《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.2 2.2.1 直接证明含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.2 2.2.1 直接证明含解析.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、_2.2直接证明与间接证明 2.2.1 直 接 证 明 对应学生用书 P26 1若实数 a，b 满足 ab3，证明：2a2b4 . 2 证明：因为 2a2b22，2a2b2ab 又 ab3，所以 2a2b24.232 故 2a2b4成立2 问题 1：本题利用什么公式？ 提示：基本不等式 问题 2：本题证明顺序是什么？ 提示：从已知到结论 2求证：20,20，327 只需证明(2)2. 1 a 1 b 1 c abc 证明：a0，b0，c0，且 abc1， bccaab. 1 a 1 b 1 c 又 bcca222，bccaabc2c 同理 bcab2，caab2.ba a、b、c 不全相等 上
2、述三个不等式中的“”不能同时成立 2(bccaab)2()，cab 即 bccaab，abc 故 . 1 a 1 b 1 c abc 2.(1)如图， 证明命题 “a 是平面 内的一条直线， b 是 外的一条直线(b 不垂直于 )，c 是直线 b 在 上的投影，若 ab，则 ac”为真； (2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明) 解：(1)证明：法一：如图，过直线 b 上任一点作平面 的垂线 n，设 直线 a，b，c，n 的方向向量分别是 a，b，c，n，则 b，c，n 共面根据平 面向量基本定理，存在实数 ， 使得 cbn， 则 aca(bn)(ab) (an)， 因为 ab，所
3、以 ab0， 又因为 a，n，所以 an0， 故 ac0，从而 ac. 法二 ： 如图， 记cbA， P为直线b上异于点A的任意一点， 过P作PO， 垂足为 O， 则 Oc. PO，a， 直线 POa. 又 ab，b平面 PAO，PObP， a平面 PAO.又 c平面 PAO，ac. (2)逆命题为 ： a 是平面 内的一条直线， b 是 外的一条直线(b 不垂直于 )， c 是直线 b 在 上的投影，若 ac，则 ab. 逆命题为真命题 分析法的应用 例 2 已知 ab0，求证：2，abaabb 即b0，0，b0，c0， 要证1， 1abbcca abcabc 只需证 1abbccaabca
4、bc， 即证 1abbcca(abcabc)0. 1abbcca(abcabc) (1a)b(a1)c(a1)bc(1a) (1a)(1bcbc)(1a)(1b)(1c)， 又 a1，b1，c1， (1a)(1b)(1c)0， 1abbcca(abcabc)0 成立， 即证明了1. 1abbcca abcabc 一点通 (1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难， 这时可考虑 分析法、综合法轮流使用以达到证题目的 (2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用 分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可 5在ABC 中，三个内角 A、B、C
5、成等差数列求证：. 1 ab 1 bc 3 abc 证明：要证， 1 ab 1 bc 3 abc 只需证3，即1， abc ab abc bc c ab a bc 只需证1， c(bc)a(ab) (ab)(bc) 即1. a2c2abbc b2abacbc 下面证明：1. a2c2abbc b2abacbc AC2B，ABC180， B60. b2a2c2ac. 1. a2c2abbc b2abacbc a2c2abbc a2c2acabacbc 故原等式成立 6若 a，b，c 是不全相等的正数 求证：lglglglg alg blg c. ab 2 bc 2 ca 2 证明：要证 lglg
6、lglg alg blg c 成立，即证 lg ab 2 bc 2 ca 2 ( ab 2 bc 2 ca 2 ) lg(abc)成立， 只需证abc 成立， ab 2 bc 2 ca 2 0，0，0， ab 2 ab bc 2 bc ca 2 ca abc0，(*) ab 2 bc 2 ca 2 又a，b，c 是不全相等的正数，(*)式等号不成立， 原不等式成立 1综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、 形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论 2分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路缺点是思路逆行、 叙述繁琐
7、、表述易出错 3在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用根据条件的结构特 点去转化结论，得到中间结论 P1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条 件 P2；当由 P1可以推出 P2时，结论得证 对应学生用书P29 一、填空题 1 在ABC 中， AB 是 sin Asin B 的_条件(填 “充分不必要”“必要不充分”“充 要”或“既不充分也不必要”) 解析：在ABC 中，由正弦定理得. a sin A b sin B 又AB，ab，sin Asin B 反之，若 sin Asin B，则 ab，AB AB 是 sin Asin B 的充要条件 答案：充要 2设 nN
8、，则_(判断大小)n4n3n2n1 解析：要证ab，则实数 a，b 应满足的条件是_abba 解析：abababba aabbabab a()b()abab (ab)()0ab ()()20，abab 故只需 ab 且 a，b 都不小于零即可 答案：a0，b0 且 ab 4若三棱锥 SABC 中，SABC，SBAC，则 S 在底面 ABC 上的射影为ABC 的 _(填重心、垂心、内心、外心之一) 解析：如图，设 S 在底面 ABC 上的射影为点 O， SO平面 ABC，连接 AO，BO， SABC，SOBC， BC平面 SAO， BCAO. 同理可证，ACBO. O 为ABC 的垂心 答案：垂
9、心 5已知函数 f(x)10x，a0， b0， Af，Bf， Cf， 则 A， B， C ( ab 2 ) (ab) ( 2ab ab) 的大小关系为_ 解析 ： 由， 又 f(x)10x在 R 上是单调增函数， 所以 fff ab 2 ab 2ab ab ( ab 2 ) (ab) ， ( 2ab ab) 即 ABC. 答案：ABC 二、解答题 6已知函数 f(x)log2(x2)，a，b，c 是两两不相等的正数，且 a，b，c 成等比数列， 试判断 f(a)f(c)与 2f(b)的大小关系，并证明你的结论 解：f(a)f(c)2f(b) 证明如下：因为 a，b，c 是两两不相等的正数， 所
10、以 ac2.ac 因为 b2ac，所以 ac2(ac)b24b， 即 ac2(ac)4b24b4， 从而(a2)(c2)(b2)2. 因为 f(x)log2(x2)是增函数， 所以 log2(a2)(c2)log2(b2)2， 即 log2(a2)log2(c2)2log2(b2) 故 f(a)f(c)2f(b) 7已知 a0，用分析法证明： a 2.a2 1 a2 2 1 a 证明：要证 a 2，a2 1 a2 2 1 a 只需证 2a .a2 1 a2 1 a 2 因为 a0，故只需证 22， ( a2 1 a22) (a 1 a 2) 即 a24 4a222 2， 1 a2 a2 1 a
11、2 1 a2 2(a1 a) 从而只需证 2 ，a2 1 a2 2(a1 a) 只需证 42， (a 21 a2) (a 221 a2) 即 a22， 1 a2 而上述不等式显然成立，故原不等式成立 8(江苏高考改编)设an是首项为 a，公差为 d 的等差数列(d0)，Sn是其前 n 项的 和 记 bn， nN*， 其中 c 为实数 若 c0， 且 b1， b2， b4成等比数列， 证明 ： Snkn2Sk(k， n nSn n2c N*) 证明：由 c0，得 bnad. Sn n n1 2 又 b1，b2，b4成等比数列，所以 b b1b4， 2 2 即 2a ， (a d 2) (a 3 2d) 化简得 d22ad0.因为 d0，所以 d2a. 因此，对于所有的 mN*，有 Smm2a. 从而对于所有的 k，nN*，有 Snk(nk)2an2k2an2Sk.