《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第三章 导数及其应用 3.2 第2课时含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第三章 导数及其应用 3.2 第2课时含解析.pdf（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第第 2 课时 导数与函数的极值、最值课时 导数与函数的极值、最值 题型一 用导数求解函数极值问题 命题点 1 根据函数图象判断极值 例 1 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示， 则下列结论中一定成立的是_(填序号) 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)； 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)； 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)； 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) 答案 解析 由题图可知，当 x0； 当22 时，f(x)0. 由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大
2、值， 在 x2 处取得极小值 命题点 2 求已知函数的极值 例 2 设函数 f(x)ln(x1)a(x2x)，其中 aR.讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明理由 解 f(x)a(2x1) 1 x1 (x1) 2ax2axa1 x1 令 g(x)2ax2axa1，x(1，) 当 a0 时，g(x)1， 此时 f(x)0，函数 f(x)在(1，)上单调递增，无极值点 当 a0 时，a28a(1a)a(9a8) a当 0 时，0， 8 9 设方程 2ax2axa10 的两根为 x1，x2(x1 . 1 2 1 4 1 4 由 g(1)10，可得10，f(x)0，函数 f(x)单调递增； 当 x(
3、x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增 因此函数 f(x)有两个极值点 当 a0，由 g(1)10， 可得 x10，f(x)0，函数 f(x)单调递增； 当 x(x2，)时，g(x) 时，函数 f(x)有两个极值点 8 9 命题点 3 根据极值(点)求参数 例 3 已知函数 f(x) k，若 x2 是函数 f(x)的唯一一个极值点，则实数 k 的取值 ex x2 ( 2 xln x) 范围为_ 答案 (，e 解析 因为函数 f(x) k， ex x2 ( 2 xln x) 所以函数 f(x)的定义域是(0，)， 所以 f(x)k. exx22xex x4 ( 2 x2
4、1 x) ( ex x k)x2 x2 因为 x2 是函数 f(x)的唯一一个极值点， 所以 x2 是 yf(x)的唯一变号零点 所以 y k 在(0，)上无变号零点， ex x 设 g(x) k，则 g(x). ex x x1ex x2 当 x(0,1)时，g(x)0， 所以 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 所以 g(x)ming(1)ek， 若 g(x)在(0，)上无变号零点， 则需要 g(x)0 在(0，)上恒成立， 所以 g(x)min0，即 ek0，即 ke， 所以若 x2 是函数 f(x)的唯一一个极值点， 则应需 ke. 思维升华 函数极值的两类热点问题
5、(1)求函数 f(x)极值的一般解题步骤 确定函数的定义域；求导数 f(x)；解方程 f(x)0，求出函数定义域内的所有根； 列表检验 f(x)在 f(x)0 的根 x0左右两侧值的符号 (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 验证：求解后验证根的合理性 跟踪训练 1 已知函数 f(x)ax1ln x(aR) (1)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数 f(x)在 x1 处取得极值， x(0， )， f(x)bx2 恒成立， 求实数 b 的取值范围 解 (1)f(x)的定义域为(0，) f(x)a
6、 ， 1 x ax1 x 当 a0 时，f(x)0 时，由 f(x)0，得 x ， 1 a f(x)在上单调递减，在上单调递增，即 f(x)在 x 处有极小值，无极大值 (0， 1 a) ( 1 a，) 1 a 当 a0 时，f(x)在(0，)上没有极值点，当 a0 时，f(x)在(0，)上有一个极值点 (2)函数 f(x)在 x1 处取得极值， a1，f(x)bx2，即 1 b， 1 x ln x x 令 g(x)1 ， 则 g(x)， 令 g(x)0， 得 xe2， 则 g(x)在(0， e2)上单调递减， 1 x ln x x ln x2 x2 在(e2，)上单调递增， g(x)ming
7、(e2)1 ，即 b1 ， 1 e2 1 e2 即实数 b 的取值范围为. (，1 1 e2 题型二 用导数求函数的最值 例 4 已知函数 f(x)kln x，k0，由 ke，则 x ，即 k0，x(0，)时，f(x)0， 即 f(x)在(0，)上单调递增，没有最小值； 当 a0 得，x ， a 2 所以 f(x)在上单调递增； ( a 2，) 由 f(x)0)的导函数 yf(x)的两个零点为3 和 0. ax2bxc ex (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的极小值为e3，求 f(x)在区间5，)上的最大值 解 (1)f(x)2axbe xax2bxcex e x2 . ax
8、22abxbc ex 令 g(x)ax2(2ab)xbc， 因为 ex0，所以 yf(x)的零点就是 g(x)ax2(2ab)xbc 的零点且 f(x)与 g(x)符 号相同 又因为 a0，所以当30，即 f(x)0， 当 x0 时，g(x)5f(0)， 5 e5 所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5. 思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小 (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并 通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 跟踪训练 3 (2018南通模拟)已知函数
9、f(x)(xk1)ex(kR) (1)当 x0 时，求 f(x)的单调区间和极值； (2)若对于任意 x1,2，都有 f(x)0. 当 k0 时，f(x)0 恒成立， 所以 f(x)的单调增区间是(0，)，无单调减区间，无极值 当 k0 时，由 f(x)0，得 xk； 由 f(x)0，所以 xk1x1对任意 x1,2恒成立 4x ex 记 g(x)x1，x1,2， 4x ex 则 g(x)1， 41x ex ex4x1 ex 因为 x1,2，所以 g(x)0，即 g(x)在1,2上单调递增， 所以 g(x)maxg(2)1 . 8 e2 e28 e2 所以实数 k 的取值范围为. ( e28
10、e2 ，) 利用导数求函数的最值 例 (16 分)已知函数 f(x)ln xax(aR) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值 规范解答 解 (1)f(x) a(x0)， 1 x 当 a0 时，f(x) a0，即函数 f(x)的单调增区间为(0，)2 分 1 x 当 a0 时，令 f(x) a0，可得 x ， 1 x 1 a 当 00； 1 a 1ax x 当 x 时，f(x)0 时，函数 f(x)的单调增区间为，单调减区间为.7 分 (0， 1 a) ( 1 a，) (2)当 1，即 a1 时，函数 f(x)在1,2上是减函数，所以 f(
11、x)的最小值是 f(2)ln 22a. 1 a 8 分 当 2，即 00，函 数 f(x)单调递增，当 x(2,2)时，f(x)0， 函数 f(x)单调递增，所以 a2. 3函数 yxex的最小值是_ 答案 1 e 解析 因为 yxex，所以 yexxex(1x)ex.当 x1 时，y0；当 x0. 1 x x21 x 令 f(x)0，得 x1. 令 f(x)0， 解得 c或 c0)，则 获得最大利润时的年产量为_百万件 答案 3 解析 y3x2273(x3)(x3)， 当 00； 当 x3 时，y0)的极大值是正数， 极小值是负数， 则 a 的取值范围是_ 答案 ( 2 2 ，) 解析 f(
12、x)3x23a23(xa)(xa)， 由 f(x)0 得 xa， 当aa 或 x0，函数 f(x)单调递增， f(x)的极大值为 f(a)，极小值为 f(a) f(a)a33a3a0 且 f(a)a33a3a. 2 2 a 的取值范围是. ( 2 2 ，) 8已知 yf(x)是奇函数，当 x(0,2)时，f(x)ln xax，当 x(2,0)时，f(x)的最小 (a 1 2) 值为 1，则 a_. 答案 1 解析 由题意知，当 x(0,2)时，f(x)的最大值为1. 令 f(x) a0，得 x ， 1 x 1 a 当 00； 1 a 当 x 时，f(x)0)， 则 l2a . 1 a 2a21
13、 a 2(a 2 2)(a 2 2) a 令 l0，得 la2ln a 在上单调递增； ( 2 2 ，) 令 l0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切 1 2 (1)求实数 a，b 的值； (2)求函数 f(x)在上的最大值 1 e，e 解 (1)f(x) 2bx， a x 函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切， 1 2 Error!解得Error! (2)由(1)知，f(x)ln x x2， 1 2 f(x) x， 1 x 1x2 x 当 xe 时，令 f(x)0，得 x0 时，f(x)在1，e上单调递增， 则 f(x)在1，e上的最大值为 f(e)a. 故当 a2 时，f
14、(x)在1，e上的最大值为 a； 当 a0， g(x)exx22 单调递增， 所以 g(x)mine1，g(x)maxe22.所以 eme1 或 me. 15已知函数 f(x)xln xmex(e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数 m 的取值范围是 _ 答案 (1 e，0) 解析 f(x)xln xmex(x0)，f(x)ln x1mex(x0)， 由函数 f(x)有两个极值点可得 ym 和 g(x)在(0，)上有两个交点， ln x1 ex g(x)(x0)，令 h(x) ln x1， 1 xln x1 ex 1 x 则 h(x) 0， 1 x2 1 x h(x)在(0，)上单调递减且
15、 h(1)0， 当 x(0,1时，h(x)0，即 g(x)0，g(x)在(0,1上单调递增，g(x)g(1) ， 1 e 当 x(1，)时，h(x)0，即 g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减， 故 g(x)maxg(1) ， 1 e 而当 x0 时，g(x)，当 x时，g(x)0； 若 ym 和 g(x)的图象在(0，)上有两个交点， 只需 0m ，故 m0. 1 e 1 e 16已知函数 f(x)axln x，x(0，e的最小值是 2，求正实数 a 的值 解 因为 f(x)a ，所以当 0 e 时，f(x)在上单调递减，在上单调递 1 x ax1 x 1 a (0， 1 a) ( 1 a，e 增，所以 f(x)minf 1ln a2，解得 ae，满足条件； ( 1 a) 当 e 时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae12，解得 a (舍去) 1 a 3 e 综上，正实数 a 的值为 e.