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1、1.4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考情考向分析 逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断 常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度 1简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词 (2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断 pqp 且 qp 或 q非 p 真真真真假 真假假真假 假真假真真 假假假假真 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词：“所有” 、“任意” 、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用 符号“”表示 (2)存在量词 ： “有一个” 、“有
2、些” 、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词， 用符号“”表示 3全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定 命题名称语言表示符号表示命题的否定 全称命题对 M 中任意一个 x， 有 p(x)成立xM，p(x)xM，綈 p(x) 存在性命题存在 M 中的一个 x， 使 p(x)成立xM，p(x)xM，綈 p(x) 概念方法微思考 含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？ 提示 pq：一真即真；pq：一假即假；p，綈 p：真假相反 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)命题“32”是真命题( ) (2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题( ) (
3、3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题( ) (4)命题綈(pq)是假命题，则命题 p，q 都是真命题( ) 题组二 教材改编 2P13 习题 T3已知 p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题綈 p，綈 q，pq，pq 中真命题 的个数为_ 答案 2 解析 p 和 q 显然都是真命题，所以綈 p，綈 q 都是假命题，pq，pq 都是真命题 3P16 例 1命题“xN，x20”的否定是_ 答案 xN，x20 4 P23 测试 T6命题 “对于函数 f(x)x2 (aR)， 存在 aR， 使得 f(x)是偶函数” 为_ a x 命题(填“真”或“假”) 答案 真 解析 当 a0 时，f(x)x2
4、(x0)为偶函数 题组三 易错自纠 5命题“綈 p 为真”是命题“pq 为假”的_条件 答案 充分不必要 解析 由綈 p 为真知，p 为假，可得 pq 为假；反之，若 pq 为假，则可能是 p 真 q 假， 从而綈 p 为假故“綈 p 为真”是“pq 为假”的充分不必要条件 6下列命题中的假命题是_(填序号) xR，lg x1； xR，sin x0； xR，x30； xR,2x0. 答案 解析 当 x10 时，lg 101，则为真命题； 当 x0 时，sin 00，则为真命题； 当 x0，则为真命题 7已知命题 p：xR，x2a0；命题 q：xR，x22ax2a0.若命题“pq”是真 命题，则
5、实数 a 的取值范围为_ 答案 (，2 解析 由已知条件， 知 p 和 q 均为真命题， 由命题 p 为真， 得 a0， 由命题 q 为真， 得 4a2 4(2a)0，即 a2 或 a1，所以 a2. 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 1 设 a， b， c 是非零向量 已知命题 p： 若 ab0， bc0， 则 ac0； 命题 q： 若 ab， bc， 则 ac.则下列命题中的真命题是_(填序号) pq；pq；(綈 p)(綈 q)；p(綈 q) 答案 解析 如图所示， 若 a，b，c，则 ac0，命题 p 为假命题 ； 显然命题 q 为真命题，所以 pqA1A AB B1B 为真命题
6、2设命题 p：函数 ylog2(x22x)的单调增区间是1，)，命题 q：函数 y的值域 1 3x1 为(0,1)，则下列命题中是真命题的为_(填序号) pq；pq；p(綈 q)；綈 q. 答案 解析 函数 ylog2(x22x)的单调增区间是(2，)，所以命题 p 为假命题 由 3x0，得 0 ； ( 1 2) 1 2 log x x， xx成立，故是假命题； ( 1 2) ( 1 3) 对于，当 x 时，有成立，故是真命题； 1 2 111 233 111 1logloglog 232 对于，当 01 x，故是假命题； 1 2 1 2 log x ( 1 2) 对于，x， x2”的否定是_
7、 答案 xR，sin xcos x2 (2)已知命题 p：x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0，则綈 p 是_ 答案 x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)2x；命题 q：x(，0)，3x2x，则下列命 题为真命题的是_(填序号) pq；p(綈 q)；(綈 p)q；(綈 p)(綈 q) 答案 解析 x(0，)，3x2x，所以命题 p 为真命题；x(，0)，3x0”的否定是_ ( 1 3) 答案 xR， x0 ( 1 3) 解析 全称命题的否定是存在性命题，“”的否定是“” (3)已知命题“xR，exa0”是真命题， 所以 44m1， 故实数 m 的取值范围是(1，)，从而实
8、数 a 的值为 1. (2)已知 c0，且 c1，设命题 p： 函数 ycx为减函数命题 q： 当 x时，函数 f(x)x 1 2，2 恒成立如果“pq”为真命题，“pq”为假命题，则 c 的取值范围为_ 1 x 1 c 答案 (1，) (0， 1 2 解析 由命题 p 为真知，0 恒成立，需 ， 1 x 1 c 1 c 1 2 即由命题 q 为真，知 c . 1 2 若“pq”为真命题，“pq”为假命题， 则 p，q 中必有一真一假， 当 p 真 q 假时，c 的取值范围是 01. 综上可知，c 的取值范围是(1，) (0， 1 2 常用逻辑用语 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断
9、或求参数的取值范围、量词等问题几乎在 每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏 下解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系 一、命题的真假判断 例 1 (1)下列命题的否定为假命题的是_(填序号) xR，x2x1x； x，yZ,2x5y12； xR，sin2xsin x10. 答案 解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有为真命题 (2)已知命题 p：xR，log2(x24)2，命题 q：y是定义域上的减函数，则下列命题中 1 2 x 为真命题的是_(填序号) p(綈 q)；pq；(綈 p)q；(綈 p)(綈 q) 答案 解析 命题 p： 函数 y
10、log2x 在(0，)上是增函数，x244，所以 log2(x24)log242， 即命题 p 是真命题，因此綈 p 为假命题；命题 q：y在定义域上是增函数，故命题 q 是 1 2 x 假命题，綈 q 是真命题因此是真命题，均为假命题 二、充要条件的判断 例 2 (1)“a1”是“函数 f(x)axcos x 在 R 上单调递增”的_条件 答案 充分不必要 解析 由题意，函数 f(x)axcos x 在 R 上单调递增， 则 f(x)0 恒成立， 即 f(x)asin x0，即 asin x， 因为1sin x1，即 a1， 所以“a1”是“函数 f(x)axcos x 在 R 上单调递增”
11、的充分不必要条件 (2)已知圆 C： (x1)2y2r2(r0) 设 p： 00，即 a22a30，解得 a3. (2)已知命题 p：xR，(m1)(x21)0，命题 q：xR，x2mx10 恒成立若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围为_ 答案 (，2(1，) 解析 由命题 p：xR，(m1)(x21)0， 可得 m1， 由命题 q：xR，x2mx10 恒成立，可得21. 1设命题 p：函数 ysin 2x 的最小正周期为 ；命题 q：函数 ycos x 的图象关于直线 x 2 2 对称，则下列判断正确的是_(填序号) p 为真；綈 q 为假；pq 为假；pq 为真 答案 解析 函数 y
12、sin 2x 的最小正周期为， 故命题 p 为假命题 ； x 不是 ycos x 的对称轴， 2 2 2 故命题 q 为假命题，故 pq 为假 2命题“xR，x22x10”的否定形式为_ 答案 xR，x22x10 解析 命题是存在性命题，根据存在性命题的否定是全称命题， 命题“xR，x22x10”的否定形式为：xR，x22x10. 3命题 p 的否定是“对所有正数 x，x1” ，则命题 p 可写为_x 答案 x(0，)，x1x 解析 因为 p 是綈 p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可 4以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是_(填序号) 锐角三角形有一个内角是钝角
13、； 至少有一个实数 x，使 x20； 两个无理数的和必是无理数； 存在一个负数 x， 2. 1 x 答案 解析 中锐角三角形的内角都是锐角， 所以是假命题 ； 中当 x0 时， x20， 满足 x20， 所以既是存在性命题又是真命题；是全称命题，又是假命题；中对于任意一个负数 x， 都有 2，所以是假命题 1 x 1 x 5设命题 p：x(0，)，x 3，命题 q：x(2，)，x22x，则下列命题为真的 1 x 是_(填序号) p(綈 q)；(綈 p)q；pq；(綈 p)q. 答案 解析 命题 p： x(0， )， x 3， 当 x3 时， x 3， 命题 p 为真 ； 命题 q： x(2，
14、1 x 1 x 10 3 )，x22x，当 x4 时，4224，命题 q 为假所以 p(綈 q)为真 6 已知命题p： 若a1， 则axlogax恒成立 ； 命题q： 在等差数列an中， mnpq是aman apaq的充分不必要条件(m，n，p，qN*)则下列为真命题的是_(填序号) (綈 p)(綈 q)；(綈 p)(綈 q)；p(綈 q)；pq. 答案 解析 当 a1.1，x2 时， ax1.121.21，logaxlog1.12log1.11.212， 此时，ax0，由题意知，其为真命题，即 (a1)2 1 2 42 0，若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围是_ 答案 2，) 解析
15、依题意知，p，q 均为假命题 当 p 是假命题时，mx210 恒成立，则有 m0； 当 q 是假命题时，则有 m240， 解得 m2 或 m2. 因此由 p，q 均为假命题得Error!即 m2. 11已知函数 f(x)的定义域为(a，b)，若“x(a，b)，f(x)f(x)0”是假命题，则 f(ab) _. 答案 0 解析 若“x(a，b)，f(x)f(x)0”是假命题，则“x(a，b)，f(x)f(x)0”是真 命题，即 f(x)f(x)，则函数 f(x)是奇函数，则 ab0，即 f(ab)f(0)0. 12 已知命题 p1： x(0， )， 3x2x， p2： R， sin cos ，
16、则在命题 q1： p1p2； q2： 3 2 p1p2；q3：(綈 p1)p2和 q4：p1(綈 p2)中，真命题是_ 答案 q1，q4 解析 因为 y x在 R 上是增函数，即 yx1 在(0，)上恒成立，所以命题 p1是真命 ( 3 2) ( 3 2) 题 ； sin cos sin， 所以命题p2是假命题， 綈p2是真命题， 所以命题q1： p1p2，2 ( 4) 2 q4：p1(綈 p2)是真命题 13已知命题 p：xR，使 tan x1；命题 q：x23x21 时， f(x)0， 函数 f(x) 在(1， )上是单调递增函数 ； 当 0m(x21)，q：函数 f(x)4x2x1m1 存在零点若“pq” 1 4， 1 2 为真命题，“pq”为假命题，则实数 m 的取值范围是_ 答案 8 17，1) 解析 x，2xm(x21)， 1 4， 1 2 即 m0，所以由 q 真得 m1. 又“pq”为真，“pq”为假，p，q 一真一假， 则Error!或Error!解得m1. 8 17 故所求实数 m 的取值范围是. 8 17，1)