2 (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系( ) (4)方位角大小的范围是0,2)，方向角

3、大小的范围一般是.( ) 0， 2) 题组二 教材改编 2.如图所示， 设 A， B 两点在河的两岸， 一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C， 测出 A， C 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离为_ m. 答案 502 解析 由正弦定理得， AB sinACB AC sin B 又 B30， AB50(m) ACsinACB sin B 50 2 2 1 2 2 3如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30，沿倾斜角为 15的斜坡向上走 a 米到 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60，则山高 h_米 答案 a 2 2 解析 由题图

4、可得PAQ30， BAQ15，在PAB 中，PAB15， 又PBC60， BPA30，(90)(90) 在PAB 中，PBa， a sin 30 PB sin 15 62 2 PQPCCQPBsin asin asin 60asin 15a. 62 2 2 2 题组三 易错自纠 4要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45，在 D 点测 得塔顶 A 的仰角 30， 并测得水平面上的BCD120， CD40 m， 则电视塔的高度为( ) A10 m B20 m2 C20 m D40 m3 答案 D 解析 设电视塔的高度为 x m， 则 BCx， BDx.在B

5、CD 中， 由余弦定理得 3x2x24023 240xcos 120，即 x220x8000，解得 x20(舍去)或 x40.故电视塔的高度为 40 m. 5在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60，C 点的俯角是 70，则 BAC_. 答案 130 解析 6070130. 6海上有 A，B，C 三个小岛，A，B 相距 5 海里，从 A 岛望 C 和 B 成 45视角，从 B3 岛望 C 和 A 成 75视角，则 B，C 两岛间的距离是_海里 答案 52 解析 由题意可知ACB60，由正弦定理得，即， AB sinACB BC sinBAC 53 sin 60 BC

6、sin 45 得 BC5 . 2 题型一 测量距离问题 1 (2018长春检测)江岸边有一炮台高 30 m， 江中有两条船， 船与炮台底部在同一水平面上， 由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距 _m. 答案 103 解析 如图， OMAOtan 4530(m)， ONAOtan 303010(m)， 3 3 3 在MON 中，由余弦定理得 MN9003002 30 103 3 2 10 (m)3003 2.如图，A，B 两点在河的同侧，且 A，B 两点均不可到达，要测出 A，B 的距离，测量者可 以在河岸边选定两点 C，D，若测得 CD km

7、，ADBCDB30，ACD60， 3 2 ACB45，则 A，B 两点间的距离为_ km. 答案 6 4 解析 ADCADBCDB60，ACD60， DAC60， ACDC km. 3 2 在BCD 中，DBC45， 由正弦定理，得 BCsinBDCsin 30(km) DC sinDBC 3 2 sin 45 6 4 在ABC 中，由余弦定理， 得 AB2AC2BC22ACBCcos 45 2 . 3 4 3 8 3 2 6 4 2 2 3 8 AB km. 6 4 A，B 两点间的距离为 km. 6 4 3如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为 300 m3

8、 且和 P， Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点， 现测得PAB90， PAQ PBAPBQ60，则 P，Q 两点间的距离为_ m. 答案 900 解析 由已知，得QABPABPAQ30. 又PBAPBQ60， AQB30，ABBQ. 又 PB 为公共边，PABPQB， PQPA. 在 RtPAB 中，APABtan 60900，故 PQ900， P，Q 两点间的距离为 900 m. 思维升华 求距离问题的两个策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解； 若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余

9、弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 题型二 测量高度问题 例 1 (2018福州测试)如图，小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直 线匀速行驶，小明在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30，45，且BAC135， 若山高 AD100 m，汽车从 B 点到 C 点历时 14 s，则这辆汽车的速度约为_ m/s.(精 确到 0.1，参考数据：1.414，2.236)25 答案 22.6 解析 因为小明在A处测得公路上B， C两点的俯角分别为30， 45， 所以BAD60， CAD 45， 设这辆汽车的速度为 v m/s， 则 BC14v， 在 RtADB 中

10、， AB AD cosBAD AD cos 60 200.在 RtADC 中， AC100.在ABC 中， 由余弦定理， 得BC2AC2 AD cosCAD 100 cos 45 2 AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所以 v22 22.6，所以这辆汽车的速度约为 22.6 m/s. 5010 7 思维升华 (1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似 的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中 (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一

11、 个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错 跟踪训练 1 如图所示， 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ， 在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 .已知铁塔 BC 部分的高为 h，则山高 CD_. 答案 hcos sin sin 解析 由已知得BCA90，ABC90，BAC，CAD. 在ABC 中，由正弦定理得， AC sinABC BC sinBAC 即， AC sin90 BC sin AC. BCcos sin hcos sin 在 RtACD 中，CDACsinCADACsin . hcos sin sin 故山高 CD 为. hcos sin sin 题

12、型三 角度问题 例 2 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东 15(BAC15) 的方向，匀速向北航行 20 分钟后到达 B 处，测得山顶 P 位于北偏东 60的方向，此时测得 山顶 P 的仰角为 60，已知山高为 2 千米3 (1)船的航行速度是每小时多少千米？ (2)若该船继续航行 10 分钟到达 D 处，问此时山顶位于 D 处南偏东多少度的方向？ 解 (1)在BCP 中，由 tanPBC， PC BC 得 BC2， PC tanPBC 在ABC 中，由正弦定理得，即， BC sinBAC AB sinBCA 2 sin 15 AB sin 45 所以 AB2

13、(1)，3 故船的航行速度是每小时 6(1)千米3 (2)在BCD 中，BD1，BC2，CBD60，3 则由余弦定理得 CD，6 在BCD 中，由正弦定理得， CD sinDBC BC sinCDB 即，所以 sinCDB， 6 sin 60 2 sinCDB 2 2 所以，山顶位于 D 处南偏东 45的方向 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角和方向角的含义 (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步 (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用 跟踪训练 2 如图所示， 已知两座灯塔 A

14、和 B 与海洋观察站 C 的距离相等， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东40的方向上， 灯塔B在观察站C的南偏东60的方向上， 则灯塔A在灯塔B的_ 的方向上 答案 北偏西 10 解析 由已知得ACB180406080， 又 ACBC，AABC50，605010， 灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10的方向上 1(2018武汉调研)已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测 得ABC120，则 A，C 两地间的距离为( ) A10 km B10 km3 C10 km D10 km57 答案 D 解析 如图所示，由余弦定理可得 AC21004002102

15、0cos 120700，AC10 . 7 2.如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 45，若 CD50 m，山坡对 于地平面的坡度为 ，则 cos 等于( ) A. B. C.1 D.1 3 2 2 2 32 答案 C 解析 在ABC 中，由正弦定理得， AB sin 30 AC sin 135 AC100 . 2 在ADC 中， AC sin90 CD sin 15 cos sin(90)1. ACsin 15 CD 3 3一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里

16、的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后 到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察 灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是( ) A10 海里 B10 海里23 C20 海里 D20 海里32 答案 A 解析 如图所示，易知， 在ABC 中，AB20， CAB30，ACB45， 根据正弦定理得 ， BC sin 30 AB sin 45 解得 BC10 . 2 4.如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从 建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张

17、角为( ) A30 B45 C60 D75 答案 B 解析 依题意可得 AD20，AC30，105 又 CD50，所以在ACD 中， 由余弦定理得 cosCADAC 2AD2CD2 2ACAD ， 30 5220102502 2 305 2010 6 000 6 0002 2 2 又 0CAD180，所以CAD45， 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45. 5(2018郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的 两个测点 C 与 D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角 为 60，则塔高 AB 等于( ) A5

18、B1563 C5 D1526 答案 D 解析 在BCD 中，CBD1801530135. 由正弦定理得，所以 BC15. BC sin 30 CD sin 135 2 在 RtABC 中，ABBCtanACB1515.236 故选 D. 6 (2018广州模拟)如图， 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75， 30， 此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于( ) A240(1)m B180(1)m32 C120(1)m D30(1)m33 答案 C 解析 如图，ACD30，ABD75，AD60 m， 在 RtACD 中， CD AD tanACD 60

19、tan 30 60(m)，3 在 RtABD 中，BD AD tanABD 60 tan 75 60 23 60(2)m，3 BCCDBD6060(2)120(1)m.333 7(2018哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为 100 m，倾斜角为 75的斜坡改造成倾斜角 为 30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m. 答案 1002 解析 设坡底需加长 x m， 由正弦定理得，解得 x100. 100 sin 30 x sin 45 2 8.如图所示，位于 A 处的信息中心获悉 ： 在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险， 在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30

20、、相距 20 海里的 C 处的乙船， 现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 的值为_ 答案 21 14 解析 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcos 1202 800， 得 BC20 . 7 由正弦定理，得， AB sinACB BC sinBAC 即 sinACBsinBAC. AB BC 21 7 由BAC120，知ACB 为锐角， 则 cosACB. 27 7 由 ACB30，得 cos cos(ACB30) cosACBcos 30sinACBsin 30. 21 14 9 (2018青岛模拟)一船

21、向正北航行， 看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条 直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75， 则这艘船的速度是每小时_海里 答案 10 解析 如图所示，依题意有BAC60，BAD75， 所以CADCDA15，从而 CDCA10， 在 RtABC 中，得 AB5， 于是这艘船的速度是10(海里/时) 5 0.5 10(2018泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区 的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿 DC 走到

22、C 用了 3 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径 为_米 答案 507 解析 如图， 连接 OC， 在OCD 中， OD100， CD150， CDO60.由余弦定理得 OC2 100215022100150cos 6017 500，解得 OC50 . 7 11.如图， 在山底 A 点处测得山顶仰角CAB45， 沿倾斜角为 30的斜坡走 1 000 米至 S 点， 又测得山顶仰角DSB75，则山高 BC 为_米 答案 1 000 解析 由题图知 BAS453015， ABS45(90DSB)30， ASB135， 在ABS 中，由正弦定理可得， 1 000 sin 30 A

23、B sin 135 AB1 000，BC1 000.2 AB 2 12.如图， 渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处， 且与岛屿 A 相距 12 海里， 渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向 追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上 (1)求渔船甲的速度； (2)求 sin 的值 解 (1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA. 在ABC 中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC 12220221220cos 120784， 解得 BC28. 所以渔船甲的速度为14(海里/时) BC

24、 2 (2)在ABC 中，因为 AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得 AB sin ， BC sin 120 即 sin . ABsin 120 BC 12 3 2 28 33 14 13.如图， 在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1和 BB1.已知从塔 AA1的底部看塔 BB1顶部的仰角是从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角的 2 倍， 从两塔底部连线中点 C 分别 看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角的正切值为_； 塔 BB1的高为_ m. 答案 45 1 3 解析 设从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角为 ，

25、则 AA160tan ，BB160tan 2. 从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角， A1ACCBB1， AA1 30 30 BB1 ， AA1BB1900，3 600tan tan 2900， tan ，tan 2 ，则 BB160tan 245. 1 3 3 4 14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45方向 600 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响，求该码头将受 到热带风暴影响的时间 解 记现在热带风暴中心的位置为点 A， t 小时后热带风暴中心到达 B 点位置， 在OAB 中， O

26、A600，AB20t，OAB45，根据余弦定理得 OB26002400t2260020t， 2 2 令 OB24502，即 4t2120t1 5750，解得t，所以该码头将受到2 30 215 2 30 215 2 热带风暴影响的时间为15(h) 30 215 2 30 215 2 15某舰艇在 A 处测得一艘遇险渔船在其北偏东 40的方向距离 A 处 10 海里的 C 处，此时 得知， 该渔船正沿南偏东 80的方向以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近， 若舰艇的时速为 21 海里，求舰艇追上渔船的最短时间 解 如图所示，设舰艇追上渔船的最短时间是 t 小时，经过 t 小时渔船到达 B 处，则

27、舰艇也 在此时到达 B 处在ABC 中，ACB4080120，CA10，CB9t，AB21t，由 余弦定理得(21t)2102(9t)22109tcos 120，即 36t29t100，解得 t 或 t 2 3 5 12 (舍)所以 . 2 3 16.如图， 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径 一种是从 A 沿直线步行到 C， 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C，现有甲、乙两位游客从 A 处下山， 甲沿 AC 匀速步行， 速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后， 乙从 A 乘缆车到 B， 在 B 处停留 1 min 后，再匀速步行

28、到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长 为 1 260 m，经测量得 cos A，sin B. 12 13 63 65 (1)问乙出发多少 min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (2)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min， 乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解 (1)cos A，sin B， 12 13 63 65 sin A，cos B， 5 13 16 65 sin Csin(AB) ， 4 5 在ABC 中，由正弦定理， AC sin B AB sin C 得 AB1 040 m， 设乙出发 t min 后，甲、乙距离为 d， 由余弦

29、定理得 d2(130t)2(10050t)22130t(10050t)， 12 13 即 d2200(37t270t50)200. 37(t 35 37) 2625 37 0t，即 0t8，当 t时， 1 040 130 35 37 即乙出发 min 后，乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 (2)sin A， 5 13 由正弦定理，得，即， BC sin A AC sin B BC 5 13 1 260 63 65 BC500 m. 乙从 B 出发时，甲已经走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙的步行速度为 v m/min，则3， | 500 v 710 50| 故33，解得v. 500 v 710 50 1 250 43 625 14 故为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在1 250 43 ，625 14 范围内.