2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3．3 直线的方向向量含解析.pdf

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1、33直线的方向向量直线的方向向量 读教材读教材填要点填要点 1直线的方向向量直线的方向向量 一般地，如果向量一般地，如果向量 v0 与直线与直线 l 平行，就称平行，就称 v 为为 l 的方向向量的方向向量 2直线的方向向量的应用直线的方向向量的应用 (1)两条直线垂直它们的方向向量垂直两条直线垂直它们的方向向量垂直 (2)要证明两条直线平行， 只要证明这两条直线不重合， 并且它们的方向向量与要证明两条直线平行， 只要证明这两条直线不重合， 并且它们的方向向量与 AB CD 平行，也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍 ：平行，也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍 ：

2、k(k 是某个实是某个实CD AB 数数) (3)求两条异面直线求两条异面直线 AB，CD 所成的角所成的角 若两条异面直线若两条异面直线 AB， CD 所成的角为所成的角为 ，所成的角为，所成的角为 1， 则， 则 cos |cos_1|AB CD . | | 小问题小问题大思维大思维 1直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？ 提示：直线的方向向量不是唯一的，直线的不同的方向向量是共线向量提示：直线的方向向量不是唯一的，直线的不同的方向向量是共线向量 2两条异面直线所成的角与它们的方向向量所

3、成的角之间有什么关系？两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系？ 提示：相等或互补提示：相等或互补 求异面直线所成的角求异面直线所成的角 (2017全国卷全国卷)已知直三棱柱已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，中，ABC120，AB2，BC CC11，则异面直线，则异面直线 AB1与与 BC1所成角的余弦值为所成角的余弦值为( ) A. B. 3 2 15 5 C.D. 10 5 3 3 自主解答自主解答 以 以 B1为坐标原点，为坐标原点， B1C1所在的直线为所在的直线为 x 轴， 垂直于轴， 垂直于 B1C1的直线为的直线为 y轴，轴， BB1 所在的直线为所在的直线为

4、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示由已知条件知轴建立空间直角坐标系，如图所示由已知条件知 B1(0,0,0)，B(0,0,1)， C1(1,0,0)，A(1，1)，3 则则(1,0，1)，(1，1)BC1 AB1 3 所以所以 cos，.AB1 BC1 | 2 5 2 10 5 所以异面直线所以异面直线 AB1与与 BC1所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为. 10 5 答案答案 C 利用向量求异面直线所成角的步骤为：利用向量求异面直线所成角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量；确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值；求两个向量夹角的余弦值； (3)比较余弦值与比

5、较余弦值与 0 的大小，确定向量夹角的范围；的大小，确定向量夹角的范围； (4)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量 夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角 确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量 夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角 1.如图，在四棱锥如图，在四棱锥 OABCD 中，底面中，底面 ABCD 是边长为是边长为 1 的菱形，的菱形， ABC .OA底面底面 ABCD， OA2， M 为为 OA 的中点 求异面直线的中点 求异面直线 AB 与与 MD 所成角的大小所成角的大小 4 解：作解：作 APCD

6、 于点于点 P.如图，分别以如图，分别以 AB，AP，AO 所在直线为所在直线为 x，y，z 轴建立空间直 角坐标系 轴建立空间直 角坐标系 则则 A(0,0,0)，B(1,0,0)， D，M(0,0,1) ( ( 2 2 ， ， 2 2 ， ，0) ) 设设 AB 和和 MD 所成角为所成角为 ， (1,0,0)，AB ，MD ( ( 2 2 ， ， 2 2 ， ，1) ) cos . | | 1 2 . 3 异面直线异面直线 AB 与与 MD 所成角的大小为所成角的大小为 . 3 证明线线垂直证明线线垂直 已知正三棱柱已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都为的各棱长都为 1，M 是底面

7、上是底面上 BC 边的中点，边的中点，N 是侧棱是侧棱 CC1 上的点，且上的点，且 CN CC1.求证：求证：AB1MN. 1 4 自主解答自主解答 法一： 法一：(基向量法基向量法) 设设a，b，c， 则由已知条件和正三棱柱的性质， 得， 则由已知条件和正三棱柱的性质， 得|a|b|c|1， acAB AC AA1 bc0， ac， (ab)，b c，AB1 AM 1 2 AN 1 4 a b c，MN AN AM 1 2 1 2 1 4 (ac)AB1 MN ( ( 1 2a 1 2b 1 4c) ) cos 60 0. 1 2 1 2 1 4 .AB1MN.AB1 MN 法二：法二：(

8、坐标法坐标法)设设 AB 中点为中点为 O，作，作 OO1AA1. 以以 O 为坐标原点， 以为坐标原点， 以 OB， OC， OO1所在直线分别为所在直线分别为 x 轴，轴， y 轴，轴， z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系由已知得 轴建立如图所示的空 间直角坐标系由已知得 A，B，C， ( ( 1 2， ，0， ，0) ) ( ( 1 2， ，0， ，0) ) ( (0， ， 3 2 ， ，0) ) N，B1， ( (0， ， 3 2 ， ，1 4) ) ( ( 1 2， ，0， ，1) ) M 为为 BC 中点，中点，M. ( ( 1 4， ， 3 4 ， ，0) ) ，(1,0,1)

9、，MN ( ( 1 4， ， 3 4 ， ，1 4) ) AB1 0 0.MN AB1 1 4 1 4 .AB1MN.MN AB1 利用向量法证明空间两条直线互相垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂 直 利用向量法证明空间两条直线互相垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂 直 (1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准确地写出相关点的坐标利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准确地写出相关点的坐标 (2)利用基向量法证明的关键是能用基向量正确表示出相关的向量利用基向量法证明的关键是能用基向量正确表示出相关的向量 2直四棱柱直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面

10、中，底面 ABCD 是矩形，是矩形，AB2，AD1，AA13，M 是是 BC 的中点在的中点在 DD1上是否存在一点上是否存在一点 N，使，使 MNDC1？并说明理由？并说明理由 解：如图所示，建立以解：如图所示，建立以 D 为坐标原点，为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为所在直线分别为 x 轴，轴，y 轴，轴，z 轴的空间直角坐标系，则轴的空间直角坐标系，则 C1(0,2,3)，M，D(0,0,0)，设存在，设存在 N(0,0，h)， ( ( 1 2， ，2， ，0) ) 则， 则， (0,2,3)，MN ( ( 1 2， ， 2， ，h) )DC1 (0,2,3)43h，MN DC

11、1 ( ( 1 2， ， 2， ，h) ) 当当 h 时， 时，0， 4 3 MN DC1 此时，存在此时，存在 NDD1，使，使 MNDC1.MN DC1 解题高手解题高手 妙解题妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路 如图， 已知空间四边形如图， 已知空间四边形 OABC 各边都相等，各边都相等， E， F 分别为分别为 AB， OC 的中点， 求 的中点， 求 OE 与与 BF 所成的角的余弦值所成的角的余弦值 巧思巧思 求异面直线 求异面直线 OE 与与 BF 所成的角， 由于已知所成的角， 由于已知 OA， OB， OC 的长 度及夹

12、角， 因此，可以用，表示与， 然后利用向量的夹角 的长 度及夹角， 因此，可以用，表示与， 然后利用向量的夹角OA OB OC OE BF 公式计算即可公式计算即可 妙解妙解 设 设a，b，c，OA OB OC 且且|a|b|c|1，则，则 abbcca . 1 2 又又 (ab)， cb，|.OE 1 2 BF 1 2 OE BF 3 2 所以所以 (ab)OE BF 1 2 ( ( 1 2c b) ) ac ab bc |b|2 . 1 4 1 2 1 4 1 2 1 2 所以所以 cos， .OE BF | 2 3 所以直线所以直线 OE 与与 BF 所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .

13、 2 3 1若若 A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线在直线 l 上，则直线上，则直线 l 的一个方向向量为的一个方向向量为( ) A(1,2,3) B(1,3,2) C(2,1,3)D(3,2,1) 解析：解析：(2,4,6)，且，且(2,4,6)2(1,2,3)，直线，直线 l 的一个方向向量是的一个方向向量是(1,2,3)AB 答案：答案：A 2 设 设l1的方向向量为的方向向量为a(1,2， ， 2)， l2的方向向量为的方向向量为b(2,3， m)， 若， 若l1l2， 则， 则m( ) A1B2 C.D3 1 2 解析：解析：l1l2ab262m0m2. 答案：答案：B 3在正

14、方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中，若中，若 E 为为 A1C1的中点，则直线的中点，则直线 CE 垂直于垂直于( ) AACBBD CA1DDA1A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系解析：建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为设正方体的棱长为 1. 则则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E ， ( ( 1 2， ， 1 2， ，1) ) ，CE ( ( 1 2， ， 1 2， ，1) ) (1,1,0)，AC (1，1,0)，BD (1,0，1)，A1D (0,0，1)A1A (1)(1)010，

15、CE BD ( ( 1 2) ) ( ( 1 2) ) CEBD. 答案：答案：B 4直线直线 l1的方向向量的方向向量 v1(1,0，1)，直线，直线 l2的方向向量为的方向向量为 v2(2,0,2)，则直线，则直线 l1 与与 l2的位置关系是的位置关系是_ 解析：解析：v1(1,0，1)，v2(2,0,2)， v22v1， v1v2， l1与与 l2平行或重合平行或重合 答案：平行或重合答案：平行或重合 5 已知在棱长为 已知在棱长为 a 的正方体的正方体 ABCDABCD中，中， E 是是 BC 的中点 则直线的中点 则直线 AC 与与 DE 所成角的余弦值为所成角的余弦值为_ 解析

16、： 如图所示建立空间直角坐标系， 则解析 ： 如图所示建立空间直角坐标系， 则 A(0,0， a)， C(a， a,0)， D(0， a,0)， E ， ( (a， ， a 2， ，0) ) 则则(a，a，a)，AC ，DE ( (a， ， a 2， ，0) ) cos，.AC DE | 15 15 答案：答案： 15 15 6.在棱长为在棱长为 1 的正方体的正方体 ABCDA1B1C1D1中，中， E， F 分别是分别是 DD1， BD 的中点，如图所示的中点，如图所示 求证：求证：EFCF. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系证明：建立如图所示的空间直角坐标系 则则 D(0,0,0)，E

17、， ( (0， ，0， ， 1 2) ) C(0,1,0)，F. ( ( 1 2， ， 1 2， ，0) ) ，EF ( ( 1 2， ， 1 2， ， 1 2) ) .CF ( ( 1 2， ， 1 2， ，0) ) 00.EF CF 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ( 1 2) ) ，即，即 EFCF.EF CF 一、选择题一、选择题 1已知三条直线已知三条直线 l1，l2，l3的一个方向向量分别为的一个方向向量分别为 a(4，1，0)，b(1,4,5)，c (3,12，9)，则，则( ) Al1l2，但，但 l1与与 l3不垂直不垂直 Bl1l3，但，但 l1与与 l2不垂直不垂直

18、Cl2l3，但，但 l2与与 l1不垂直不垂直 Dl1，l2，l3两两互相垂直两两互相垂直 解析：解析：ab(4，1,0)(1,4,5)4400， ac(4，1,0)(3,12，9)1212240. bc(1,4,5)(3,12，9)348450， ab，a 与与 c 不垂直，不垂直，bc. l1l2，l2l3，但，但 l1不垂直于不垂直于 l3. 答案：答案：A 2 已知直线 已知直线 l1的一个方向向量为的一个方向向量为 a(1， ， 2,1)， 直线， 直线 l2的一个方向向量为的一个方向向量为 b(2， ， 2,0)， 则两直线所成角的余弦值为 ， 则两直线所成角的余弦值为( ) A1

19、 B. 6 3 C.D. 3 3 3 2 解析：解析：cosa，b|ab| |a|b| . | 1， ，2， ，1 2， ，2， ，0 | 12 2 2 1222 2 2 |2 4| 6 8 3 2 答案：答案：D 3在长方体在长方体 ABCDA1B1C1D1中，中，AB2，BC2，DD13，则，则 AC 与与 BD1所成角的余 弦值为 所成角的余 弦值为( ) A0B.3 70 70 CD. 370 70 70 70 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 D1(0,0,3)，B(2,2,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)所以所以(2，2,3)，

20、BD1 AC (2,2,0)所以所以 cos，0.BD1 AC | 答案：答案：A 4.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1， CACC12CB， 则直线， 则直线 BC1与 直线 与 直线 AB1夹角的余弦值为夹角的余弦值为( ) A. B. 5 5 5 3 C.D. 25 5 3 5 解析 ： 设解析 ： 设 CA2， 则， 则 C(0,0,0)， A(2,0,0)， B(0,0,1)， C1(0,2,0)， B1(0,2,1)， 可得向量， 可得向量(AB1 2,2,1)， (0,2， ， 1)， 由 向 量 的 夹 角 公 式 得，

21、由 向 量 的 夹 角 公 式 得cos， ， BC1 AB1 BC1 . 2 02 21 1 04 1 44 1 1 5 5 5 答案：答案：A 二、填空题二、填空题 5 已知 已知a(2,4,5)， b(3， x， y)分别是直线分别是直线l1， l2的方向向量， 若的方向向量， 若l1l2， 则， 则x_， y _. 解析：解析：l1l2，ab， ， ，x6，y. 3 2 x 4 y 5 15 2 答案：答案：6 15 2 6已知直线已知直线 l1的方向向量为的方向向量为 a(1，2,2)，l2的方向向量为的方向向量为 b(x,3，x)，且，且 l1l2， 则 ， 则 x_. 解析：解析

22、：l1l2，ab，即，即 ab0， x62x3x60，x2. 答案：答案：2 7若直线若直线 l1的方向向量与的方向向量与 l2的方向向量的夹角为的方向向量的夹角为 150，则，则 l1与与 l2这两条异面直线所成 的角等于 这两条异面直线所成 的角等于_ 解析：根据异面直线所成的角与方向向量的夹角之间的关系知，这两条异面直线所成 的角等于 解析：根据异面直线所成的角与方向向量的夹角之间的关系知，这两条异面直线所成 的角等于 30. 答案：答案：30 8在直角坐标系在直角坐标系 Oxyz 中，已知点中，已知点 P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点 Q和点 Q(cos x，1,3)，其

23、 中 ，其 中 x0，若直线，若直线 OP 与直线与直线 OQ 垂直，则Q 垂直，则 x 的值为的值为_ 解析：由解析：由 OPOQ，得Q，得0.OP OQ Q 即即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0. cos x0 或或 cos x . 1 2 x0，x 或 或 x . 2 3 答案： 或答案： 或 2 3 三、解答题三、解答题 9.如图， 在三棱锥如图， 在三棱锥 VABC 中， 顶点中， 顶点 C 在空间直角坐标系的原点处， 顶点 在空间直角坐标系的原点处， 顶点A， B， V分别在分别在x， y， z轴上，轴上，D是线段是线段AB的中点，且的中点，且ACBC2，

24、， VDC ，求异面直线 ，求异面直线 AC 与与 VD 所成角的余弦值所成角的余弦值 3 解：因为解：因为 ACBC2，D 是是 AB 的中点，的中点， 所以所以 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0) 在在 RtVCD 中，中，CD，VDC ，故 ，故 V(0,0，)2 3 6 所以所以(2,0,0)，(1,1，)AC VD 6 所以所以 cos， ， .AC VD | | 2 222 2 4 所以异面直线所以异面直线 AC 与与 VD 所成角的余弦值为所成角的余弦值为. 2 4 10.如图，在棱长为如图，在棱长为 1 的正方体的正方体 ABCDA1B1C1

25、D1中，中，E，F 分别是分别是 D1D，BD 的中点，的中点，G 在棱在棱 CD 上，且上，且 CG CD.应用空间向量方法解应用空间向量方法解 1 4 决下列问题决下列问题 (1)求证：求证：EFB1C； (2)求求 EF 与与 C1G 所成角的余弦值所成角的余弦值 解：建立如图所示的空间直角坐标系解：建立如图所示的空间直角坐标系 由已知有由已知有 E，F，C(0,1,0)， ( (0， ，0， ， 1 2) ) ( ( 1 2， ， 1 2， ，0) ) B1(1,1,1)，C1(0，1,1)，G. ( (0， ， 3 4， ，0) ) (1)证明：，证明：，EF ( ( 1 2， ，

26、1 2， ，0) ) ( (0， ，0， ， 1 2) ) ( ( 1 2， ， 1 2， ， 1 2) ) (0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)，B1C (1) 0(1)0，EF B1C 1 2 1 2 ( ( 1 2) ) 得，得，EFB1C.EF B1C (2) (0,1,1)，C1G ( (0， ， 3 4， ，0) ) ( (0， ， 1 4， ， 1) ) | ，C1G 02( (1 4) ) 2 1 2 17 4 由由(1)得得| ，EF ( ( 1 2) ) 2 ( (1 2) ) 2 ( (1 2) ) 2 3 2 且且 0 (1) ， ，EF C1G 1 2 1 2 ( ( 1 4) ) ( ( 1 2) ) 3 8 cos，EF C1G | 51 17 异面直线异面直线 EF 与与 C1G 所成角的余弦值为所成角的余弦值为. 51 17