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1、专题 05 函数与导数的综合运用专题 05 函数与导数的综合运用 【自主热身，归纳提炼】【自主热身，归纳提炼】 1、函数f(x)ax3ax22ax2a1 的图像经过四个象限的充要条件是_ 1 3 1 2 【答案答案】 0)和yx3(x0)均相切， 切点分别为A(x1，y1)和B(x2， y2)，则的值为_ x1 x2 3、 已知点A(0,1)， 曲线C：ylogax恒过点B， 若P是曲线C上的动点， 且的最小值为 2， 则实数aAB AP _. 【答案答案】e 根据条件，要求的最小值，首先要将它表示成点P(x，logax)的横坐标x的函数，然后再利思路分析AB AP 用导数的方法来判断函数的单
2、调性，由此来求出函数的最小值 点A(0,1)，B(1,0)， 设P(x， logax)， 则(1， 1)(x， logax1)xlogax1.依题f(x)xlogaxAB AP 1 在(0，)上有最小值 2 且f(1)2，所以x1 是f(x)的极值点，即最小值点f(x)1 1 xlna .若 00，f(x)单调递增， 在(0， )无最小值， 所以a1.设f(x)0， 则xlogae， xlna1 xlna 当x(0，logae)时，f(x)0，从而当且仅当xlogae 时，f(x)取 最小值，所以 logae1，ae. 本题的关键在于要能观察出f(x)xlogax12 的根为 1， 然后利用函
3、数的极小值点为x1 来解后反思 求出a的值，因而解题过程中，不断地思考、观察很重要，平时学习中，要养成多思考、多观察的习惯 4、 已知函数f(x)x1(e1)lnx，其中 e 为自然对数的底，则满足f(ex)0 的x的取值范围为 _ 【答案答案】(0,1) 注意到条件f(ex)0 两个情况进行讨论，得到函数在0，)上的单调性， 结合函数单调性得到a2，从而解出a的取值范围 2 3 先讨论函数在0，)上的单调性当a0 时，f(x)x3ax2，f(x)3x22ax0 在0，)上恒 成立， 所以f(x)在0， )上单调递增， 则也在0,2上单调递增， 成立 ； 当a0时，f(x)Error!当0xa
4、 时，f(x)2ax3x2，令f(x)0，则x0 或xa，则f(x)在上单调递增，在上单 2 3 0， 2 3a) ( 2 3a，a) 调递减 ； 当xa时，f(x)3x22axx(3x2a)0， 所以f(x)在(a， )上单调递增， 所以当a0时，f(x) 在上单调递增， 在上单调递减， 在(a， )上单调递增 要使函数在区间0,2上单调递增， 0， 2 3a) ( 2 3a，a) 则必有a2，解得a3.综上，实数a的取值范围是(，03，) 2 3 【关联 1】 、【关联 1】 、若函数f(x)(aR R)在区间1,2上单调递增，则实数a的取值范围是_ | ex 2 a ex| 【答案】：
5、e2 2 ，e 2 2 【解析】 ： 【思路分析】 本题所给函数含有绝对值符号，可以转化为g(x)的值域和单调性来研究， ex 2 a ex 根据图像的对称性可得g(x)只有单调递增和单调递减这两种情况 ex 2 a ex 设g(x)，因为f(x)|g(x)|在区间1,2上单调递增，所以g(x)有两种情况： ex 2 a ex g(x)0 且g(x)在区间1,2上单调递减 又g(x)，所以g(x)0 在区间1,2上恒成立，且g(1)0. ex22a 2ex ex22a 2ex 所以Error!无解 g(x)0 且g(x)在区间1,2上单调递增， 即g(x)0 在区间1,2上恒成立， 且g(1)
6、0， ex22a 2ex 所以Error!解得a. e2 2 ，e 2 2 综上，实数a的取值范围为. e2 2 ，e 2 2 【关联 2】 、【关联 2】 、若函数 f(x)(x1)2|xa|在区间1，2上单调递增，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】： (，1 7 2，) 由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数思路分析 研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数 f(x)的图像进行求解 函数 f(x)(x1)2|xa|(x1)2(xa)|x3(2a)x2(12a)xa|. 令 g(x)x3(2a)x2(12a)xa，则 g(x)3x2(
7、42a)x12a(x1)(3x12a) 令 g(x)0 得 x11，x2. 2a1 3 当0，即(x1)(3x12a)0，解得 x1；令 g(x)1，即 a1 时， 2a1 3 令 g(x)0，即(x1)(3x12a)0，解得 x；令 g(x)1，故 a (此种 ( 2a1 3 ，a) 2a1 3 7 2 7 2 情况函数 f(x)图像如图 3) 综上，实数 a 的取值范围是(，1. 7 2，) 9、 已知函数f(x)Error!若对于tR R，f(t)kt恒成立，则实数k的取值范围是_ 【答案】： ，1 【思路分析】 本题条件“tR R，f(t)kt”的几何意义是：在(，)上，函 1 e 数
8、yf(t)的图像恒在直线ykt的下方，这自然提示我们利用数形结合的方法解决本问题 令yx32x2x，x0，即(x1)(3x1)0，解得x1.又因为x0)，则 g(x)的最大值为 ，由根号内的结构联想到勾股定理，从而构造ABC 满 x（ax21x2） |a1| 2 3 足 AB， AC1， ADBC， ADx， 则 BD， DC， 则 SABC BCAD x()aax21x2 1 2 1 2 ax21x2 ABACsinBAC ABAC， 当且仅当BAC时， ABC 的面积最大， 且最大值为.从而 g(x) 1 2 1 2 1 2 a 2 1 2 a SABC，所以 ，解得 a4 或 a . x
9、（ax21x2） |a1| 2 |a1| a |a1| a |a1| 2 3 1 4 解法 2 2(导数法，理科) 由题意得函数 f(x)为奇函数 因为函数 f(x)，所以 x ax21x2 f(x) （ax21x2）x( 2x 2ax2 2x 21x2) （ax21x2）2 ， ax21x2x2 （ax21x2）ax21x2 a1. 令 f(x)0，得 x2，则 x2.ax21x2 a a1 因为函数 f(x)的最小值为 ，且 a0. 2 3 由x20，得 a(a1)x20.ax21x2 当 00 得xf，所以 f(x)minf ，解得 a .a a 1a ( a a1) a a1( a a
10、1) a a1 2 3 1 4 当 a1 时，0，函数 f(x)的定义域为1，1，由 f(x)0 得0)，则 g(x)的最大值为 ，设向量a a(，)，b b(，)，a a x（ax21x2） |a1| 2 3 ax2x2x21x2 与b b的夹角为，则有a ab b|a a|b b|cos|a a|b b|， 即(，)(，)，ax2x2x21x2（ax2）x2x2（1x2） 亦即，亦即x()，ax2x2x21x2aax21x2a 当且仅当a a与b b同向时等号成立，即0，亦即x2时，取等号ax21x2x2x2 a a1 即x()的最大值为，从而g(x)的最大值为，即有 ，解得a4 或a .
11、ax21x2a a |a1| a |a1| 2 3 1 4 1. 最值的求法通常有如下的方法： 解后反思 (2)解法1 1(根的分布) 当x01时， 则f(x0)0， 又b3a， 设tf(x0)， 则题意可转化为方程ax ct(t0) 在(0，)上有相异两实根 x1，x2, (6 分) 3a x 即关于 x 的方程 ax2(ct)x(3a)0(t0)在(0，)上有相异两实根 x1，x2. 则 x1，2，所以 ct （ct）24a（3a） 2a 得 0a3， （ct）24a（3a）0， x1x2ct a 0， x1x23a a 0，) 0a3， （ct）24a（3a）， ct0. ) 所以 c2
12、t 对任意 t(0，)恒成立a（3a） 因为 0a3，所以 223(当且仅当 a 时取等号)a（3a） a3a 2 3 2 又t0，所以 2t 的取值范围是(，3)，所以 c3.a（3a） 故 c 的最小值为 3.(10 分) 解法 2 2(图像法) 由 b3a， 且 0 a3， 得 g(x)a0， 得 x或 x 3a x2 ax2（3a） x2 3a a (舍)，则函数 g(x)在上单调递减；在上单调递增 3a a(0， 3a a)( 3a a ，) 又对任意 x01， f(x0)为(0， )上的任意一个值， 若存在不相等的正实数 x1， x2， 使得 g(x1)g(x2)f(x0)， 则
13、g(x)的最小值小于或等于 0. 即 g2c0，(6 分) ( 3a a) a（3a） 即 c2对任意 a(0，3)恒成立a（3a） 又 2a(3a)3，所以 c3.a（3a） 当c3时， 对任意a(0， 3)， x0(1， )， 方程g(x)f(x0)0化为ax3f(x0)0， 即ax23 3a x f(x0)x(3a)0 (*) 关于 x 的方程(*)的3f(x0)24a(3a) 3f(x0)243f(x0)29， ( a3a 2 ) 2 因为 x01，所以 f(x0)lnx00，所以0，所以方程(*)有两个不相等的实数解 x1，x2，又 x1x2 0，x1x20，所以 x1，x2为两个相
14、异正实数解，符合题意所以 c 的最小值为 3. f（x0）3 a 3a a 解法 3 3(图像法) 当 x01 时，可知 f(x0)0，又 b3a，设 tf(x0)，则 t0. 令 h(x)axct(x0，t0)，同解法 2 可知 h(x)在上单调递减；在 3a x(0， 3a a)( 3a a ，) 上单调递增 当 c2时， 若 0t2c， 则 x0 时， h(x)axct2ca（3a）a（3a） 3a x a（3a） t0，所以 h(x)在(0，)上没有零点，不符合题意 当 c2时，h2ctt0.a（3a） ( 3a a) a（3a） 因为2c，ct，所以 0，所以当 0m时，a（3a）a
15、（3a）a（3a） 3a ct 3a a 3a ct ct，所以 h(m)amctct0， 3a m 3a m 3a m 又 h(x)在上单调递减，并且连续，则 h(x)在(m，)上恰有一个零点，所以存在 x1(0， (0， 3a a) 3a a )，使得 h(x1)0，即 g(x1)t. 3a a 因为 ctc， 所以， 所以当 n时， h(n)anctanct0，a（3a） ct a 3a a ct a 3a n 又 h(x)在上单调递增，并且连续，则 h(x)在上恰有一个零点，所以存在 x2 ( 3a a ，) ( 3a a ，n) ，使得 h(x2)0，即 g(x2)t. ( 3a a
16、 ，) 所以当 c2时，对任意 x0(1，)和任意 a(0，3)，总存在不相等的正实数 x1，x2，使a（3a） 得 g(x1)g(x2)f(x0) 即 c2对任意 a(0，3)恒成立a（3a） 又 2a(3a)3，当且仅当 a 时取等号，所以 c3.a（3a） 3 2 故 c 的最小值为 3. (3)当 a1 时， 因为函数 f(x)与 g(x)的图像交于 A， B 两点， 所以两式相减， 得 bx1x2(1 lnx1x1 b x1c， lnx2x2 b x2c，) ) lnx2lnx1 x2x1 要证明 x1x2x21，此时即证 1 0，所以当 t1 时，函数(t)单调递增 1 t 1 t
17、 1 t2 t1 t2 又(1)0，所以(t)lnt 10，即 1 1 时，函数 m(t)单调递减 1 t 1t t 又 m(1)0，所以 m(t)lntt10，所以 f(x)的单调递减区间是(，0)和0，ln2，单调递增区间是ln2，)(5 分) (2) 当 x0 时，f(x)exax，此时xf(lna)，且 f(lna)存在唯一的整数x0成立， ex（3x2） x2 因为F9e 最小，且F(3)7e3，F(4)5e4，所以当a5e4时，至少有两个整数成立，当a7e3时，没 ( 8 3) 8 3 有整数成立，所以a(7e3，5e4 综上，a(7e3，5e4 5 3e，1) 【关联 2】 、【
18、关联 2】 、已知函数 f(x)，其中 a 为常数 lnx （xa）2 (1) 若 a0，求函数 f(x)的极值； (2) 若函数 f(x)在(0，a)上单调递增，求实数 a 的取值范围； (3) 若 a1，设函数 f(x)在(0，1)上的极值点为 x0，求证：f(x0)ae ，则 g(x)2lnx1e ，即 a0，所以 g(x)2xlnxx 单调递增， 1 2 所以当 xe 时，g(x)ming(e )2e lne e 2e ，所以 a2e . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 综上，实数 a 的取值范围是(，2e 1 2 (3) 当 a1 时，f(x)，f(x). l
19、nx （x1）2 x12xlnx x（x1）3 令 h(x)x12xlnx，x(0，1)， 则 h(x)12(lnx1)2lnx1，令 h(x)0，得 xe . 1 2 当e x0， ( 1 2) 1 2 1 2 1 2 4 e h(e2)e212e2lne210，所以 f(x)单调递增； lnx （x1）2 当 x00)， a x xa x 当a0 时，f(x)1 0，所以f(x)在(0，)上是增函数； a x xa x 当a0 时， x(0，a)a(a，) f(x)0 f(x)极小值 所以f(x)的增区间是(a，)，减区间是(0，a) 综上所述， 当a0 时，f(x)的单调递增区间是(0，
20、)； 当a0 时，f(x)的单调递增区间是(a，)，单调递减区间是(0，a) (2) 由题意得f(x)min0. 当a0 时，由(1)知f(x)在(0，)上是增函数， 当x0 时，f(x)，故不合题意；(6 分) 当a0 时， 由(1)知f(x)minf(a)a1alna0.令g(a)a1alna， 则由g(a)lna0， 得a1， a(0,1)1(1，) g(a)0 g(a)极大值 所以g(a)a1alna0，又f(x)minf(a)a1alna0，所以a1alna0， 所以a1，即实数a的取值集合是1(10 分) (3) 要证不等式 1 nf(1)，即x1lnx0，所以 lnx0， 1 x
21、 x1 x2 所以(x)在(1,2上递增，故(x)(1)，即 lnx 10，所以 1 1” ，接下来的问题就 是求h(x)在0,1上的最大值和最小值对于含绝对值的函数一般首先要去掉绝对值，这里要运用好分类讨 论思想 (3) 若存在x1，x20,1，使|h(x1)h(x2)|1 成立，则等价转化为h(x)在0,1上的最大值h(x)max和最 小值h(x)min满足h(x)maxh(x)min1. 解法 1 h(x)|g(x)|f(x)Error! 当xb时，有h(x)(xb1)ex0； 当x0； 当b11，得(1b)eb1，解得b0，即b，此时h(0)h(1)； e e1 若b1，得(1b)e1，解得b1 不成立 综上，b的取值范围为，. e1 e 解法 2 h(x)|g(x)|f(x)|xb|ex|(xb)ex|，令(x)(xb)ex，则h(x)|(x)|. 先研究函数(x)(xb)ex，(x)(xb1)ex. 因为b0， 因此(x)在0,1上是增函数 所以(x)min(0) b，(x)max(1)(1b)e0. 若(0)b0，即b0 时，h(x)min(0)b，h(x)max(1)(1b)e， 则由h(x)maxh(x)min1，即(1b)eb1，解得b1，即(1b)e1，解得b1，得b1，与b1 不成立 综上，b的取值范围为，. e1 e