《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.3含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.3含解析.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、11.3 二项式定理 二项式定理 考情考向分析 以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式 系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以解答题的形式进行考 查，难度中档 1二项式定理 二项式定理(ab)nC anC an1b1C anrbrC bn(nN*) 0 n1 nr nn n 二项展开式的通项公式Tr1C anrbr，它表示第 r1 项 r n 二项式系数二项展开式中各项的系数 C (r0,1,2，n) r n 2二项式系数的性质 (1)C 1，C 1. 0 nn n CCC . mn1m1nm n (2)C C. m nnmn (3)当 n 是
2、偶数时，项的二项式系数最大；当 n 是奇数时，与项的二项式系数 1 2 n T 1 2 n T 1 1 2 n T 相等且最大 (4)(ab)n展开式的二项式系数和：C C C C 2n. 0 n1 n2 nn n 概念方法微思考 1(ab)n与(ba)n的展开式有何区别与联系？ 提示 (ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同， 但对应的项不相同而且两个展开式 的通项不同 2二项展开式形式上有什么特点？ 提示 二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n
3、 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第 一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从 C ，C ，一直到 C，C . 0 n1 nn1nn n 3二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？ 提示 不一定最大，当二项式中 a，b 的系数为 1 时，此时二项式系数等于项的系数，否则不 一定 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)C anrbr是二项展开式的第 r 项( ) r n (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关( ) (4)(ab)n的展开式
4、第 r1 项的系数为 C anrbr.( ) r n (5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.( ) 题组二 教材改编 2P32 练习 T2(x2y)7的展开式中，第 4 项的二项式系数为_ 答案 35 解析 第 4 项的二项式系数为 C 35. 3 7 3P32 练习 T5在(2)4的展开式中，x 的系数为_x 答案 24 解析 由题意可知 Tr1C ()4r(2)r，令1 解得 r2， r 4 x 4 2 4( 2) r rr Cx 4r 2 所以展开式中 x 的系数为 C (2)224. 2 4 4 P35 练习 T4已知 C 2C 22C 23C 2nC 729， 则 C C C
5、C _. 0 n1 n2 n3 nn n1 n2 n3 nn n 答案 63 解析 逆用二项式定理得 C 2C 22C 23C 2nC (12)n3n729，即 3n36， 0 n1 n2 n3 nn n 所以 n6，所以 C C C C 26C 64163. 1 n2 n3 nn n0 n 题组三 易错自纠 5(xy)n的二项展开式中，第 m 项的系数是_ 答案 (1)m1Cm1 n 解析 (xy)n二项展开式第 m 项的通项公式为 TmC(y)m1xnm1， m1n 所以系数为 C(1)m1. m1n 6已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列 a1，a2，a3，ak(1k1
6、1，kN*)是 一个单调递增数列，则 k 的最大值是_ 答案 6 解析 由二项式定理知，anC(n1,2,3，11) n110 又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第 6 项， 所以 a6C ，则 k 的最大值为 6. 5 10 7(xy)4的展开式中，x3y3项的系数为_yx 答案 6 解析 二项展开式的通项是 Tr1C (x)4r (y)r， 令 4 2 r 4 yx 42 22 4 ( 1) rr rr C xy r 2 r 2 3，解得 r2，故展开式中 x3y3的系数为(1)2C 6. 2 4 题型一 二项展开式 命题点 1 求指定项(或系数) 例 1 (1) 8的展开式中常数项
7、为_ ( x 1 2 x ) 答案 35 8 解析 展开式的通项为 Tr1C ()8r rr 8 x ( 1 2 x ) C rx4r，r 8 ( 1 2) 令 4r0，则 r4， 8的展开式中常数项为 T5C . ( x 1 2 x ) 4 8 1 24 35 8 (2)在(x24)5的展开式中，含 x6的项为_ 答案 160x6 解析 因为(x24)5的展开式的第r1项的通项公式为Tr1C (x2)5r(4)r(4)rC x102r， r 5r 5 令 102r6，得 r2，所以含 x6的项为 T3(4)2 C x6160x6. 2 5 (3)(x2xy)4的展开式中，x3y2的系数是_
8、答案 12 解析 方法一 (x2xy)4(x2x)y4， 其展开式的第 r1 项的通项公式为 Tr1C (x2x)4ryr， r 4 因为要求 x3y2的系数，所以 r2， 所以 T3C (x2x)42y26(x2x)2y2. 2 4 因为(x2x)2的展开式中 x3的系数为 2， 所以 x3y2的系数是 6212. 方法二 (x2xy)4表示 4 个因式 x2xy 的乘积， 在这 4 个因式中，有 2 个因式选 y，其余的 2 个因式中有一个选 x，剩下的一个选 x2，即可得 到含 x3y2的项， 故 x3y2的系数是 C C C 12. 2 41 21 1 命题点 2 求参数 例 2 (1
9、)(2018江苏省无锡市江阴四校期中) 8的展开式中 x2的系数为 70，则 a_. (ax 1 x) 答案 1 解析 8的展开式的通项公式为 Tr1 ， (ax 1 x) 3 8 8 2 8 ( 1) r rrr Cax 令 82，求得 r4，故 x2的系数为 C a470， 3r 2 4 8 则 a1. (2)(2018苏州调研)若(x2a) 10的展开式中 x6的系数为 30，则 a_. (x 1 x) 答案 2 解析 由题意得 10的展开式的通项公式是Tr1C x10rrC x102r，10的展 (x 1 x) r 10 ( 1 x) r 10 (x 1 x) 开式中含 x4(当 r3
10、 时)， x6(当 r2 时)项的系数分别为 C ， C ， 因此由题意得 C aC 120 3 102 103 102 10 45a30，由此解得 a2. 思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常 数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k1，代回通项公式即可 跟踪训练 1 (1)(xy)(2xy)5的展开式中 x3y3的系数为_(用数字填写答案) 答案 40 解析 因为 x3y3x(x2y3)，其系数为C 2240， 3 5 x3y3y(x3y2)，其系数为 C 2380. 2 5 所以 x3y3的系数为 804040. (2)(x
11、a)10的展开式中，x7项的系数为 15，则 a_.(用数字填写答案) 答案 1 2 解析 通项为 Tr1C x10rar，令 10r7， r 10 得 r3，x7项的系数为 C a315， 3 10 a3 ，a . 1 8 1 2 题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题 例 3 (1)(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_. 答案 3 解析 设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 令 x1，得 16(a1)a0a1a2a3a4a5， 令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5. ，得 16(a1)2(a1a3a5)， 即展开式中
12、x 的奇数次幂项的系数之和为 a1a3a58(a1)，所以 8(a1)32，解得 a3. (2)(2018苏州质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2 a8)2(a1a3a9)239，则实数 m 的值为_ 答案 1 或3 解析 令 x0，则(2m)9a0a1a2a9， 令 x2，则 m9a0a1a2a3a9， 又(a0a2a8)2(a1a3a9)2 (a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39， (2m)9m939，m(2m)3， m3 或 m1. (3)(2018南通模拟)若 n的展开式中含x的项为第6项， 设(13x)na0a1xa2x2 (x
13、 21 x) anxn，则 a1a2an的值为_ 答案 255 解析 n展开式的第 r1 项为 (x 21 x) Tr1C (x2)nr rr n ( 1 x) C (1)rx2n3r， r n 当 r5 时，2n3r1，n8. 对(13x)8a0a1xa2x2a8x8， 令 x1，得 a0a1a828256. 又当 x0 时，a01， a1a2a8255. 思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法 (2)若f(x)a0a1xa2x2anxn， 则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇
14、数项系数之和为a0 a2a4，偶数项系数之和为 a1a3a5. f1f1 2 f1f1 2 跟踪训练 2 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7. 求：(1)a1a2a7； (2)a1a3a5a7； (3)a0a2a4a6； (4)|a0|a1|a2|a7|. 解 令 x1，则 a0a1a2a3a4a5a6a71. 令 x1，则 a0a1a2a3a4a5a6a737. (1)a0C 1，a1a2a3a72. 0 7 (2)()2， 得 a1a3a5a71 094. 137 2 (3)()2， 得 a0a2a4a61 093. 137 2 (4)方法一 (12x)7展开式中，a0，a2，a4
15、，a6大于零，而 a1，a3，a5，a7小于零， |a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187. 方法二 |a0|a1|a2|a7|即为(12x)7展开式中各项的系数和，令 x1， |a0|a1|a2|a7|372 187. 题型三 二项式定理的应用 例 4 (1)设 aZ 且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a_. 答案 12 解析 512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C 02 01212 0122 0112 0122 0122 012 (1)2 012a，
16、C522 012C522 011C52(1)2 011能被 13 整除且 512 012a 能被 13 整除， 02 01212 0122 0112 012 C(1)2 012a1a 也能被 13 整除， 2 0122 012 a 的值为 12. (2)设复数 x(i 是虚数单位)，则 CxCx2Cx3Cx2 019_. 2i 1i 12 01922 01932 0192 0192 019 答案 1i 解析 x1i， 2i 1i 2i1i 1i1i CxCx2Cx3Cx2 019 12 01922 01932 0192 0192 019 (1x)2 0191i2 0191i1. 思维升华 (1
17、)逆用二项式定理的关键 根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二 项式定理求解 (2)利用二项式定理解决整除问题的思路 观察除式与被除式间的关系； 将被除式拆成二项式； 结合二项式定理得出结论 跟踪训练 3 (1)(2018宿迁模拟)190C 902C 903C (1)k90kC 9010C除 1 102 103 10k 101010 以 88 的余数是_ 答案 1 解析 190C 902C 903C (1)k90kC 9010C (190)108910(88 1 102 103 10k 101010 1)108810C 889C 881， 1 109
18、10 前 10 项均能被 88 整除，余数是 1. (2)若(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018，则_. a1 2 a2 22 a2 018 22 018 答案 1 解析 当 x0 时，左边1，右边a0，a01. 当 x 时，左边0，右边a0， 1 2 a1 2 a2 22 a2 018 22 018 01， a1 2 a2 22 a2 018 22 018 即1. a1 2 a2 22 a2 018 22 018 1在 6的展开式中，常数项为_ (x 22 x) 答案 240 解析 6的展开式的通项公式为 Tr1C (x2)6rr(2)rC x123r，令 123r
19、0， (x 22 x) r 6 ( 2 x) r 6 得 r4，故常数项为 T5(2)4C 240. 4 6 2(2018苏州联考) 5的展开式中 x3项的系数为_ (2x 1 x) 答案 80 解析 5的展开式的通项公式为 Tr1C (2x)5r r(1)r25r C x52r， 令 52r (2x 1 x) r 5 ( 1 x) r 5 3，得 r1.于是展开式中 x3项的系数为(1)251 C 80. 1 5 3(xy)(2xy)6的展开式中 x4y3的系数为_ 答案 80 解析 (2xy)6的展开式的通项公式为 Tr1C (2x)6r(y)r， 当 r2 时， T3240x4y2， 当
20、 r3 r 6 时，T4160x3y3，故 x4y3的系数为 24016080. 4(13x)n的展开式中 x5与 x6的系数相等，则 x4的二项式系数为_ 答案 35 解析 Tr1C (3x)r3rC xr，由已知得 35C 36C ，即 C 3C ，n7，x4的二项式 r nr n5 n6 n5 n6 n 系数为 C 35. 4 7 5(4x2x)6(xR)展开式中的常数项是_ 答案 15 解析 设展开式中的常数项是第 r1 项， 则 Tr1C (4x)6r(2x)rC (1)r212x2rx2rx r 6r 6 C (1)r212x3rx， r 6 12x3rx0 恒成立，r4， T5C
21、 (1)415. 4 6 6若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4项的系数为 15，则 a 的值为_ 答案 4 解析 (x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4项的系数为 4a115，a4. 7若二项式 7的展开式中的各项系数之和为1，则含 x2项的系数为_ (x 2a x) 答案 560 解析 取 x1，得二项式 7的展开式中的各项系数之和为(1a)7，即(1a)71，解 (x 2a x) 得a2.二项式 7的展开式的通项为 Tr1C (x2)7r rC (2)rx143r.令 14 (x 22 x) r 7 ( 2 x) r 7 3r2，得 r4.因此，二项式 7的展
22、开式中含 x2项的系数为 C (2)4560. (x 22 x) 4 7 8 若(13x)2 018a0a1xa2 018x2 018， xR， 则 a13a232a2 01832 018的值为_ 答案 82 0181 解析 由已知，令 x0，得 a01， 令 x3，得 a0a13a232a2 01832 018 (19)2 01882 018， 所以 a13a232a2 01832 018 82 018a082 0181. 9若将函数 f(x)x5表示为 f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中 a0，a1， a2，a5为实数，则 a3_.(用数字作答) 答案 10 解析
23、f(x)x5(1x1)5， 它的通项为 Tr1C (1x)5r(1)r， r 5 T3C (1x)3(1)210(1x)3，a310. 2 5 10若 6的展开式中 x3项的系数为 20，则 log2alog2b_. (ax 2b x) 答案 0 解析 6的展开式的通项为 Tr1C a6rbrx123r，令 123r3，则 r3，6 (ax 2b x) r 6 (ax 2b x) 的展开式中 x3项的系数为 C a3b320，ab1， 3 6 log2alog2blog2(ab)log210. 11(2018徐州模拟)若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则 a2a4a12 _.(用
24、数字作答) 答案 364 解析 令 x1，得 a0a1a2a1236， 令 x1，得 a0a1a2a121， a0a2a4a12. 361 2 令 x0，得 a01， a2a4a121364. 361 2 12设 f(x，n)(1x)n，nN*. (1)求 f(x,6)的展开式中系数最大的项； (2)当 nN*时，化简 C 4n1C 4n2C 4n3C40C 41； 0 n1 n2 nn1nn n (3)求证：C 2C 3C nC n2n1. 1 n2 n3 nn n (1)解 展开式中系数最大的项是第四项为 C x320x3. 3 6 (2)解 C 4n1C 4n2C 4n3C40C 41
25、0 n1 n2 nn1nn n (C 4nC 4n1C 4n2C4C ) 1 4 0 n1 n2 nn1nn n (41)n. 1 4 5n 4 (3)证明 因为 rC nC， r nr1n1 所以 C 2C 3C nC n(CCCC)n2n1. 1 n2 n3 nn n0n11n12n1n1n1 13 在(1x)6(1y)4的展开式中， 记 xmyn项的系数为 f(m， n)， 则 f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3) _. 答案 120 解析 因为 f(m，n)C C ， m 6n 4 所以 f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3) C C C C C C C C 12
26、0. 3 60 42 61 41 62 40 63 4 14 已知 n(nN*)的展开式中所有项的二项式系数之和、 系数之和分别为 p， q， 则 p (x 1 2x) 64q 的最小值为_ 答案 16 解析 显然 p2n.令 x1，得 q.所以 p64q2n216，当且仅当 2n， 1 2n 64 2n 2n64 2n 64 2n 即 n3 时取等号，此时 p64q 的最小值为 16. 15. 5的展开式中常数项是_ (2x 1 x3) 答案 1 683 解析 5表示五个 相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种 (2x 1 x3) (2x 1 x3) 是从五个中分别抽取 2x,2x，
27、3，则此时的常数项为 C C 22(3)360， (2x 1 x3) 1 x 1 x 2 52 3 第二种情况是从五个中都抽取3，则此时的常数项为(3)5243，第三种情况 (2x 1 x3) 是从五个中分别抽取 2x， 3， 3， 3， 则此时的常数项为 C C 21(3)31 (2x 1 x3) 1 x 1 51 4 080，则展开式中常数项为3602431 0801 683. 16若 n展开式中前三项的系数和为 163，求： ( x 2 4 x) (1)展开式中所有 x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项 解 易求得展开式前三项的系数为 1,2C ，4C . 1 n2 n 由题意得 12C 4C 163，可得 n9. 1 n2 n (1)设展开式中的有理项为 Tr1， 由 Tr1C ()9r r ， r 9 x ( 2 4 x) 18 3 4 9 2 r rr C x 又0r9，r2,6. 故有理项为 T3144x3， 18 3 2 22 4 9 2 Cx T75 376. 18 3 6 66 4 9 2Cx (2)设展开式中 Tr1项的系数最大，则 Error! r， 17 3 20 3 又rN，r6， 故展开式中系数最大的项为 T75 376.