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1、4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 同角三角函数基本关系式及诱导公式 考情考向分析 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三 角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以 及基本的运算能力题型为填空题，低档难度 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：tan . sin cos ( 2k，k Z) 2三角函数的诱导公式 公式一二三四五六 角2k(kZ) 2 2 正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan
2、 tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限 概念方法微思考 1使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号 2诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？ 提示 所有诱导公式均可看作 k (kZ)和 的三角函数值之间的关系， 口诀中的奇、 偶指 2 的是此处的 k 是奇数还是偶数 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若 ， 为锐角，则 sin2cos21.( ) (2)若 R，则 tan 恒成立( ) sin cos (3)sin()sin 成立的条件是 为锐角( )
3、(4)若 sin(k) (kZ)，则 sin .( ) 1 3 1 3 题组二 教材改编 2P18T3若 sin ， 0，sin xcos x0，cos x0，故 sin xcos x . 7 5 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间 的联系，灵活使用公式进行变形 (2)注意角的范围对三角函数符号的影响 跟踪训练2 (1)(2018南京模拟)已知角的终边在第三象限， tan 22， 则sin2sin(32 )cos(2)cos2 .2 答案 2 3 解析 由 tan 22可得 tan 22，2 2tan 1tan2 2 即tan2tan 0，22
4、 解得 tan 或 tan .2 2 2 又角 的终边在第三象限，故 tan ，2 故 sin2sin(3)cos(2)cos22 sin2sin cos cos22 sin 2sin cos 2cos2 sin2cos2 . tan2tan 2 tan21 2222 221 2 3 (2)已知 sin ，则 tan() . 25 5 sin(5 2 ) cos(5 2 ) 答案 或 5 2 5 2 解析 sin 0， 为第一或第二象限角， tan()tan sin(5 2 ) cos(5 2 ) cos sin . sin cos cos sin 1 sin cos 当 是第一象限角时，co
5、s ，1sin2 5 5 原式 ； 1 sin cos 5 2 当 是第二象限角时，cos ，1sin2 5 5 原式 . 1 sin cos 5 2 综合知，原式 或 . 5 2 5 2 1已知 是第四象限角，tan ，则 sin . 5 12 答案 5 13 解析 因为 tan ， 5 12 所以， sin cos 5 12 所以 cos sin ， 12 5 代入 sin2cos21，解得 sin ， 5 13 又 是第四象限角，所以 sin . 5 13 2已知 tan() ，且 ，则 sin . 3 4 ( 2， 3 2) ( 2) 答案 4 5 解析 tan()tan ， 3 4
6、由Error!Error!解得 cos . 4 5 又因为 ， ( 2， 3 2) 所以 cos ， 4 5 所以 sincos . ( 2) 4 5 3满足等式 cos 2x13cos x(x0，)的 x 的值为 答案 2 3 解析 由题意可得，2cos2x3cos x20，解得 cos x 或 cos x2(舍去)又 x0， 1 2 故 x. 2 3 4sin cos tan的值是 4 3 5 6 ( 4 3) 答案 3 3 4 解析 原式sincostan ( 3) ( 6) ( 3) (sin 3) (cos 6) (tan 3) (). ( 3 2) ( 3 2) 3 33 4 5(
7、2019江苏省扬州中学月考)设函数 f(x)满足 f(x)f(x)sin x，当 0x 时，f(x)0， 则 f . ( 23 6) 答案 1 2 解析 函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)sin x， 当 0x 时，f(x)0， f f sin ( 23 6) ( 17 6) 17 6 f sinsin ( 11 6) 11 6 17 6 f sinsinsin ( 5 6) 5 6 11 6 17 6 0 . 1 2 1 2 1 2 1 2 6设 tan 3，则 . sincos sin( 2)cos( 2) 答案 2 解析 tan 3，原式2. sin cos cos sin t
8、an 1 tan 1 31 31 7(2018如东高级中学阶段测试)已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边 在直线 2xy0 上，则 . sin(3 2 )cos sin( 2)sin 答案 2 解析 角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 2xy0 上， tan 2， 2. sin(3 2 )cos sin( 2)sin cos cos cos sin 2 tan 1 8若 ，则 . ( 2，) 12sinsin(3 2 ) 答案 sin cos 解析 因为 12sinsin(3 2 ) 12sin cos sin cos 2 |sin cos |， 又
9、 ，所以 sin cos 0， ( 2，) 所以原式sin cos . 9已知 sin xcos x，x(0，)，则 tan x . 31 2 答案 3 解析 由题意可知 sin xcos x，x(0，)，则(sin xcos x)2， 31 2 423 4 因为 sin2xcos2x1， 所以 2sin xcos x，即，得 tan x或 tan x. 3 2 2sin xcos x sin2xcos2x 2tan x tan2x1 3 2 3 3 3 当 tan x时，sin xcos x0. 所以 sin cos . 35 5 由得 sin ，cos ，tan 2， 25 5 5 5 所
10、以. 2sin cos cos 1 1tan 59 5 12已知 kZ，化简： . sinkcosk1 sink1cosk 答案 1 解析 当 k2n(nZ)时， 原式sin2ncos2n1 sin2n1cos2n sincos sincos 1； sin cos sin cos 当 k2n1(nZ)时， 原式sin2n1cos2n11 sin2n11cos2n1 sincos sin cos 1. sin cos sin cos 综上，原式1. 13若 sin ，cos 是方程 4x22mxm0 的两根，则 m 的值为 答案 15 解析 由题意知方程的两根为， m m24m 4 sin co
11、s ，sin cos ， m 2 m 4 又(sin cos )212sin cos ， 1 ， m2 4 m 2 解得 m1，又 4m216m0，5 m0 或 m4，m1 . 5 14 已知A， B为ABC的两个内角， 若sin(2A)sin(2B)，cos Acos(232 B)，则 B . 答案 6 解析 由已知得Error!Error! 化简得 2cos2A1，即 cos A. 2 2 当 cos A时，cos B， 2 2 3 2 又 A，B 是三角形内角，B ； 6 当 cos A时，cos B， 2 2 3 2 又 A，B 是三角形内角， A，B，不合题意，舍去， 3 4 5 6
12、 综上可知 B . 6 15已知 ，且 sin()cos.cos()cos()，求 ，. (0， 2) 2 ( 2) 32 解 由已知可得Error!Error! sin23cos22， sin2 ，又 ， 1 2 (0， 2) sin ， . 2 2 4 将 代入中得 sin ，又 ， 4 1 2 (0， 2) ， 6 综上 ， . 4 6 16已知 cossin1.求 cos2cos 1 的取值范围 ( 2) ( 2) ( 3 2) 解 由已知得 cos 1sin . 1cos 1， 11sin 1， 又1sin 1， 可得 0sin 1， cos2cos 1 ( 3 2) sin21sin 1sin2sin 2 .(*) (sin 1 2) 1 4 又 0sin 1， 当 sin 时，(*)式取得最小值 ， 1 2 1 4 当 sin 0 或 sin 1 时，(*)式取得最大值 0， 故所求范围是. 1 4，0