《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.1 2.1.1 第一课时 归纳推理含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.1 2.1.1 第一课时 归纳推理含解析.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、_2.1合情推理与演绎推理 21.1 合 情 推 理 第一课时 归 纳 推 理 问题 1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？ 提示：都能导电 问题 2：由问题 1 你能得出什么结论？ 提示：一切金属都能导电 问题 3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用 适当的数填入表中. 年龄(岁)3035404550556065 收缩压(水银 柱/毫米) 110115120125130135145 舒张压(水银 柱/毫米) 70737578808388 提示：140 85 问题 4：由问题 3 中的数据你还能得出什么结论？ 提示：随着人的年龄增长，人的血
2、压在增高 问题 5：数列an的前五项为 1,3,5,7,9 试写出 an. 提示：an2n1(nN*) 1推理 (1)推理的定义 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理 (2)推理的组成 任何推理都包含前提和结论两个部分， 前提是推理所依据的命题， 它告诉我们已知的知 识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么 2归纳推理 (1)归纳推理的定义 从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理 (2)归纳推理的思维过程如图 实验、观察概括、推广猜测一般性结论 (3)归纳推理的特点 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象， 归纳所得的结论是尚属未知的一
3、般现象， 该 结论超越了前提所包容的范围 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质， 结论是否真实， 还需经过逻辑证明和实践检 验，因此，它不能作为数学证明的工具 归纳推理是一种具有创造性的推理， 通过归纳推理得到的猜想， 可以作为进一步研究 的起点，帮助人们发现问题和提出问题 1归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式因此，由归纳得到的结论超越 了前提所包容的范围 2归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测 的性质 3归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的 4观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，
4、为知识的总结和归纳提供依据 5由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认 识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一 对应学生用书P13 归纳推理在数列中的应用 例 1 已知数列an的第 1 项 a11，且 an1(n1,2，)，求出 a2，a3，a4， an 1an 并推测 an. 思路点拨 数列的通项公式表示的是数列an的第 n 项 an与序号 n 之间的对应关系， 根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出 n 与 an的关系即可解决 精解详析 当 n1 时，a11； 当 n2 时，a2 ； 1 11 1 2 当 n3 时，a3
5、 ； 1 2 11 2 1 3 当 n4 时，a4 . 1 3 11 3 1 4 观察可得，数列的前 4 项等于相应序号的倒数由此猜想，这个数列的通项公式为 an . 1 n 一点通 在求数列的通项与前 n 项和时，经常用归纳推理得出结论这就需要在进行 归纳推理时要先转化为一个统一的形式， 分出变化部分和不变部分， 重点分析变化规律与 n 的关系，往往会较简捷地获得结论 1已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn.求出 a1，a2，a3，a4，并 1 2(a n1 an) 推测 an. 解：Sn，a1，a 1. 1 2(a n1 an) 1 2(a 11 a1) 2 1 又an0，
6、a11； a1a2，即 1 a2，a21； 1 2(a 21 a2) 1 2 1 2a2 2 a1a2a3， 1 2(a 31 a3) 即 a3，a3；2 1 2 1 2a3 32 a1a2a3a4， 1 2(a 41 a4) a4，a42；3 1 2 1 2a4 3 观察可得，an.nn1 2已知数列an中，a26，n. an1an1 an1an1 (1)求 a1，a3，a4； (2)猜想数列an的通项公式 解：(1)由 a26，1，得 a11. a2a11 a2a11 由2，得 a315. a3a21 a3a21 由3，得 a428. a4a31 a4a31 故 a11，a315，a428
7、. (2)由 a111(211)； a262(221)； a3153(231)； a4284(241)， 猜想 ann(2n1) 归纳推理在不等式中的应用 例 2 对任意正整数 n，试归纳猜想 2n与 n2的大小关系 思路点拨 给n从小到大赋值计算各式的值比较大小归纳猜想 精解详析 当 n1 时，2112； 当 n2 时，2222； 当 n3 时，2352； 当 n6 时，2662. 归纳猜想，当 n3 时，2n43； n4 时，4554，n5 时；5665. 据此猜想，当 n(n1)n. 归纳推理在图形推理中的应用 例 3 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图： 由于图中 1
8、,3,6,10 这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的 数的特点，归纳第 n 个三角形数 思路点拨 将 1,3,6,10 分别写成， 据此可完成本题的求 1 2 2 2 3 2 3 4 2 4 5 2 解 精解详析 观察项与项数的关系特点如下： 项1234 项数 1 2 2 2 3 2 3 4 2 4 5 2 分析：项的各分母均为 2，分子分别为相应项数与相应项数与 1 和的积 归纳：第 n 个三角形数应为(nN*) n(n1) 2 一点通 此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点题目类型为已知几个图 形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性
9、，如点的数目的 递增关系或递减关系， 依据此规律求解问题， 一般需转化为求数列的通项公式或前 n 项和等 5下面是按照一定规律画出的一列“树型”图： 设第 n 个图有 an个树枝，则 an1与 an(n1)之间的关系是_ 解析：由图可得，第一个图形有 1 根树枝，a11， 第 2 个图形有 3 根树枝，即 a23，同理可知： a37, a415，a531. 归纳可知：a232112a11， a372312a21， a4152712a31， a53121512a41， 由归纳推理可猜测：an12an1. 答案：an12an1 6根据下图中 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第 n 个图中
10、点的个数. 解析：图中点的个数依次为：1,3,7,13,21. 又 1101；3112；7123,13134,21145. 结合项数与项的关系猜想第 n 个图中点的个数为：1(n1)n，即为 n2n1(nN*) 答案：n2n1(nN*) 归纳推理在数阵中的应用 例 4 如图是杨辉三角的前 5 行，请试写出第 8 行，并归纳、猜想一般规律 思路点拨 由杨辉三角的前 5 行总结各行数字的规律，由此寻找第 8 行的数字，整体 观察杨辉三角可得到多个有趣的规律 精解详析 第 8 行：1 7 21 35 35 21 7 1. 一般规律： (1)每行左、右的数字具有对称性； (2)两斜边的数字都是 1，其
11、余数字等于它肩上两数字之和； (3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等且最大 一点通 解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下： (1)明确各行、各列数的大小； (2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系； (3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论 7.将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第 n(n3)行的从左至右的第 3 个数是_ 解析 ： 第 1 行，第 2 行，第 3 行，分别有 1,2,3，个数字，且 每个数字前后差 1，则第 n1 行的最后一个数字加 3 即为第 n(n3)行的从左至右的第 3 个 数，前 n1 行共有数字 123(n1)，则第 n(n3
12、)行的从左至右的第 3 n(n1) 2 个数为3. n(n1) 2 n2n6 2 答案：n 2n6 2 8.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三 角形数表，设 aij(i， jN*)是位于这个三角形数表中 从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 行如 a428， 若 aij2 009.则 i 和 j 的和为_ 解析 ： 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列， 偶数行为偶数列， 2 00921 0051， 所以 2 009 为 第 1 005 个奇数，又前 31 个奇数行内数的个数的和 为 961，前 32 个奇数行内数的个数的和为 1 024，故 2 009 在第 32 个奇数行内，所以 i
13、63，因为第 63 行的第一个数为 296211 923,2 0091 923 2(m1)，所以 m44，即 j44，所以 ij107. 答案：107 1归纳推理的一般步骤 (1)通过观察某类事物个别情况，发现某些相同性质 (2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论 (3)猜想这个结论对该类事物都成立 1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 2224 2归纳推理应注意的问题 归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所 得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明 对应学生用书P
14、15 一、填空题 1(陕西高考)观察下列等式 (11)21 (21)(22)2213 (31)(32)(33)23135 照此规律， 第 n 个等式可为_ 解析：观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项依次为(n1)，(nn)，右边 为连续奇数之积乘以 2n，则第 n 个等式为 ： (n1)(n2)(n3)(nn)2n135 (2n1) 答案：(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1) 2已知 f1(x)cos x，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn1(x)， 则 f2 014(x)_. 解析：f1(x)cos x，f2(x)f1
15、(x)sin x， f3(x)f2(x)cos x，f4(x)f3(x)sin x， f5(x)f4(x)cos x，再继续下去会重复出现，周期为 4， f2 014(x)f2(x)sin x. 答案：sin x 3根据三角恒等变换，可得到如下等式： cos cos ； cos 22cos2 1； cos 34cos3 3cos ； cos 48cos4 8cos2 1； cos 516cos5 20cos3 5cos 依照规律猜想 cos 632cos6 mcos4 ncos2 1. 则 mn_. 解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是 1， 即 32mn11. mn30.
16、答案：30 4已知 an n，把数列an的各项排成如下的三角形： ( 1 3) a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 记 A(s，t)表示第 s 行的第 t 个数，则 A(11,12)_. 解析：每行对应的元素个数分别为 1,3,5 ，那么第 10 行最后一个数为 a100，则第 11 行的第 12 个数为 a112，即 A(11,12)a112 112. ( 1 3) 答案： 112 ( 1 3) 5经计算发现下列不等式：2，2， 218104.515.51032 2，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数 a，b 都成立的条件不17210 等式：_. 解析：21820,4
17、.515.520,31720，即各不等式左边两根号内22 的数之和等于 20，右侧均为 2.10 答案：当 ab20，a，b(0，)时，有2ab10 二、解答题 6 已知 2， 3， 4， 若 6(a， b22 3 2 3 33 8 3 8 4 4 15 4 15 6a b a b 均为实数)，请推测 a，b 的值 解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律 由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同， 而分母是这个分子的平方减 1， 由此推测 中，a6，b62135，6a b 即 a6，b35. 7在平面内观察：凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线
18、，凸六边形有 9 条 对角线由此猜出凸 n 边形有几条对角线？ 解 ： 凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，比凸四边形多 3 条 ； 凸六边形有 9 条对角线，比凸五边形多 4 条； 于是猜想凸 n 边形的对角线条数比凸 n1 边形多 n2 条对角线， 由此凸 n 边形对角线 条数为 2345(n2) n(n3)(n4，nN*) 1 2 8观察：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101； tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51. 由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广 解：观察到 10206090，5107590， 因此猜测此推广为 ， 2 且 、 都不为 k ，kZ， 2 则 tan tan tan tan tan tan 1. 证明如下：由 得 ， 2 2 tan()tancot . ( 2) 又tan()， tan tan 1tan tan tan tan tan()(1tan tan ) cot (1tan tan ) tan tan tan tan tan tan tan (tan tan )tan tan tan (1tan tan )cot tan tan 1tan tan tan tan 1.