《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.5 1.5.3 微积分基本定理 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.5 1.5.3 微积分基本定理 .pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、15.3 微积分基本定理 对应学生用书 P28 已知函数 f(x)2x1，F(x)x2x. 问题 1：f(x) 和 F(x)有何关系？ 提示：F(x)f(x) 问题 2：利用定积分的几何意义求(2x1)dx 的值 2 0 提示：(2x1)dx6. 2 0 问题 3：求 F(2)F(0)的值 提示：F(2)F(0)426. 问题 4：你得出什么结论？ 提示：f(x)dxF(2)F(0)，且 F(x)f(x) 2 0 问题 5：已知 f(x)x3，F(x) x4，试探究f(x)dx 与 F(1)F(0)的关系 1 4 1 0 提示 ： 因f(x)dxx3dx .F(1)F(0) ， 有f(x)F(
2、1)F(0)且 F(x) 1 0 1 0 1 4 1 4 1 0 f(x) 微积分基本定理 对于被积函数 f(x)， 如果 F(x)f(x)， 那么f(x)dxF(b)F(a)， 即F(x)dx b a b a F(b)F(a) 1微积分基本定理表明，计算定积分f(x)dx 的关键是找到满足 F(x)f(x)的函数 b a F(x)通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(x) 2微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算 定积分的一种有效方法 对应学生用书P29 求简单函数的定积分 例 1 求下列定积分： (1)(x22x3
3、)dx； 2 1 (2)(sin xcos x)dx； 0 (3)(cos xex)dx. 0 思路点拨 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解 精解详析 (1)取 F(x) x23x， x3 3 则 F(x)x22x3， 从而(x22x3)dxF(x)dxF(2)F(1). 2 1 2 1 25 3 (2)取 F(x)cos xsin x， 则 F(x)sin xcos x， 从而(sin xcos x)dxF(x)dxF()F(0)2. 0 0 (3)取 F(x)sin xex，则 F(x)cos xex， 从而(cos xex)dxF( )dxF(0)F() 1. 0 0 x
4、1 e 一点通 求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数 不易求时，可将被积函数适当变形后再求解； (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限 1(江西高考改编)若 f(x)x22f(x)dx，则 1 0 f(x)dx_. 1 0 解析：f(x)x22f(x)dx， 1 0 f(x)dx 2f(x)dx. 1 0( 1 3x 32x 1 0 f(x)dx)1 0 1 3 1 0 f(x)dx . 1 0 1 3 答案：1 3 2.(cos x1)dx_. 0 解析：(sin xx)cos x1， (cos x1)dx(si
5、n xx) 0 | 0 (sin )(sin 00). 答案： 3求下列定积分： (1)sin2dx；(2)(2x2)(3x)dx. 2 0 x 2 3 2 解：(1)sin2 ， x 2 1 2 cos x 2 而 cos x， ( 1 2x 1 2sin x) 1 2 1 2 所以sin2dxdx 2 0 x 2 2 0(1 2 1 2cos x) . ( 1 2x 1 2sin x)| 2 0 4 1 2 2 4 (2)原式(62x3x2x3)dx 3 2 (6xx2x31 4x 4)|3 2 (6 33 2331 4 34) (6 222231 4 24) . 7 4 求分段函数的定积
6、分 例 2 (1)设 f(x)Error!Error! 求f(x)dx； 1 1 (2)求dx(a0) a a x2 思路点拨 按照函数 f(x)的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和 精解详析 (1)f(x)dxx2dx(cos x1)dx 1 1 0 1 1 0 x3(sin xx) sin 1 . 1 3 | 01 |1 0 2 3 (2)由Error!Error!得dxxdx(x)dx x2 x2a2.x2 a a x2 a 0 0 a 1 2 |a 0 1 2 | 0a 一点通 (1)分段函数在区间a，b上的积分可分成几段积分的和的形式 (2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定
7、，按照原函数分段的情况分即可，无需 分得过细 4.|x2|dx_. 3 4 解析：|x2|Error!Error! |x2|dx(x2)dx(x2)dx 3 4 3 2 2 4 . ( 1 2x 22x)|3 2 ( 1 2x 22x)|2 4 29 2 答案：29 2 5设 f(x)Error!Error!若 f(f(1)1，则 a_. 解析：显然 f(1)lg 10， 故 f(0)0 3t2dtt31，a 0|a 0 得 a1. 答案：1 求图形的面积 例 3 求由曲线 yx22x3 与直线 yx3 所围成的图形的面积 思路点拨 . 在坐标系中 作出图象 求曲线与直线的交点利用定积分求面积
8、 精解详析 画出草图，如图所示 解方程组Error!Error! 得 A(0,3)，B(3,6) 所以 S(x3)dx(x22x3)dx， 3 0 3 0 取 F(x) x23x，则 F(x)x3， 1 2 取 H(x) x3x23x，则 H(x)x22x3， 1 3 从而 SF(3)F(0)H(3)H(0) 0 ( 1 2 323 3) ( 1 3 33323 3)0 . 9 2 一点通 利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤： (1)根据题意画出图形； (2)找出范围，定出积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差；
9、 (5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果 6曲线 y ，直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为_x 解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点 A(0，2)， 由Error!Error!得Error!Error! 所以 B(4,2)，因此所围成的图形的面积为dx4 0(xx2) Error!Error!. 4 0 16 3 答案：16 3 7 设 a0， 若曲线 y与直线 xa， y0 所围成封闭图形的面积为 a2， 则 a_.x 解析：由已知得 Sdx x a a2，所以 a ，所以 a . a 0 x 2 3 3 2| a 0 2 3 3 2 1 2 2 3 4 9 答案
10、：4 9 1求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分 (2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分再求和 (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分 2利用定积分求曲边梯形的面积 (1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确 定出被积函数以及积分的上、下限 (2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分 和的极限，可为正，也可为负或零 ； 而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当 f(x)0 时要通过绝对值处理为正， 一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积， 然后相加起 来
11、对应课时跟踪训练(十一) 一、填空题 1.dx_. e 1 1 x 解析：dxln x ln eln 11. e 1 1 x |e 1 答案：1 2.(2sin x3ex2)dx_. 0 解析：(2sin x3ex2)dx(2cos x3ex2x) 723e. 0 | 0 答案：723e 3(江西高考改编)若 S1x2dx，S2dx， 2 1 2 1 1 x S3exdx，则 S1，S2，S3的大小关系为_ 2 1 解析 ： S1 x3Error!Error! ， S2ln xError!Error!ln 2ln e1， S3exError!Error!e2e2.72 1 3 8 3 1 3
12、7 3 2.74.59，所以 S2S1S3. 答案：S2S1S3 4设 f(x)则f(x)dx_. 2 0 解析：f(x)dxx2dx(2x)dx 2 0 1 0 2 1 x3(2x x2) . 1 3 |1 0 1 2 |2 1 5 6 答案：5 6 5(福建高考)如图，在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则 它落到阴影部分的概率为_ 解析：因为函数 yex与函数 yln x 互为反函数，其图象关于直线 yx 对称，又因为 函数 yex与直线 ye 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为 2(e1exdx)2e2ex2e(2e2)2， 1 0 |1 0 由几何
13、概型的概率计算公式， 得所求的概率 P . S阴影 S正方形 2 e2 答案： 2 e2 二、解答题 6f(x)是一次函数，且 f(x)dx5， xf(x)dx， 1 0 1 0 17 6 求 f(x)的解析式 解：设 f(x)axb(a0)， 则(axb)dx ab5. 1 0 ( 1 2ax 2bx)|1 0 1 2 x(axb)dx(ax2bx)dx 1 0 1 0 a b， ( 1 3ax 31 2bx 2)|1 0 1 3 1 2 17 6 所以由Error!Error! 解得 a4，b3，故 f(x)4x3. 7求由曲线 yx2与直线 xy2 围成的面积 解：如图，先求出抛物线与直
14、线的交点，解方程组Error!Error! 得Error!Error!或Error!Error! 即两个交点为(1,1)，(2,4)直线为 y2x，则所求面积 S 为： S(2x)x2dx 1 2 . (2x x2 2 x 3 3)| 12 9 2 8 设 f(x)是二次函数， 其图象过点(0,1)， 且在点(2， f(2)处的切线方程为 2xy30. (1)求 f(x)的表达式； (2)求 f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积； (3)若直线 xt(0t1)把 f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分， 求 t 的值 解：(1)设 f(x)ax2bxc， 其图象过点(0,1)，c1， 又在点(2，f(2)处的切线方程为 2xy30， Error!Error! f(x)2axb， Error!Error! a1，b2，故 f(x)x22x1. (2)依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所 示， 故所求面积 S(x22x1)dxError!Error! . 0101 1 3 (3)依题意，有 S(x22x1)dxError!Error! ， 1 2 0t0t 1 6 即 t3t2t ， 1 3 1 6 2t36t26t10， 2(t1)31， t1. 1 3 2