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1、专题 10 平面向量的数量积及其应用专题 10 平面向量的数量积及其应用 【自主热身，归纳总结】【自主热身，归纳总结】 1、 已知向量a a，b b满足a a(4，3)，|b b|1，|a ab b|，则向量a a，b b的夹角为_ 21 【答案】 3 【解析】 ： 设向量a a，b b的夹角为， 由|a ab b|得， 21 2a a2b b22a ab b25125cos， 21(a ab b) 即 cos ，所以向量a a，b b的夹角为. 1 2 3 2、已知|a a|1，|b b|2，a ab b(1，)，则向量a a，b b的夹角为_2 【答案】. 2 3 3、已知平面向量a a(
2、2，1)，a ab b10，若|a ab b|5，则|b b|的值是_2 【答案】【答案】5 【解析】：因为 50|a ab b|2|a a|2|b b|22a ab b520|b b|2，所以|b b|5. 4、 已知平面向量a a(4x,2x)，b b（1，） ，xR R，若a ab b，则|a ab b|_. 2x2 2x 【答案】. 2 【解析】 ： 因为a ab b， 所以 4x2x4x2x20， 解得 2x2(舍)或 2x1， 故a a(1,1)，b b(1， 2x2 2x 1)，故a ab b(0,2)，故|a ab b|2. 5、 如图， 在平面四边形ABCD中，O为BD的中点
3、， 且OA3，OC5.若7， 则的值是_AB AD BC DC 【答案】 9 【解析】：()()()()OC2OD2，类似AO2OD27，BC DC OC OB OC OD OC OD OC OD AB AD 所以OC2OD2OC2AO279.BC DC 思想根源 极化恒等式：a ab b 22.在ABC中，若M是BC的中点，则 AM2MC2.其作 ( a ab b 2)( a ab b 2) AB AC 用是：用线段的长度来计算向量的数量积 6、 已知非零向量a a，b b满足|a a|b b|a ab b|，则a a与 2a ab b夹角的余弦值为_ 【答案】： 5 7 14 解法 1 因
4、为非零向量a a，b b满足|a a|b b|a ab b|，所以a a2b b2a a22a ab bb b2，a ab ba a2b b2， 1 2 1 2 所以a a(2a ab b)2a a2a ab ba a2，|2a ab b|a a|， 5 2 2a ab b25a a24a ab b7 cosa a,2a ab b. a a2a ab b |a a|2a ab b| 5 2a a 2 |a a| 7|a a| 5 2 7 5 7 14 解法 2 因为非零向量a a，b b满足|a a|b b|a ab b|，所以a a，b b， 2 3 所 以a a(2a ab b) 2a a
5、2a ab b 2a a2 |a a|b b|cosa a2， |2a ab b| 2 3 5 2 2a ab b25a a24a ab b |a a|.5a a24|a a|b b|cos2 3 7 以下同解法 1. 解后反思 解法 2 充分挖掘题目条件 “非零向量a a，b b满足|a a|b b|a ab b|” ， 可构造一个内角为的菱形， 2 3 向量a a，b b为此菱形的一组邻边，且其夹角为.类似地，若将条件变为“|a a|b b|a ab b|” ，同样可构 2 3 造一个内角为的菱形，向量a a，b b为此菱形的一组邻边，但其夹角应为. 2 3 3 7、 在ABC中，已知AB
6、1，AC2，A60，若点P满足，且1，则实数的AP AB AC BP CP 值为_ 【答案】： 1 或 1 4 解法 1 由题意可得.又(1)，所以(AP AB BP AC CP AP AC AB AC BP CP AB AC 1)|21，即(2)41，所以有 42310，解得1 或 .AC 1 4 解法 2 建立如图所示的平面直角坐标系，所以A(0,0)，B，C(2,0)，设P(x，y) ( 1 2， 3 2) 所以(x，y)，(2,0)AP AB ( 1 2， 3 2) AC 又因为，所以有Error!AP AB AC 所以(2，0)，.BP CP (2 3 2， 3 2) 由1 可得 4
7、2310，解得1 或 .BP CP 1 4 解后反思 用基向量表示其他向量的能力是平面向量考查的重点，如何基底化需要积累经验，如果不能基底 化，也可以恰当建系，正确给出每个点的坐标，用坐标运算 8、 如图， 在ABC 中， 已知边 BC 的四等分点依次为 D， E， F.若2，5， 则 AE 的长为_AB AC AD AF 【答案】【答案】 6 解决平面向量问题有三种常见方法 ： 基底法、 坐标法和几何法， 由于本题求线段 AE 长， 且点 B， C， D，思路分析 E，F 共线，故可以用向量，作为基底 AE ED 解法 3 3(基底法) 因为 E 在中线 AD 上， 所以可设()， 则(1)
8、， 同理(1AE AB AC EB AB AC EC )， 所以3(1)2213(1)37(1) 由E0， 得(AC AB EB EC AD C AB )(1)0，可解得 .从而3 .AC AC AB 1 7 EB EC 6 7 27 7 对于平面向量数量积的计算主要有两种思路：(1)坐标法：通过建立平面直角坐标系，写出各点的解后反思 坐标，通过坐标运算求解；(2)基底法：根据题目条件，选择合适的目标向量，再将求解的向量向目标向量 转化并求解本题用坐标法求解，较为简单，请考生尝试用基底法求解. 【关联 2】 、 【关联 2】 、 如图，扇形AOB的圆心角为 90，半径为 1，点P是圆弧AB上的
9、动点，作点P关于弦AB 的对称点Q，则OP OQ 的取值范围为 Q P O B A 【答案】 21,1 解法 1 （坐标法） 解法 1 （坐标法） 以OA为x轴，OB为y轴，建立平面直角坐标系，则)0 , 1 (A，) 1 , 0(B，则直线 ，由于点P在单位圆在第一象限的圆弧上，可设， 2 , 0 ，设点P关 于 直 线AB的 对 称 点),( 11 yxQ， 则， 可 得， 即 所以 令，则2, 1t且 故，所以 OP OQ 的取值范围为 21,1 解法 2 （极化恒等式） 解法 2 （极化恒等式） 设PQ的中点为M， 则 ， 根据图形可得， 当点P 与A（或B）重合时，点Q与P重合，且1
10、 max OM，0 min MP，则，当点P位于 弧AB的中点时，则，所以OP OQ 的取值范 围为 21,1 解法 3 （特殊位置法） 解法 3 （特殊位置法） 注意到本题图形的对称性， 易得OP OQ 的 最大值和最小值在点P位于弧AB的端点或中点时取得， 当点P与 A（或B）重合时，点Q与P重合，此时 ，故OP OQ 1 ；当点 P位于弧AB的中点时，如图，设OP与AB相交于点H，则 ，故， 可得，所以OP OQ 的取值范围为 21,1 解后反思：解后反思：解决平面向量数量积的综合问题最常用的两种方法是坐标法和基底法，坐标法首先需要根据图 形建立适当的平面直角坐标系，然后表示目标向量的坐
11、标；基底法则需要选择一对不共线的向量作为基底 来表示目标向量，然后利用向量的运算法则进行处理.另外，注意到本题是填空题，涉及的图形的对称性， 可以考虑利用特殊法计算，也充分体现了小题小做，小题巧做的思想. 【变式 3】 、 【变式 3】 、 如图，已知2AC ，B为AC的中点，分别以AB, AC为直径在AC的同侧作半圆，M, N 分别为两半圆上的动点（不含端点ABC， ，） ，且BMBN，则AM CN 的最大值为 【思路分析】处理向量数量问题，主要是坐标法和基底法，解法 1，建立坐标系， 设 ， (0) 2 ， ，得到 M,N 坐标，建立以角a的函数关系式；解法 2，两个向量不共起点， 可以转
12、化为以B为起点的向量， 运用向量数量积的定义得到关于AM uuuu r 的函数， 换元转化二次函数， 求最值 ； 解法 3， 建立坐标系后，设出直线 BN和BM 方程， ,M N 为直线与圆的交点，联立直线与圆方程，求出 ,M N 的 坐标，得到一个关于斜率k 的函数关系式，换元后求最值. 【答案】 1 4 【解法 1】（坐标法） 以点B为坐标原点， 线段AC所在的直线为x轴， 建立平面坐标系。 设 ，(0) 2 ，则, ， = ，当时， AM CN uuur uuu r 的最大值为 1 4 . 【解法 2】 （定义法）设，(0) 2 ， ，令AMt= uuur ，01t ，所以AM CN u
13、uur uuu r 的最大值为 1 4 . 【解法 3】 （解析几何法）以点B为坐标原点，线段AC所在的直线为x轴，建立平面坐标系。 ，设直线BN 的斜率为(0)k k ，则直线BM的斜率为 1 k ，则直线BN的方程为ykx，直线BM的方程为 1 yx k ， 联立 22 , 1 ykx xy 解得， 联立解得， 因为( 1,0)A ，(1,0)C， 所以， AM CN= uuur uuu r 令 2 1 1 t k ，则01t ，所以AM CN uuur uuu r 的最大值为 1 4 . 【解题反思】若题中几何关系明显，且所求向量的长度和夹角未知，首选坐标法;圆中求向量数量积最值问 题，
14、优先考虑以角作为参数，来建立函数关系，这样问题转为三角的最值问题，便于求解 . 例 3、 如图，ABC 为等腰三角形，BAC120，ABAC4，以 A 为圆心，1 为半径的圆分别交 AB，AC 于点 E，F，点 P 是劣弧上的一动点，则的取值范围是_EF PB PC 【答案】.【答案】. 11，9 解法 1 1(几何法) 取 BC 的中点 M， 连结 PM， 则两个动向量，均可用一个动向量和一个定向量表示.PB PC PM MC ()()PM2MC2.PB PC PM MC PM MC 因为 MC 为定值，所以的变化可由 PM 的变化确定PB PC 易得 AM2，MC2.3 当 P 为劣弧与
15、AM 的交点时，PM 取最小值 AM11；PM 的最大值为 EMFM.EF 3 所以 PM2MC2的取值范围是11，9，即11，9PB PC 解法 2 2(坐标法) 以 A 为原点， 垂直于 BC 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xAy， 则 B(2， 2)， C(2， 23 )， 设 P(cos，sin)，其中.3 3 ， 3 (2cos， sin2)(2cos， 2sin)(cos2)2sin21274cos.PB PC 33 因为cos，所以11，9 1 2，1 PB PC 【变式 1】 、【变式 1】 、 已知|，且1.若点C满足|1，则|的取值范围是_OA OB 2OA OB O
16、A CB OC 【答案】： 1，1 66 【解析】：如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则，因为|，1，OD OA OB OA OB 2OA OB 所以|， 由|1得|OD OA OB OA OB 2OA 2OB 22OA OB 6OA CB OA CB OA OB OC |1，所以点C在以点D为圆心，1 为半径的圆上，而|表示点C到点O的距离，从而|OD OC CD OC |1|1，即1|1，即|的取值范围是1，1OD OC OD 6OC 6OC 66 【变式 2】 、【变式 2】 、在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB2，若点P(2，)，5 则|的
17、取值范围是_AP BP OP 【答案】. 7,11 解法 3 因为AB2， 所以AB的中点M在以原点为圆心， 1 为半径的圆上运动(如下图)， 则|2AP BP OP |，当M点为射线OP与圆交点时，|2|的最小值为 7，当M点为射线OP的反向延长线与圆交点MP OP MP OP 时，|2|的最大值为 11，所以|的取值范围是7,11MP OP AP BP OP 【关联 1】 、【关联 1】 、 已知平面向量(1,2)，(2,2)，则的最小值为_AC BD AB CD 【答案】 9 4 思路分析 以为桥梁，把，与已知向量，联系起来CB AB CD AC BD 设(x，y)， 则(x1，y2)，
18、(x2，y2) 所以(x1)(x2)(yCB AB AC CB CD CB BD AB CD 2)2 2(y2)2 ，其最小值为 . (x 1 2) 9 4 9 4 【关联2】 、【关联2】 、 已知a a，b b，c c是同一平面内的三个向量， 其中a a，b b是互相垂直的单位向量， 且(a ac c)(b bc c)3 1，则的最大值是_|c c| 【答案】 1 2 首先要根据题目条件求出c c(x，y)的轨迹方程，再利用|c c|的几何意义求解即可；另外，也可以思路分析 考虑用三角换元，用三角函数的有界性求解 解法 1 设a a(1,0)，b b(0,1)，c c(x，y)，则a ac
19、 c(1x，y)，b bc c(x，y)，33 由题意得x(1x)y(y)1，整理得x2y2xy10，33 即 222，它表示以 为圆心，以为半径的圆，则表示该圆上的点到原点(0,0)的距 (x 1 2)(y 3 2)( 1 2， 3 2) 2|c c| 离，从而|c c|max1. 2 ( 1 2) 2( 3 2) 2 2 解法 2 由解法 1 得 222， (x 1 2)(y 3 2) 令Error!(为参数)， 则|c c|2 223 cossin32cos()(其中 tan)， ( 1 2 2cos)( 3 2 2sin) 2623 所以|c c|32，于是|c c|max1. 2max 22