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1、专题 21 与导数有关的应用题专题 21 与导数有关的应用题 【自主热身，归纳总结】【自主热身，归纳总结】 1如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图已知AB为直径，且AB2 km，O为圆心，C为圆周上靠近A 的一点，D为圆周上靠近B 的一点，且CDAB.现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是 圆弧，C到D是线段CD.设AOCx rad，观光路线总长为y km.AC (1) 求y关于x的函数【解析】式，并指出该函数的定义域； (2) 求观光路线总长的最大值 【解析】： (1) 由题意知x1x，(2 分)AC CD2cosx.(5 分) 因为C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一
2、点，且CDAB，所以 00，g(u)单调递增； 当 518，所以在相应的t的范围内，v2v36，(v6)t1,16vt,126t均为正数， 48 5 可知f(t)在和上递增，在和上递减 (0， 5 v 5 v， 13 v 13 v ，16 v 16 v ，2 即f(t)在上递增，在上递减，所以f(t)maxf. (0， 13 v 13 v ，2 ( 13 v) 令f25，得14，解得 8v. ( 13 v) 13v6 v 39 4 当分段函数f(t)的图像连续时，整体考虑函数的单调性求最值，可减少很多(无效)计算量一个解后反思 小窍门是：分段函数的各个分界点，能用“闭区间”就不用开区间 【变式
3、1】 、【变式1】 、某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60x120)时， 每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中k为常数，且 60k100. 1 5(xk 4500 x) (1) 若汽车以 120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为 11.5 L，欲使每小时的油耗不超过 9 L，求x的取值 范围； v(0,2)a2a(2，80)a y0 y极小值 在v2时，y最小(13 分)a 答：以上说明，当 0a1 600 时，货车以 2 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小；当a1 600 时，货a 车以 80 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小(14 分)