2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十章 算法、统计与概率 10.2含解析.pdf

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1、10.2 抽样方法 抽样方法 考情考向分析 在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型主要以填 空题为主，属于中低档题 1简单随机抽样 (1)定义：一般地，从个体数为 N 的总体中逐个不放回地取出 n 个个体作为样本(nN)，如果 每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样 (2)最常用的简单随机抽样方法有两种抽签法和随机数表法 2系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本 (1)采用随机的方式将总体中的 N 个个体编号； (2)将编号按间隔 k 分段，当 是整数时，取 k ； 当 不是整数时，从总体中剔除一些个体， N n N n

2、N n 使剩下的总体中个体的个数 N能被 n 整除，这时取 k，并将剩下的总体重新编号； N n (3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号 l； (4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为 l，lk，l2k，l(n1)k 的个体抽出 3分层抽样 (1)定义 ： 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况， 我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总 体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层” (2)分层抽样的应用范围： 当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法 概念方法微思

3、考 三种抽样方法有什么共同点和联系？ 提示 (1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等 (2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽 样或系统抽样 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)简单随机抽样是一种不放回抽样( ) (2)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大( ) (3)系统抽样在第 1 段抽样时采用简单随机抽样( ) (4)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本， 需要剔除 2 个学生， 这 样对被剔除者不公平( ) (5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关( ) 题组

4、二 教材改编 2P52 习题 T1某学校有男、女学生各 500 名为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方 面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 _ 答案 分层抽样法 解析 从全体学生中抽取 100 名宜用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取 3P52 习题 T4某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 334，现用分层抽样的 方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本， 则应从高二年级抽取_名学生 答案 15 解析 从高二年级中抽取的学生数与抽取学生总数的比为，所以应从高二年级抽取学生人 3 10 数为 5015. 3 10 4P

5、52 习题 T2某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本， 已知 3 号， 29 号， 42 号学生在样本中， 那么样本中还有一个学生的学号是_ 答案 16 解析 从被抽中的 3 名学生的学号中可以看出学号间距为 13， 所以样本中还有一个学生的学 号是 16. 题组三 易错自纠 5在一个容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层 抽样三种不同方法抽取样本时， 总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1， p2， p3， 则_ 答案 p1p2p3 解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等 6 甲、

6、 乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件， 采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 _件 答案 1 800 解析 分层抽样中各层的抽样比相同 样本中甲设备生产的产品有 50 件， 则乙设备生产的产 品有 30 件在 4 800 件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为 53，所以乙设备生产的产 品的总数为 1 800 件 题型一 简单随机抽样 1某班级有男生 20 人，女生 30 人，从中抽取 10 人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到 了 4 名男生，6 名女生，则下列命题正确的是_(填序号) 这次抽样

7、中可能采用的是简单随机抽样； 这次抽样一定没有采用系统抽样； 这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率； 这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 答案 解析 利用排除法求解这次抽样可能采用的是简单随机抽样，正确；这次抽样可能采用 系统抽样，男生编号为 120，女生编号为 2150，间隔为 5，依次抽取 1 号，6 号，46 号 便可， 错误 ； 这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率， 和均错误 2总体由编号为 01,02，19,20 的 20 个个体组成利用下面的随机数表选取 5 个个体， 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数

8、字开始由左到右依次选取两个数字，则选 出来的第 5 个个体的编号为_. 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 答案 01 解析 由题意知前 5 个个体的编号为 08,02,14,07,01. 3利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本若第二次抽取时，余下的 每个个体被抽到的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为_ 1 3 答案 5 14 解析 由题意知 ，得 n28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为. 9 n1 1 3 10 28

9、 5 14 思维升华 应用简单随机抽样应注意的问题 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀一 般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法 (2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计 起， 每三个或四个作为一个单位， 自左向右选取， 有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去 题型二 系统抽样 例 1 (1)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示： 若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在 区间139,151上的运动员人数是_ 答案 4

10、 解析 由题意知，将 135 号分成 7 组，每组 5 名运动员，成绩落在区间139,151内的运动 员共有 4 组，故由系统抽样法知，共抽取 4 名 (2)某单位有 840 名职工， 现采用系统抽样的方法抽取 42 人做问卷调查， 将 840 人按 1,2， 840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间481,720的人数为_ 答案 12 解析 由20， 即每 20 人抽取 1 人， 所以抽取编号落入区间481,720的人数为 840 42 720480 20 12. 240 20 引申探究 1若本例(2)中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”_被抽到(填“能” 或“不能”

11、) 答案 不能 解析 若 55 被抽到，则 55520n，n2.5，n 不是整数故不能被抽到 2若本例(2)中条件不变，若在编号为481,720中抽取 8 人，则样本容量为_ 答案 28 解析 因为在编号481,720中共有 720480240(人)，又在481,720中抽取 8 人， 所以抽样比应为2408301， 又因为单位职工共有840人， 所以应抽取的样本容量为 840 30 28. 思维升华 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大 (2)使用系统抽样时， 若总体容量不能被样本容量整除， 可以先从总体中随机地剔除几个个体， 从而确定分段间隔 (3)起始编号的确定应用简单

12、随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定 跟踪训练 1 将参加夏令营的 600 名学生按 001,002， 600 进行编号 采用系统抽样的方法 抽取一个容量为 50 的样本， 且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分别住在三个营区， 从 001 到 300 在第营区，从 301 到 495 在第营区，从 496 到 600 在第营区，则三个营区被抽 中的人数依次为_ 答案 25,17,8 解析 由题意及系统抽样的定义可知， 将这 600 名学生按编号依次分成 50 组， 每一组各有 12 名学生， 第 k(kN*)组抽中的号码是 312(k1) 令 312(k1)300，

13、 得 k， 因此第 103 4 营区被抽中的人数是 25；令 300312(k1)495，得k42，因此第营区被抽中的 103 4 人数是 422517；第营区被抽中的人数为 5025178. 题型三 分层抽样 命题点 1 求总体或样本容量 例 2 (1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本 进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n_. 答案 13 解析 ，n13. 3 60 n 1208060 (2)(2018江苏省南京金陵中学模拟)某校共有教师 200

14、 人，男学生 1 200 人，女学生 1 000 人现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从女学生中抽取的人 数为 50 人，那么 n 的值为_ 答案 120 解析 因为共有教师 200 人，男学生 1 200 人，女学生 1 000 人， 所以女学生占的比例为， 1 000 2 400 5 12 女学生中抽取的人数为 50 人， 所以 n50，所以 n120. 5 12 命题点 2 求某层入样的个体数 例 3 (1)某校老年、 中年和青年教师的人数见下表， 采用分层抽样的方法调查教师的身体状况， 在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师的人数为_.

15、 类别人数 老年教师900 中年教师1 800 青年教师1 600 合计4 300 答案 180 解析 由题意，得抽样比为 ， 320 1 600 1 5 该样本中的老年教师的人数为 900 180. 1 5 (2)我国古代数学专著九章算术中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八 十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣_人 答案 108 解析 由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为 300 300108. 8 100 8 1007 4886 912 8 100 22 500 思维升华 分层抽样问题类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量：按该层

16、所占总体的比例计算 (2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计 算 (3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况 跟踪训练2 (1)某校为了了解学生学习的情况， 采用分层抽样的方法从高一1 000 人， 高二1 200 人， 高三 n 人中抽取 81 人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为 30，那么 n_. 答案 1 040 解析 分层抽样是按比例抽样的， 所以 8130，解得 n1 040. 1 200 1 0001 200n (2)(2018如东模拟)下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如下表所示： 不喜欢

17、戏剧喜欢戏剧 男性青年观众4010 女性青年观众4060 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧 的男性青年观众”的人中抽取了 8 人，则 n 的值为_ 答案 30 解析 参与调查的总人数为 150，由 8n40150， 得 n30. 1(2018盐城调研)某单位有老年人 20 人，中年人 120 人，青年人 100 人，现用分层抽样的 方法从所有人中抽取一个容量为 n 的样本， 已知从青年人中抽取的人数为 10， 则 n_. 答案 24 解析 由分层抽样可得，故 n24. 10 n 100 20120100 10 24 2打桥牌时，将洗好的扑克牌

18、(52 张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一 家来说，都是从 52 张总体中抽取一个 13 张的样本，则这种抽样方法是_ 答案 系统抽样 解析 符合系统抽样的特点 3用简单随机抽样的方法从含有 10 个个体的总体中抽取一个容量为 3 的样本，其中某一个 体 a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是_ 答案 ， 1 10 1 10 解析 在抽样过程中，个体 a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为 10，故个体 a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为. 1 10 4 将参加英语口语测试的 1 000 名学生编号为 000,001,002，

19、 999， 从中抽取一个容量为 50 的样本，按系统抽样的方法分为 50 组，如果第一组编号为 000,001,002，019，且第一组 随机抽取的编号为 015，则抽取的第 35 个样本编号为_ 答案 695 解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号为 015， 分段间隔数 k 20，由题意知抽出的这些号码是以 15 为首项，20 为公差的等差数 N n 1 000 50 列，则抽取的第 35 个样本编号为 15(351)20695. 5某工厂的一、二、三车间在某月份共生产了 3 600 双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量， 决定采用分层抽样的方法进行抽取， 若从一、 二、 三车间抽取的产品数

20、分别为 a， b， c， 且 a， b， c 成等差数列，则二车间生产的产品数为_ 答案 1 200 解析 因为 a，b，c 成等差数列，所以 2bac，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总 数的 ，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的 ，所以二车间生产的 1 3 1 3 产品数为 3 600 1 200. 1 3 6 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查， 为此将他们随机编号为 1,2， 960， 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区间 1,450的人做问卷A， 编号落入区间451,750的人做问卷B， 其

21、余的人做问卷C.则抽到的人中， 做问卷 B 的人数为_ 答案 10 解析 由系统抽样的特点知， 抽取号码的间隔为30， 抽取的号码依次为 9,39,69， 939. 960 32 落入区间451,750的有 459,489，729，这些数构成首项为 459，公差为 30 的等差数列， 设有 n 项，显然有 729459(n1)30，解得 n10.所以做问卷 B 的有 10 人 7某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从 4 300 人中抽取 一个样本，这 4 300 人中青年人 1 600 人，且中年人人数是老年人人数的 2 倍，现根据年龄采 用分层抽样的方法进行调查，

22、在抽取的样本中青年人有 320 人，则抽取的样本中老年人的人 数为_ 答案 180 解析 设老年人有 x 人，从中抽取 y 人，则 1 6003x4 300，得 x900，即老年人有 900 人， 则， 900 1 600 y 320 得 y180. 8某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体 1 000 名学生中抽 50 名学生做学 习状况问卷调查现将 1 000 名学生从 1 到 1000 进行编号，求得间隔数 k20，即分 50 组每 组20人 在第一组中随机抽取一个号， 如果抽到的是17号， 则第8组中应抽取的号码是_ 答案 157 解析 根据系统抽样的特点可知，抽取出的编号成

23、首项为 17，公差为 20 的等差数列，所以 第 8 组应抽取的号码是 17(81)20157. 9(2017江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件， 为检验产品的质量， 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验， 则应从丙 种型号的产品中抽取_件 答案 18 解析 ， 样本容量 总体个数 60 200400300100 3 50 应从丙种型号的产品中抽取30018(件) 3 50 10某高中在校学生有 2 000 人为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登 山的比赛活动每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各

24、年级参与比赛的人数情况如下表 ： 高一年级高二年级高三年级 跑步abc 登山xyz 其中 abc235，全校参与登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的满意 2 5 程度，从中抽取一个 200 人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数 为_ 答案 36 解析 根据题意可知，样本中参与跑步的人数为 200 120，所以从高二年级参与跑步的 3 5 学生中应抽取的人数为 12036. 3 235 11.200 名职工年龄分布如图所示， 从中随机抽取 40 名职工作样本， 采用系统抽样方法， 按 1 200 编号，分为 40 组，分别为 15,610，196200，若第 5

25、 组抽取号码为 22，则第 8 组 抽取号码为_若采用分层抽样，40 岁以下年龄段应抽取_人 答案 37 20 解析 将 1200 编号分为 40 组，则每组的间隔为 5，其中第 5 组抽取号码为 22，则第 8 组 抽取的号码应为 223537；由已知条件得，200 名职工中 40 岁以下的职工人数为 20050%100，设在 40 岁以下年龄段中应抽取 x 人，则，解得 x20. 40 200 x 100 12 一个总体中有 90 个个体， 随机编号 0,1,2， 89， 依从小到大的编号顺序平均分成 9 个小组，组号依次为 1,2,3，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为 9 的样本，规定

26、如果在 第 1 组随机抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 mk 的个位数字相同， 若 m8，则在第 8 组中抽取的号码是_ 答案 76 解析 由题意知，m8，k8，则 mk16，也就是第 8 组抽取的号码个位数字为 6，十位 数字为 817，故抽取的号码为 76. 13某市教育主管部门为了全面了解 2018 届高三学生的学习情况，决定对该市参加 2018 年 高三第一次全省统一考试(后称统考)的 32 所学校进行抽样调查将参加统考的 32 所学校进 行编号，依次为 1 到 32，现用系统抽样法抽取 8 所学校进行调查，若抽到的最大编号为 31， 则最小编号是_ 答案 3

27、解析 根据系统抽样的特点可知，总体分成 8 组，组距为4，若抽到的最大编号为 31， 32 8 则最小编号是 3. 14某校共有学生 2 000 名，各年级男、女学生人数如下表已知在全校学生中随机抽取 1 名， 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则应在三年级抽 取的学生人数为_. 一年级二年级三年级 女生373xy 男生377370z 答案 16 解析 由题意， 知二年级女生有 380 人， 那么三年级的学生人数应该是 2 000373377380 370500，即总体中各个年级的人数比为 332，故在分层抽样中应在三年级抽取的学 生人数为 64 1

28、6. 2 8 15某公司员工对户外运动分别持“喜欢” 、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般” 态度的比持“不喜欢”态度的多 13 人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座 谈户外运动，如果选出的人中有 6 人对户外运动持“喜欢”态度，有 2 人对户外运动持“不 喜欢”态度，有 3 人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持 “喜欢”态度的有_人 答案 78 解析 设持 “喜欢” 、 “不喜欢” 、 “一般” 态度的人数分别为 6x,2x,3x， 由题意可得 3x2x 13，x13，持“喜欢”态度的有 6x78(人) 16某公路设计院有工程师 6 人，技术员

29、 12 人，技工 18 人，要从这些人中抽取 n 个人参加 市里召开的科学技术大会如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果 参会人数减少 1 人，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除 2 个个体，求 n. 解 总体容量为 6121836. 当样本容量为 n 时，由题意知，系统抽样的间隔为；分层抽样的比例是，抽取的工程师 36 n n 36 人数为6 ，技术员人数为12 ，技工人数为18 ， n 36 n 6 n 36 n 3 n 36 n 2 所以 n 应是 6 的倍数，36 的约数，即 n6,12,18. 当样本容量为(n1)时，总体容量剔除以后是 34 人，系统抽样的间隔为，因为必须 34 n1 34 n1 是整数， 所以 n 只能取 18，即样本容量 n18.